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《3.4.1对数及其运算2》教学案


《3.4.1对数及其运算(2)》教学案 导入新课 上节课我们学习了以下内容: 1.对数的定义. 2.指数式与对数式的互化. ab=N ? logaN=b. 3.重要公式: (1)负数与零没有对数;(2)loga1=0,logaa=1;(3)对数恒等式alogaN=N. 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕 推进新课 1?在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗? 2?如我们知道am=M,an=N,am·an=am+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗? 3?在上述?2?的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗??? 4?你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述. 5?上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗? 6?上述结论能否推广呢? 7?学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢? 讨论结果:(1)通过问题(2)来说明. m n m n m n m n (2)如a ·a =a + ,设M=a ,N=a ,于是MN=a + ,由对数的定义得到 M=am ? m=logaM,N=an ? n=logaN, MN=am+n ? m+n=logaMN, logaMN=logaM+logaN. 因此m+n可以用对数式表示. m n m n m n (3)令M=a ,N=a ,则N=a ÷a =a - ,所以m-n=logaN. M M m n 又由M=a ,N=a ,所以m=logaM,n=logaN.所以logaM-logaN=m-n=logaN, M M 即logaN=logaM-logaN. m n m n mn 设M=a ,则M =(a ) =a .由对数的定义, n 所以logaM=m,logaM =mn. n n 所以logaM =mn=nlogaM,即logaM =nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质: 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则有 loga(MN)=logaM+logaN,① M logaN=logaM-logaN,② logaMn=nlogaM(n∈R).③ (4)以上三个性质可以归纳为: 性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和; 性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数. (5)利用对数运算性质进行运算,所以要求a>0,a≠1,M>0,N>0. (6)性质①可以推广到n个数的情形: 即loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn(其中a>0,a≠1,M1M2 M3…Mn均大于0). (7)纵观这三个性质我们知道, 性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左 是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算. 利用对数的性质①②可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和、 差 运算,大大的方便了对数式的化简和求值. 应用示例 例1 用logax,logay,logaz表示下列各式: x2 x (1)loga(x yz);(2)logayz;(3)logay2z. 2 活动:学生思考观察,教师巡视,检查学生解题情况,发现问题及时纠正. 利用对数的运算性质,把整体分解成部分. 对(1)可先利用性质1,转化为两数对数的和,再利用性质3,把幂的对数转化为两数对 数的积.

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