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等比数列求和教学设计


等比数列的前 n 项和
甘天威

一:教学背景
1.面向学生: 中学 学科: 数学 2.课时: 2 个课时 3.学生课前准备: (1)预习书本内容 (2)收集等比数列求和相关实际问题。

二:教学课题
教养方面: 1 了解等比数列求和问题,感受数学问题的趣味性。 2 尝试用不同的方法解决等比数列求和问题,体会错位相减法的应用 3 能准确地解决等比说列求和有关的实际问题。 教育方面: 1 培养学生积极探索解决问题的良好习惯。 2 感受到我国数学文化历史的悠久与魅力,增强民族自豪感,激发学生努力学习 数学的热情 发展方面: 培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。

三:教材分析 教学目标
知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式及简单应用,掌握等比数列前 n 项和公 式的推导方法。 能力目标:培养学生观察、思考和解决问题的能力;加强特殊到一般、类比与转 化、分类讨论等数学思想的培养。 情感目标:培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质;以及勇于批判、敢 于创新的科学精神。

教学重点、难点
教学重点:公式的推导和公式的运用. 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的 “错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一, 它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点。

教学方法:
对公式的教学, 要使学生掌握与理解公式的来龙去脉, 掌握公式的推导方法, 理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系.在教学中,我采用“问题―― 探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律 四个阶段.

四:教学过程
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学
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生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,设计了如下的教学过程: 1.创设情境,提出问题 引导学生写出麦粒总数 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 .带着这样的问题,学生 会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时我对 他们的这种思路给予肯定. 设计意图:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生 去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认 知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马 上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来, 因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学 生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动,探究问题 在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,22,?,263 是什么数列?有何特征? 应归结为什么数学问题呢? 一般的这就是一个等比数列前 n 项求和的问题,那么一个等比数列 如何求前n项和sn? 公比为q, 类似等差数列前 n 项和的表示,等比数列前 n 项和能否用 a1 , q, n, an 来表示 呢?此时要引导学生发现需要构造一个新的等式包含 S n ,并且与第一个等式有 许多相同的项,从而引导学生发现并利用错位相减法求出 S n 。

sn = a1 +a1q+a1q2 + +a1qn-1 qsn = a1q+a1q2 + +a1qn-1 ? a1qn
在学生推导完成后, 我再问:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得sn = a1 - a1q n 1- q

对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什 么数列?此时 sn=?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时为后面 的例题教学打下基础.) 再次追问:结合等比数列的通项公式 an=a1qn-1,如何把 sn 用 a1、an、q 表示出 来?(引导学生得出公式的另一形式) 设计意图: 通过反问精讲, 一方面使学生加深对知识的认识, 完善知识结构, 另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高 分析、类比和综合的能力.这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅 几句话,然而却有画龙点睛之妙用. 3.公式运用,加深认识

例1 在等比数列? a n ?中,

?1?已知a1 ? ?4 , q ? 1 , 求 S10 ;

例2 在等比数列? an ?中, S3 ? 7, S6 ? 63, 求 an .
变式训练: 1:在上题中,已知S3 =7,S6 ? 63求S9. 2 :已知a2 ? 4, a5 ? 32,求S10
2

2 ?2?已知a1 ? 1, ak ? 243, q ? 3 , 求 S k .

首先,学生独立思考,自主解题,然后师生共同进行总结. 设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过 直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学 生新的数学认知结构的形成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培 养学生的参与意识和竞争意识. 4.例题讲解,形成技能
例3:求和 1+a+a2 +a3 + +an-1 .

设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养 学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想. 联系实际 5.总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答, 然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结. 设计意图:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力. 6.故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84× 19 10 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承 诺. 设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积 极思维. 7.课后作业,分层练习 必做: P129 练习 1、2、3、4 选作:思考题(1):求和 x+2x2 +3x3 + +nxn . 2)若数列{an}是等比数列,Sn 是前 n 项的和,那么 S3 , S 6 ? S3 , S9 ? S 6 成等 比数列吗?设 k∈N*那么 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等比数列吗? 设计意图:作业分为两种形式,体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业 中的问题思考是后续课堂的铺垫,而弹性作业不作统一要求,供 学有余力的学生课后研究。同时,它也是新课标里研究性学习的 一部分。

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