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河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考理数试题Word版含答案.doc


数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x ? N |1 ? x ? log2 k? ,集合 A 中至少有 3 个元素,则( A. k ? 8 2.复数 B. k ? 8 C. k ? 16 D. k ? 16 )

2?i 的共轭复数的虚部是( ) 1 ? 2i 3 3 A. ? B. C.-1 D.1 5 5
3.下列结论正确的是( ) A.若直线 l ? 平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,则 ? / / ? B.若直线 l / / 平面 ? ,直线 l / / 平面 ? ,则 ? / / ? C.若两直线 l1、l2 与平面 ? 所成的角相等,则 l1 / / l2 D.若直线 l 上两个不同的点 A、B 到平面 ? 的距离相等,则 l / /? 4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 a5 ? 2a3 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为 ( A.29 ) B.31 C.33 D.36 )

5 ,则 S5 ? 4

5.已知实数 x, y 满足 ?

?x ? 2 y ?1 ? 0 2x ? y ? 2 ,则 z ? 的取值范围为( x ? x ? y ?1 ? 0

A. ? 0,

? 10 ? ? 3? ?

B. ? ??, 2? ? ?

?10 ? , ?? ? ?3 ?

C. ? 2,

? 10 ? ? 3? ?

D. ? ??, 0? ? ? )

?10 ? , ?? ? ?3 ?

6.若 a ? 0, b ? 0,lg a ? lg b ? lg ? a ? b ? ,则 a ? b 的最小值为( A.8 B.6 C.4 D .2 )

7.阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是(

n ?1 A.计算数列 2 前 5 项的和 n C.计算数列 2 ? 1 前 6 项的和

? ?

n B.计算数列 2 ? 1 前 5 项的和 n ?1 D.计算数列 2 前 6 项的和

?

?

?

?

? ?

8. ?ABC 中, “角 A, B, C 成等差数列”是“ sin C ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

?

3 cos A ? sin A cos B ”的(

?



C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2 9.已知 a ? b ,二次三项式 ax ? 2 x ? b ? 0 对于一切实数 x 恒成立,又 ?x0 ? R ,使

2 ax0 ? 2x0 ? b ? 0 成立,则

a 2 ? b2 的最小值为( a ?b
D. 2 2



A.1

B. 2

C.2

10.已知等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若对于任意的自然数 n ,都有

a ? a15 a3 S n 2n ? 3 ,则 1 ? ?( ? Tn 4n ? 3 2 ? b3 ? b9 ? b2 ? b10
A.



19 41

B.

17 37

C.
2

7 15

D.

20 41

11.已知函数 g ? x ? ? a ? x ?

?1 ? ? x ? e, e为自然对数的底数 ? 与 h ? x ? ? 2ln x 的图象上存 ?e ?

2 D. ? ? e ? 2, ??

在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A. ?1,

? 1 ? ? 2? 2 ? e ?

2 B. ? ?1, e ? 2 ? ?

C. ?

?1 ? ? 2, e2 ? 2? 2 ?e ?

?

12.如图,在 ?OMN 中, A, B 分别是 OM , ON 的中点,若 OP ? xOA ? yOB ? x, y ? R ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界) ,则

y ?1 的取值范围是( x? y?2



A. ? , ? 3 3

?1 2 ? ? ?

B. ? , ? 3 4

?1 3 ? ? ?

C. ? , ? 4 4

?1 3? ? ?

D. ? , ? 4 3 共 90 分)

?1 2? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若实数 a、b ? ? 0,1? ,且满足 ?1 ? a ? b ? 14.若 tan ? ?

1 ,则 a、 b 的大小关系是_____________. 4

1 10 ?? ? ?? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 2cos cos 2 ? 的值为 tan ? 3 4? 4 ?4 2? ?

___________. 15.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是_____________.

16.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? lg ? ? x ? , x ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4, x ? 0
2

,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ?1 ? 0 有 8 个不

同根,则实数 b 的取值范围是______________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? 2sin ?

?? ?2

? x ? ,集合 M ? x | f ? x ? ? 2, x ? 0 ,把 M 中的元素从小到大依次 ?

?

?

排成一列,得到数列 ?an ? , n ? N * . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

1 1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 4 an ?1

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? 3 sin

? ?

x ? x ? ,1? , n ? ? cos ,cos 2 4 ? 4 ? ? ?

x? n. ? ,记 f ? x ? ? m? 4?

(1)若 f ? x ? ? 1 ,求 cos ? x ?

??

? 的值; 3?

(2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 求 f ? 2 A? 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1B 1BA ,且 AA 1 ? AB ? 2 . (1)求证: AB ? BC ; (2)若直线 AC 与平面 A 1BC 所成角的正弦值为

1 ,求锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小. 2

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x ? a ? R ? . (1)若曲线 g ? x ? ? f ? x ? ? x 上点 1,g ?1? 处的切线过点 ? 0, 2 ? ,求函数 g ? x ? 的单调减 区间; (2)若函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点,求 a 的最小值. 21.(本小题满分 12 分)

?

?

? ?

1? 2?

