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第29讲 数列结合其他问题考查更精彩

第 29 讲
考纲要求:

数列结合其他问题考查更精彩

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的 问题.

基础知识回顾:
1.数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤,可用图表示如下

2.等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量 就是公差. 3.等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固 定的数就是公比. 4.递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应 考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是前 n 项和 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系.

应用举例:
类型一、等差数列与等比数列的综合应用
【例 1】 【2017 河南省郑州市高三质检】在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列; (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. ? 3n -1?× 4n+1+4 【答案】 (1)an=2n+10. (2)见解析;(3)Tn= . 9

-1-

(3)由 nbn=n× 4n,得 Tn=1× 4+2× 42+…+n× 4n,① +1,② ① - ② , 得 - 3Tn = 4 + 42 + ? + 4n - n×4n ?3n-1?×4 9
n+1


4Tn=1× 42+…+(n-1)× 4n+n× 4n

1



4?1-4n? + - n×4n 1. -3

所 以 Tn =

+4 .

【例 2】 【2017 河南省天一大联考】 已知各项都为正数的等比数列 {an } 满足 等差中项,且 a1a2 ? a3 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log3 an ,且 Sn 为数列 {bn } 的前项和,求数列的 {

1 a3 是 3a1 与 2a2 的 2

1 ? 2Sn } 的前项和 Tn . Sn

【答案】 (1)

an ? 3n ; (2)

?n ?

2n 2 ? 4n n ?1 .

点评:等差数列、等比数列综合问题的 2 大解题策略 (1)设置中间问题:分析已知条件和求解目标,为最终解决问题设置中间问题,例如求和 需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意解题细节:在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,
-2-

则要看其是否有等于 1 的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表 示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.

类型二、数列与函数的交汇
【例 3】 【2017 广西南宁高三模拟】设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图 象上(n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 2 (2)若 a1=1,f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{anbn}的前 ln 2 n 项和 Sn. ?3n-1?4n 1+4 【答案】 (1)见解析; (2)Sn= .. 9


【解析】(1)证明:由已知,bn=2an>0,当 n≥1 时,

bn+1 =2an+1-an=2d. bn

所以,数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2) 函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),它在 x 轴上的截距为 1 a2- . ln 2 由题意, a2 - n· 4n. 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+?+(n-1)· 4n 1+n· 4n,


1 1 =2- . 解得 a2 = 2. 所以, d = a2 - a1= 1 , an = n , bn = 2n , anb2 n= ln 2 ln 2

4Sn=1×42+2×43+?+(n-1)×4n+n· 4n 1.


4n 1-4 ?1-3n?4n 1-4 + + 因此,Sn-4Sn=4+42+?+4n-n· 4n 1= -n· 4n 1= . 3 3
+ +

?3n-1?4n 1+4 所以 Sn= . 9


【例 4】 【2017 大连市一中高三摸底考试】已知二次函数 f(x)=ax2+bx 的图象过点(-4n,0), 且 f′(0)=2n(n∈N*). (1)求 f(x)的解析式; 数列{an}的通项公式. 1 2 4 * * 【答案】 (1)f(x)= x +2nx(n∈N ).(2)an= 2(n∈N ). 2 ?2n-1? 1? 1 (2)若数列{an}满足 =f′? ,且 a1=4,求 a ? an+1 n?

-3-

类型三、数列与不等式的交汇
a b 【例 5】【2017 广东省惠州市高三第一次调研考试】设 a ? 0 , b ? 0 ,若 2 是 4 和 2 的等

比中项,则

2 1 ? 的最小值为( a b
A. 2 2

) B.8 C.9 D.10

【答案】C 【解析】因为 4a ? 2b ? 2 ,所以 2a ? b ? 1 ,

2 1 ?2 1? ?b a? ? ? ? 2a ? b ? ? ? ? ? 5 ? 2 ? ? ? ? 9 , a b ?a b? ?a b?

