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北京四中2017年高考数学模拟题(含答案)

北京四中 2017 年文科数学高考模拟题
一.选择题. 1.已知 x , y 是实数, 则“ x 2 ? y 2 ”是“ x ? y ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

2.已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? x 0 ? x ? 3 ,则 A ? B ? A. x ? 1 ? x ? 3

?

?

?

?





? ?

? ?

B. x 0 ? x ? 3

? ?

? ?

C. x ? 1 ? x ? 2

D. x 2 ? x ? 3

3.已知三条直线 l、m、n,三个平面 ?、?、? ,有以下四个命题: ① ? ? ?、? ? ? ? ? ? ? ;② l ? m、l ? n ? m // n ;



m // ? , n // ? ? ? ? ? // ? ; m ? ?, n ? ? ?

④ ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ? m ? ? 。其中正确 命题的个数为 A.0 C.2 ( B.1 D.3 ( ) )

4. 若复数 z 与其共轭复数 z 满足: z ? z ? 2i ,则复数 z 的虚部为 A.1 5.若函数 f ( x) ? log a ( B. i C.2 D.-1

1 )(a ? 0且a ? 1 ) 的定义域和值域都是[0,1],则 a= x ?1
B. 2 ( C.





A.2

2 2

D.

1 2

6.右图程序运行后输出的结果为 A.3 4 5 6 C.5 6 7 8
2 2

) B.4 5 6 7 D.6 7 8 9

7.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0, 设该圆中过点(3,5)的最长弦和最 短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积是 A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 ( )

D. 40 6

8.△ABC 中, CA ? CB ? 0, CD ? ( A. ) B.

1 (CA ? CB ), CA ? 3, CB ? 4 ,则向量 CD 与 CB 夹角的余弦值为 2
C.

1 5

2 5

3 5

D.

4 5

1

9.点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)左支上的一点,其右焦点为 F (c,0) ,若 M 为线段 FP 的中点, 且 M 到坐标 a 2 b2
1 8
( )

原点的距离为 c ,则双曲线的离心率 e 范围是 A. (1,8] B. (1, ]

4 3

C. ( , )

4 5 3 3

D. (2,3] ( D. ( )

10.函数 y ? cos 2 x ? 2 cos x, x ? (0, ? ) 的单调递增区间为 A. (0,

?
3

)

B. (

? 2?
3 , 3

)

C. (

? ? , ) 3 2

2? ,? ) 3

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分 11.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcos2C, 则?C 的取值范围是 。 .

12.已知函数 y ? f ( x) 为奇函数,若 f (3) ? f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? f (?3) ? 13.若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则 此多面体的体积是 .

, 0) , B(b, 0) ,若抛物线 y 2 ? 4x 上存在点 C 14.已知两点 A(1
使 ?ABC 为等边 三角形,则 b=_________ . 15 . 对 大 于 或 等 于 2 的 自 然 数

m



n

次 幂 进 行 如 下

方 式 的 “ 分 裂 ”,

[来源:Z.xx.k.Com] 3 仿此,5 “分裂”中最大的数是 . 16.在由 1,2,3,4,5 组成可重复数字的二位数中任取一个数, 如 21、22 等表示的数中只有一个偶数“2” ,我们称这样 的数只有一个偶数数字,则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为 、 .

17.已知 x , y 满足 ?

?y ? x ? 2 ? 3 ?y ? 2


,不等式 x ? 9 y ? axy 恒成立,则 a 的取值范围为
2 2

2

三、解答题 19 . 如 图 , 矩 形 ABCD 中 , AD ? 平面A B E, AE ? EB ? BC ? 2 , G 是 AC 中 点 , F 为 CE 上 的 点 , 且

BF ? 平面ACE .
(Ⅰ)求证: AE ? 平面BCE ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BGF 的体积. D G C

A

F

B

E

18. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的值域.

21.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? mx3 ? (2 ?

1 3

m 2 ) x ? 4 x ? 1, g ( x) ? mx ? 5 . 2

(I)当 m ? 4 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)是否存在 m ? 0 ,使得对任意的 x1 , x2 ?[2,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 ,若存在,求 m 的范围;若不存在,请 说明理由.

3

22.已知椭圆

x2 y 2 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,右 焦点为 F(1,0) ,直线 l 经过点 F,且与椭圆交于 A、B 两点, 2 a b 2

O 为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程; (II)当直线 l 绕点 F 转动时,试问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得 MA ? MB 为常数?若存在,求出定点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由.

20. (本题满分 14 分)数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: Sn ? 2an ? 3n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

1 3 ,数列{ bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 S n ? 3n ? 9

4

参考答案
一.BBAAD 二.11. (0, 15.29 ABDBD

?
3

) 14 25

12.1

16.

5 3 cm 6 15 17. a ? 2
13.

14.5,-1/3

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18. (Ⅰ)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC ,∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC 又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF ,∴ AE ? 平面BCE ,解:? AE // 平面BFD ,∴ AE // FG , 而 AE ? 平面BCE ,∴ FG ? 平面BCE ∴ FG // AE 且 FG ? ,∴ FG ? 平面BCF ,? G 是 AC 中点 ∴ F 是 CE 中点

1 AE ? 1 ,? BF ? 平面ACE ,∴ BF ? CE 2 1 1 ∴ Rt ?BCE 中, BF ? CF ? CE ? 2 ,∴ S ?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 (12 分) 2 2 1 1 ∴ VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? 3 3
19.解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

? ? 1 3 ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 3 4 4 2 2

? 2? 1 3 1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,∴周期T ? 6 2 2 2 2 2
由 2x ?

