kl800.com省心范文网

云南省玉溪一中2015届高三上学期期中考试数学(文)试题word版含答案(已解析)

云南省玉溪一中 2015 届高三上学期期中考试数学(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,共 60 分。每小题给出的四个选项只有一项符合 题目要求。
1、设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {1,2} , B ? {2,3,5} ,则 (CU A) ? B ? ( A. ?3,5? 【答案】C 【解析】 B. ?3,4,5? C. ?2,3,4,5? )

D. ?1,2,3,4?

CU A ? {3,4,5}则 (CU A) ? B ? {2,3,4,5}
故答案为:C 【考点】集合的运算 【难度】 1 2、在复平面内,复数 A.第一象限 【答案】D 【解析】

i ?1 的共轭复数的对应点在( i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

i ?1 =-i(i-1)=i+1 的共轭复数为 1-i,所以对应点在第四象限 i
故答案为:D 【考点】复数综合运算 【难度】 1

? y?x ? 3、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 【答案】C 【解析】 B. 3 C. 4 D. 9



? y?x ? 由约束条件 ? x ? y ? 2 得如图所示的阴影区域, ? y ? 3x ? 6 ?
由目标函数可得:y=-2x+z,显然当平行直线过点 A(2,0)时,z 取得最小值为 4; 故答案为:C 【考点】线性规划 【难度】 2 4、要得到函数 y ? 2sin(2 x ? A.向左平移

? 个单位 6

? ) 的图象,只要将函数 y ? 2sin 2 x 的图象( ) 6 ? ? ? B. 向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单 6 12 12



【答案】C 【解析】 因为 y ? 2sin 2 x 向左平移

? ? ? 个单位个单位后得到 y ? 2sin 2( x ? ) ? 2sin(2 x ? ) , 12 12 6

故答案为:C 【考点】三角函数的图像与性质 【难度】 2 5、若圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 9 ? 0 与 y 轴的两个交点 A, B 都在双曲线上,且 A, B 两点恰好将此 双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( A. ) D.

y 2 x2 ? ?1 9 72

B.

x2 y 2 ? ?1 9 72

C.

x2 y 2 ? ?1 16 81

y 2 x2 ? ?1 81 16

【答案】A 【解析】

? x2 ? y 2 ? 4x ? 9 ? 0 ?x ? 0 ? x ? 0 解方程组 ? ,得 ? 或? , x?0 ? y ? 3 ? y ? ?3 ?
∵圆 x ? y ? 4 x ? 9 ? 0 与 y 轴的两个交点 A,B 都在某双曲线上,
2 2

且 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分, ∴A(0,-3),B(0,3),∴a=3,2c=18,∴ b ? (
2

18 2 2 ) ? 3 ? 72 , 2

∴双曲线方程为 故答案为:A 【考点】双曲线 【难度】 2 6、已知 sin ? ? A. ?

y 2 x2 ? ?1. 9 72

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3
1 9
C.

)

5 3

B. ?

1 9

D.

5 3

【答案】B 【解析】

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2sin 2 ? ? 1 ? ?

1 9

故答案为:B 【考点】同角三角函数的基本关系式;诱导公式 【难度】 2 7、阅读右边程序框图,为使输出的数据为 31,则判断框中应填入的

条件为( ) A. i ? 7 B. i ? 6 ` C. i ? 5 D. i ? 4 【答案】D 【解析】 程序在运行过程中各变量的值如下表示: S i 是否继续循环循环前 1 1 第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当 i≤4 时.输出的数据为 31, 故答案为:D 【考点】算法和程序框图 【难度】 3 8、设 a ? 40.9 , b ? 80.4 , c ? log2 17 ,则正确的是( A. a ? b ? c 【答案】B 【解析】 由4
0.9



B. c ? a ? b

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

? 21.8 ? 22 , 80.4 ? 21.2 ? 21.8 ,

log2 17 ? log2 16 ? 4 ? 22 ,则 c ? a ? b ,
故答案为:B 【考点】指数与指数函数;对数与对数函数 【难度】 2 9、一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为( A.



1 2

B.

3 2 1 3

C.1

D.

【答案】A 【解析】 由已知三视图我们可得:棱锥以俯视图为底面,以主视图高为高,故 h=1,

S底面 =

1 3 1 1 ×(1+2)×1= ,故 V= S底面 = , 2 2 3 2

故答案为:A 【考点】空间几何体的三视图与直观图 【难度】 2 10、已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有相同的焦点 F,点 A 是两曲 a 2 b2
) D. 2+1

线的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ( A. 2+2 【答案】D 【解析】 B. 5+1 C. 3+1

画出示意图:由双曲线得 AF= 由抛物线也可求得 AF=p=2c, ∴两者相等得到 2c=

b2 , a

b2 2 2 2 ,又 c =a +b . a

即可求得双曲线的离心率 2 +1. 故答案为:D 【考点】双曲线 【难度】 3 11、已知函数 f ( x) ?