当且仅当

1 b a ? 即 a ? b ? 时“=”成立。 2 a b

【例 6 】 【 2017 新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知数列 {an} 前 n 项和为 Sn ,满足 Sn=2an-2n(n∈N*). (1)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=log2(an+2),Tn 为数列{ 立,求 a 的 取值范围. 【答案】(1) an ? 2n?1 ? 2(n ? N * ) ; (2) a ? 【解析】(1) 由题设 Sn ? 2an ? 2n n ? N 两式相减得 an ? 2an?1 ? 2 ,

1 }的前 n 项和,若 Tn ? a 对正整数 a 都成 bnbn ?1

?

?

? ,S

1 . 2
n?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1)

(n ? 2)

即 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) .又 a1 ? 2 ? 4 ,
n ?1

所以 ?an ? 2? 是以为首项,为公比的等比数列,则 an ? 2 ? 4 ? 2

,

-4-

n?1 * an ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2(n ? 2) , 又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 2(n ? N )

(2)因为 bn ? log2 (an ? 2) ? log2 (2n?1 ) ? n ?1,则 所以 Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 1 1 1 1 1 ? )? ? ? , 依题意得: a ? 2 n ?1 n ? 2 2 n?2 2

点评:数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较 法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列 表法、因式分解法、穿根法等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合 处理就行了.

类型四、等差数列与等比数列的实际应用
【例 7】 【2017 株洲高三摸底考试】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍, 并且每年年底固定给股东们分红 500 万元.该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元. (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金; (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元. 【答案】(1) 8 500 万元; (2)该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元..

方法、规律归纳:
1.解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中 部分项成等差数列,部分项成等比数列,则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来, 研究这些项与序号之间的关系;如果两个数列是通过运算综合在一起的,就要从分析运算入 手,把两个数列分割开,再根据两个数列各自的特征进行求解. 2.数列与函数的综合一般体现在两个方面 (1)以数列的特征量 n, an, Sn 等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关 系; (2)数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.

-5-

实战演练:
1 1. 【2017 湖南衡阳八中月考】已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数 2 a9+a10 列,则 =( a7+a8 2 2 【答案】C. 【解析】设等比数列的公比为 q,由题意知 a3=a1+2a2,即 a1q2=a1+2a1q,∴q2-2q-1= 0,解得 a9+a10 ?a7+a8?q2 2 q=1+ 2或 q=1- 2(舍去).∴ = =q =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 a7+a8 2. 【2017 广东省珠海市高三摸底考试】正项等比数列{an}中,存在两项 am,an(m,n∈N*)使 1 5 得 aman=4a1,且 a7=a6+2a5,则 + 的最小值是( m n 7 A. 4 【答案】B B.1+ 5 3 ) 25 C. 6 2 5 D. 3 ) B.1- 2 C.3+2 2 D.3-

A.1+ 2

3. 【2017 广东省珠海市高三摸底考试】数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等 比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为( A. 2 【答案】C
2 【解析】设数列{an}的公差为 d(d≠0),由 a2 3=a1a7 得(a1+2d) =a1(a1+6d),解得 a1=2d,故

) C.2 1 D. 2

B.4

a3 a1+2d 2a1 数列{bn}的公比 q= = = =2. a1 a1 a1 4. 【2017 江西省南昌高三一模】已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2 -bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( A.24 【答案】D B.32 ) C.48 D.64

-6-

【解析】依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n 1,两式相除,得


an+2 =2,所以 a1,a3, an

a5,?成等比数列,a2,a4,a6,?成等比数列.而 a1=1,a2=2,所以 a10=2· 24=32,a11= 1· 25=32.又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64. 5. 【2017 广东六校联考】据科学计算,运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒 钟通过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程增加 2 km,在到达离地面 240 km 的高度时,火 箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是( A.10 秒钟 【答案】C B.13 秒钟 ) C.15 秒钟 D.20 秒钟

6. 【2017 天津市十二区联考】已知数列{an}满足 an+1+an-1=2an,n≥2,点 O 是平面上不在 l → → → 上的任意一点,l 上有不重合的三点 A、B、C,又知 a2OA+a2 009OC=OB,则 S2 010=( )

A.1 004 【答案】D

B.2 010

C.2 009

D.1 005

7. 【2017 青岛一中高三质检】设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标


为 xn,则 xn=________,令 an=lg xn,则 a1+a2+?+a99 的值为________.