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z ), 得x ?

? k? ? ? (k ? Z ) ,∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ? (k ? Z ) 3 2 3

(2) 0 ? x ?

?
2

∴ 0 ? x ? ? ,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5 ? 6

,∴ ?

1 ? ? 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ,∴值域为 ? ? ,1? 2 6 ? 2 ?

m 2 ) x ? 4x ? 1 ,? f ?( x) ? mx2 ? (4 ? m) x ? 4 ? (mx ? 4)( x ? 1) . 2 4 4 4 (1)若 m ? 4 时,则 0 ? ? 1 ,此时 x ? (??, ) ? (1, ? ?) 都有 f ?( x) ? 0 , x ? ( ,1) 有 f ?( x) ? 0 . m m m 4 ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, ] 和 [1, ? ?) . m
20.解: (I)? f ( x) ? mx3 ? (2 ? (2)若 m ? 4 ,则 f ?( x) ? 4( x ? 1)2 ? 0 ,

1 3

? f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? ?) .

(II) 当 m ? 0 时, f ?( x) ? mx2 ? (4 ? m) x ? 4 ? m( x ?

?当 2 ? x ? 3 时,都有 f ?( x) ? 0 .


?此时, f ( x) 在 [2, 3] 上单调递减
上 单 调 递 减 .

? f ( x)max

4 4 )( x ? 1) 且 ? 1 , m m 2m ? f (2) ? ?1. 3
由 已 知

g ( x) ? mx ? 5



[2, 3]

g ( x)min ? g (3) ? 3m ? 5

f ( x)m ?ag ( x) x

?(

2m 7 15 15 ?m 1) ? i(3mn? 5) ? ? m ? 4 ? 1 ,解得 m ? ? , 又 m ? 0 .?? ? m ? 0 . 3 3 7 7
7

综上所述,存在 m ?[? 15 , 0), 使对任意 x1 , x2 ?[2, 3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 成立.

5

21.(Ⅰ)由题意可知,c=1,又 e=

c x2 2 2 2 2 2 = ,解得 a= 2 ??? 所以 b =a -c =1 所以椭圆的方程为 + y =1.? a 2 2

(II)若直线 l 不垂直于 x 轴,可设 l 的方程为 y=k(x-1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 4 2 2 2 由 ? x2 得(1+2k )x -4k x+2k -2=0.△=16k -4(1+2k ) (2k -2)=8k +8>0. 2 ? ? y ? 1, ? 2
设A (x1,y1) ,B (x2,y2) ,则 x1+ x2=

4k 2 2k 2 ? 2 , x . ?设 M (t, 0) , 则 MA = ( x1-t,y1) ,MB = ( x2-t,y2) , 1 x2= 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 2 2 2 (x2-t)+ y1 y2= x1 x2- t(x1+ x2)+ t +k (x1-1) (x2-1)=(1+ k ) x1 x2-( t +k ) ( x1+ x2) MA ? MB =(x1-t)

2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 + t +k =(1+ k ) 2k ? 2 -( t +k ) 4k 2 + t +k = (2k ? 2k ? 2k ? 2) ? (4k ? 4k t ) ? (2k t ? 2k ? t ? k ) 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k

(2t 2 ? 4t ? 1)k 2 ? (t 2 ? 2) (2t 2 ? 4t ? 1)k 2 ? (t 2 ? 2) 要使得 = λ ( λ 为常数) ,只要 =λ , MA ? MB 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 即( 2t 2 ? 4t ? 1 ? 2? )k + (t -2 -λ )=0. (*)
=

? 2t 2 ? 4t ? 1 ? 2? ? 0, ? t ? 5, 对于任意实数 k,要使(*)式恒成立,只要 ? 2 解得 ? ?若直线 l 垂直于 x 轴,其方 ? 7 ?t ? 2 ? ? ? 0, ?? ? ? .
? ? 16

?

4

5 1 程为 x=1. 此时, 直线 l 与椭圆两交点为 A (1, 2 ) 、 B (1,一 2 ) ,取点 S ( , 0) , 有 SA = (- , 2 ) , SB = 4 4 2 2 2
(-

???

???

??? ??? 1 7 1 1 ,- 2 ), SA ? SB =(- )×(- )+ 2 ×(- 2 )= ? =λ . 4 4 4 16 2 2 2

综上所述,过定点 F(1,0)的动直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,当直线 l 绕点 F 转动时,存在定点 M( 使得 MA ? MB = ?

5 ,0) , 4

7 16
*

22.解 (1)当 n ? N 时有: S n ? 2an ? 3n,? S n?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1), 两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3, ’∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 , ?an?1 ? 2an ? 3 ,

∴ a1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 ? 0 .∴数列{ an ? 3 }是首项 6,公比为 2 的等比数列.从而 an ? 3 ? 6 ? 2n?1 , ∴ an ? 3 ? 2n ? 3. (2) S n ? 2(3 ? 2 n ? 3) ? 3n ? 3 ? 2 n?1 ? 3n ? 6 ,∴ S n ? 3n ? 9 ? 3(2 n?1 ? 1) ,∴ bn ?

1 2
n ?1

?1

?

1 2 n ?1

1 1 (1 ? n ) 2 1 1 1 2 ?1? 1 ?1. Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 2 1 2 2 n?1 2 2 2 2 1? 2

6


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