1 3 , 2, 3 三个数中任取的一个数, b 是从 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从 1 3

0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )
A.

2 3

B.

1 3

C.

5 9

D.

7 9

【答案】A 【解析】 求导数可得 f ?( x) ? x ? 2ax ? b ,
2 2

要满足题意需 x ? 2ax ? b ? 0 有两不等实根, 2 2 即△=4( a ? b )>0,即 a>b,又 a,b 的取法共 3×3=9 种, 其中满足 a>b 的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0), (3,1),(3,2)共 6 种,
2 2

故所求的概率为 P=

6 2 ? 9 3

故答案为:A 【考点】导数的综合运用 【难度】 3 12 、已知命题 p :函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ? 1( a ? 0)在 (0,1) 内恰有一个零点;命题 q :函数

y ? x 2? a 在 (0, ??) 上是减函数.若 p 且 ?q 为真命题,则实数 a 的取值范围是(
A.

).

a ?1

B.

1? a ? 2

C.

a?2

D. a ? 1 或 a ? 2

【答案】B 【解析】 由题意,命题 p: ?

? ? 1 ? 8a ? 0 得 a>1. ? f (0) ? f (1) ? (?1) ? (2a ? 2) ? 0 ?

命题 q:2-a<0,得 a>2,∴¬q:a≤2. 故由 p 且¬q 为真命题,得 1<a≤2, 故答案为:B 【考点】命题及其关系

【难度】 3

第Ⅱ卷(

非选择题 90 分 )

二、填空题:本大题共 4 小题,共 20 分。
题文】13、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ,则 an ? 。

【答案】 an ? ? 【解析】

?2n ? 1, n ? 2 ? 2, n ? 1

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 =2n-1,当 n=1 时 a1 = s1 =2 所以 an ? ?

?2n ? 1, n ? 2 ? 2, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2 ? 2, n ? 1

故答案为: an ? ?

【考点】数列的概念与通项公式 【难度】 2 14、正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点, 且满足 BC =2BD ,则 AB ? AD = 【答案】 【解析】 由于正三角形 ABC 中,AB=3,D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2BD , 则点 D 为线段 BC 的中点,故有 AD=AB?sin∠B=3×

??? ?

??? ?

??? ? ????

.

27 4

??? ?

??? ?

? 3 3 3 = ,且∠BAD= , 6 2 2

则 AB ? AD =AB?AD?cos∠BAD=3× 故答案为:

??? ? ????

3 3 3 27 × = , 4 2 2

27 4

【考点】数量积的应用 【难度】 2 15、若函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3 有最小值,则实数 a 的取值范围为 。

3] 【答案】 [?3,
【解析】

1 ? (3 ? a) x ? 2, x ? ? ? 3 f(x)=|3x-1|+ax+3= ? ?(a ? 3) x ? 4, x ? 1 ? 3 ?
函数 f(x)有最小值的充要条件为 ?

?3 ? a ? 0 , ?a ? 3 ? 0

3] . 即-3≤a≤3,故实数 a 的取值范围是 [?3, 3] 故答案为: [?3,
【考点】函数的单调性与最值 【难度】2 16、 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 .

【答案】

3

?

【解析】 由三视图知,几何体是一个组合体, 是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成, 四棱锥的底面是边长是 1 的正方形, 四棱锥的高是

2 3 ,斜高为 , 2 2
1 2

这个几何体的表面积为 8× × 1× ∴根据几何体和球的对称性知,

3 =2 3 2

几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是 2 , ∴外接球的表面积是 4×π(

2 )2=2π 2 2 3 3 = 2? ?

则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为

故答案为:

3

?

【考点】空间几何体的三视图与直观图 【难度】 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、 (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合. 直

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 (为参数) 线的参数方程是 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M , N 两点间的距离. 【答案】见解析 【解析】 解:(1)将曲线 C 的极坐标方程化为 ρ=2 2 sin(θ+ 两边都乘以 ρ,得 ? =ρcosθ+ρsinθ
2

? )=cosθ+sinθ 4

因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ, ? ? x ? y
2 2

22

代入上式,得方求曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ? 0
2 2

3 ? x ? ?1 ? t ? ? 5 (t 为参数), (2)直线 l 的参数方程是 ? ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ? 消去参数 t 得普通方程:4x-3y+1=0,
将圆 C 的极坐标方程化为普通方程为: x ? y ? x ? y ? 0 ,
2 2

所以(

1 1 2 , )为圆心,半径等于 所以, 2 2 2

1 1 4 ? ? 3? ?1 2 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d= 5
所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为:|MN|=2 (

1 9 . 2)2 ? 2 100

即 M、N 两点间的距离为 【考点】曲线参数方程 【难度】 3 18、 (本小题满分 12 分)

41 . 5

在△ABC 中,角 A, B, C 的对应边分别是 a , b, c 满足 b ? c ? bc ? a .
2 2 2

(I)求角 A 的大小; (II)已知等差数列 ?a n ?的公差不为零,若 a1 cos A ? 1,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,求数列 ? 【答案】见解析 【解析】 解:(Ⅰ)∵ b ? c ? bc ? a ,
2 2 2

?