-7-

n 【答案】 -2 n+1 【解析】∵y=xn 1,∴y′=(n+1)xn,它在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),与 x


轴交点的横坐标为 xn=1-

1 n = ,由 an=lg xn 得 an=lg n-lg(n+1),于是 a1+a2+?+ n+1 n+1 n -2 n+1

a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+?+lg 99-lg 100=lg 1-lg 100=0-2=-2.答案:

8.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S100 的值为________. 【答案】10 100.

9. 【2017 广东六校联考】某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使 用过程中逐年减少. 从第 2 年到第 6 年, 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元; 从第 7 年开始, 每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则需在第 n 年初对 M n 更新.证明:需在第 9 年初对 M 更新.

?130? 10n, n ? 6 ? an ? ? 3 70? ( ) n ?6 , n ? 7 ;需在第 9 年初对 M 更新. 【答案】 ? 4 ?
【解析】(1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,an=120-10(n-1) =130-10n; 3 当 n≥7 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等比数列,又 a6=70,所以 an= 4 70× ( )

3 4

n ?6

.

?130? 10n, n ? 6 ? an ? ? 3 70? ( ) n ?6 , n ? 7 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 ? 4 ?
(2) 证明:设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时 , 由 于 S6 = 570 , 故 Sn = S6 + (a7 + a8 + ? + an) = 570 + 70× 3 4

-8-

×4× [1 ? ( )

3 4

n ?6

]

3 n ?6 780 ? 210 ? ( ) 3 n ?6 4 = 780 - 210× ( ) , An = . 因为 {an} 是递减数列,所 4 n
以{An}是递减数

79 76 <80, 96

3 3 780? 210? ( ) 2 780? 210? ( )3 47 4 = 82 >80 , A9 = 4 = 列,又 A8 = 64 8 9
所以需在第 9 年初对 M 更新.

n+2 10. 【2017 河北省冀州中学高三摸底考试】数列{an}满足:a1+2a2+?+nan=4- n-1 ,n∈ 2 N*. (1)求 a3 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn; Tn-1 ? 1 1 1 (3)令 b1=a1,bn= +?1+2+3+?+n? ?an(n≥2),证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 n Sn<2+2ln n. 1 1 【答案】a3= .;Tn=2- n-1. 见解析 4 2

1 a1 1+ ?a , (3)证明:∵b1=a1=1,∴S1<2+2ln 1 成立.又∵b2= +? 2 ? 2? 2 a1+a2 ? 1 1? a1+a2+?+an-1 ? 1 1 b3= +?1+2+3?a3,?,bn= +?1+2+?+n? ?an, 3 n 1 1? 1? ? 1 ∴数列 {bn} 的前 n 项和 Sn = b1 + b2 + ? + bn = ? ?1+2+?+n? a1 + ?1+2+?+n? a2 + ? +

-9-

1 ? ?1+1+?+1? an = ?1+1+?+1? (a1 + a2 + ? + an) = ?1+1+?+1? ?2- n - n? n? n? ? 2 1? < ? 2 ? 2 ? 2 1 1? 2? ?1+2+?+n?, 1-x 1 1 构造函数 h(x)=ln - +1,x>0,h′(x)= 2 , x x x 令 h′(x)>0,解得 0<x<1;令 h′(x)<0,解得 x>1, 1 1 ∴h(x)=ln - +1,x>0 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, x x 1 1 1 ∴h(x)≤h(1)=0,∴ln - +1≤0,x>0(仅当 x=1 时取等号),即 ln x≥1- . x x x n-1 1 1 1 n-1? ? n-2? n 1- ?= + +?+ 又∵ln n=ln +ln +?+ln 2>?1- +?1- +?+? ? 2? 2 3 ? n n - 1 ? ? n-1 n-2 ? ? 1 , n 1 1 1+ +?+ ?<2+2ln n,∴Sn<2+2ln n. ∴2? n? ? 2

- 10 -


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