4 ? ? 的前 n 项和 S n . ? an an ?1 ?

1 b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ∴ = = ,∴cosA= , 2bc 2 2 2bc
∵A∈(0,π),∴A=

? . 3

(Ⅱ)设 ?an ? 的公差为 d, ∵ a1 cos A ? 1,且 a2 , a4 , a8 成等比数列, ∴ a1 =

1 2 =2,且 a4 ? a2 ? a8 , cos A
2

∴ (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) , 且 d≠0,解得 d=2,∴ an ? 2n , ∴

1 1 1 4 ? ? = , an an ?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n )+( - )+( - )+…+( ? )=1= . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

∴ Sn ? (1-

【考点】数列综合应用 【难度】 3 19、 (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AC=BC, 点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:BC1∥平面 CA1D; (Ⅱ)若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形,BB1= 3 , 求三棱锥 B1-A1DC 的体积. 【答案】见解析 【解析】 解:(Ⅰ)连接 AC1 交 AC 于点 E,连接 DE 1 因为四边形 AAC C 是矩形,则 E 为 AC1 的中点, 1 1

A1 B1

C1

A D B

C

又 D 是 AB 的中点,DE∥BC1, 又 DE ? 面 CA D , BC1 ? 面 CA1D, BC1 ∥面 CA1 1 (2)AC=BC,D 是 AB 的中点,AB⊥CD,又 AA1 ⊥面 ABC, CD ? 面 ABC,AA1⊥CD, AA1 ∩AB=A, CD⊥面 AA BB , 1 1 A CD ? 面 CA ⊥平面 AA D , 平面 CAD BB 1 1 1 1 (Ⅱ)解: VB1 ? A1DC ? VC ? A1B1D ,可证 CD⊥面 AA BB , 1 1 所以高就是 CD= 3 ,BD=1,BB1= 3 ,所以 A1D ? B1D ? A1B1 ? 2 , D B C A1 B1 C1

S ?A1B1D ? 3 , VC ? A1B1D ?
【考点】立体几何综合 【难度】 3 20、 (本小题满分 12 分)

1 3? 3 ?1 3

高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如 下,据此解答如下问题: 茎 5 6 7 8 9 叶 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 5 8

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. 0.08 (Ⅱ)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4, [90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6,

在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15 个。 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个, 9 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是15=0.6. 【考点】概率综合 【难度】3 21、 (本小题满分 12 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点 为 D(2,0) ,设点 A ?1, ? 。 (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

? 1? ? 2?

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),
x0 ? 1 ? ?x? 2 由? 得 x0 ? 1 y0 ? ? 2 ?y ? ? 2

? 2 x ? 1,

y0 ? 2 y ?

1 (2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 由点 P 在椭圆上得 2 4 2

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 .
2 2

1 2

1 4

(Ⅲ)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4

解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

),C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k 2 ? 1

),

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S?ABC =

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

4k 2 ? 4k ? 1 4k 于是 S?ABC C= ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1
4k ≥-1,得 S△ABC≤ 2 , 4k 2 ? 1 1 其中,当 k=- 时,等号成立.∴S△ABC 的最大值是 2 . 2
由 【考点】圆锥曲线综合 【难度】4 22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x 。 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若 a ? 0 ,且对任意 x1 , x2 ? ? 0,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) x ? y ? 1 ? 0 (Ⅱ) f ' ( x) ? 1 ?

?

?

1 1 ? ,求 a 的范围。 x1 x2

a x?a ? ,( x ? 0) x x

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, f ( x ) 在 ? 0, ??? 上单调递增; ②当 a ? 0 时, 若 0 ? x ? a , f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 若 x ? a , f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递增,

且y?

1 在 ? 0,1? 上递减。不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x
1 x1 ? 1 x2 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 4 x1 ? 4 x2 ? f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4

设 h( x ) ? f ( x ) ?

4 4 ? x ? 1 ? a ln x ? , x x
1 1 ? 等价于 h( x) 在 ? 0,1? 上是减函数。 x1 x2

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4

又 h ( x) ? 1 ?
'

a 4 x 2 ? ax ? 4 ? ? , x x2 x
2

所以等价于 x ? ax ? 4 ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立 即a ? x? 注意到 x ?

4 在 ? 0,1? 上恒成立, x
4 4? ? 在 ? 0,1? 上递增,所以只需 a ? ? x ? ? ? ?3 x x ?max ?

又 a ? 0 ,从而 ?3 ? a ? 0 【考点】导数的综合运用 【难度】4