已知 p ? ? x, m? , q ? ? x ? a,1? ,二次函数 f ? x ? ? p? q ?1 ,关于 x 的不等式

f ? x ? ? ? 2m ?1? x ?1? m2 的解集为 ? ??, m? ? ? m ?1, ??? ,其中 m 为非零常数,设
g ? x? ? f ? x? . x ?1

(1)求 a 的值; (2)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x 的图象相切,且切点的横 坐标 x0 满足 x0 ?1 ? x0 ? 3 ,求实数 m 的取值范围; (3)当实数 k 取何值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ?1? 存在极值?并求出相应的极值点. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形, 且 BC ? CD , 其对角线 AC 与 BD 相交于点 M , 过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P . (1)求证: AB ?MD ? AD ?BM ;

MD ? CB ? BM ,求证: AB ? BC . (2)若 CP ?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y? 2t ? ? 2
极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2 2

? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 ,且曲线 C 的左焦

点 F 在直线 l 上. (1)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 FA ?FB 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立. (1)求满足条件的实数 t 的集合 T ; (2)若 m ? 1, n ? 1 ,对 ?t ? T ,不等式 log2 m? log3 n ? t 恒成立,求 m ? n 的最小值.

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 C 7 D 8 A 9 D 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13. a ? b 三、解答题 17.解: (1)∵ f ? x ? ? 2 ,∴ 14.0 15.80 16. 2 ? b ?

17 4

?
2

x ? k? ?

?
2

? k ? Z ? ,∴

. . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 x ? 2k ? 1, k ? Z .
* 又∵ x ? 0 ,∴ an ? 2n ? 1 n ? N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

?

?

∴ Tn ? b1 ? ? ? bn ? ∴ Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 4? 2 2 3 n n ? 1 ? 4 4 ? n ? 1? 4

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 4

18. (1)

?? ? x x x 3 x 1 x 1 ?x ?? 1 f ? x ? ? m?n ? 3 sin cos ? cos2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2
由 f ? x ? ? 1 ,得 sin ?

?x ?? 1 ? ? ? ,所以 ?2 6? 2

?? ? ?x ?? 1 . . . . . . . . . . . .6 分 cos ? x ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ? ?2 6? 2
(2)因为 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,由正弦定理得

? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ,所以 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ,

所以 2sin A cos B ? sin ? B ? C ? ,因为 A ? B ? C ? ? ,

1 ? ? ,又 0 ? B ? ,所以 B ? , 2 2 3 2 2 ? ? ? ? ? 2? 则 A ? C ? ? , A ? ? ? C ,又 0 ? C ? ,则 ? A ? ,得 ? A ? ? , 3 3 2 6 2 3 6 3
所以 sin ? B ? C ? ? sin A ,且 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 所以

?? 1 3 ?? ? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,又因为 f ? 2 A? ? sin ? A ? ? ? , 6? 2 2 6? ? ?
? 3 ?1 3 ? . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 2 , 2? . ? ?

故函数 f ? 2 A? 的取值范围是 ? 19. (1)证明:

D ,连接 AD . 如图,取 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 1B 的中点
因 AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 1 ? AB ,则 AD ? A 1B , 由平面 A . . . . . . . . . . . . . .3 分 1 BC ? 侧面A 1 ABB 1 ? A 1B , 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且平面 A

BC ? 平面 A1BC , 得 AD ? 平面 A 1BC ,又
所以 AD ? BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA1 ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC . 又 AA1 ? AD ? A ,从而 BC ? 侧面 A 1 ABB 1,

AB ? BC . 又 AB ? 侧面 A . . . . . . . . . . . . . . .6 分 1 ABB 1 ,故 CD 是 AC 在平面 A1BC 内的 (2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面 A 1BC ,则
射影,

AC 与平面 A1BC 所成的角的正 ∴ ?ACD 即为直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角,因为直线

弦值为

1 ? ,则 ?ACD ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 6 2

D 是 A1B 中点, 在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1 ? AB ? 2 ,且点
∴ AD ?

1 ? ? A1 B ? 2 且 ?ADC ? , ?ACD ? , 2 2 6

∴ AG ? 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分

E ,连接 DE , 过点 A 作 AE ? AC 1 于点
由(1)知 AD ? 平面 A 1BC ,则 AD ? AC 1 ,且 AE ? AD ? A , ∴ ? AED 即为二面角 A ? AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 1 ? B 的一个平面角. 且直角 ?A1 AC 中, AE ?

A1 A?AC 2 ? 2 2 2 6 , ? ? AC 3 2 3 1
,∴ sin ?AED ?

又 AD ?

2, ?ADE ?

?
2

AD 2 3 ,且二面角 A ? AC ? ? 1 ? B 为锐 AE 2 6 2 3

二面角, ∴ ?AED ?

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3

解法二(向量法) :

由(1)知 AB ? BC 且 BB1 ? 底面 ABC ,所以以点 B 为原点,以 BC、BA、BB1 所在直 线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图所示,且设 BC ? a ,则

A? 0,2,0? , B ? 0,0,0? , C ? a,0,0? , A1 ?0,2,2? ,
??? ? ???? ???? ???? BC ? ? a, 0, 0 ? , BA1 ? ? 0, 2, 2 ? , AC ? ? a, ?2, 0 ? , AA1 ? ? 0, 0, 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.9 分

设平面 A 1BC 的一个法向量 n1 ? ? x, y, z ? , 由 BC ? n1 , BA 1 ? n1 得:

??? ?

????

? za ? 0 ,令 y ? 1 ,得 x ? 0, z ? ?1,则 n1 ? ? 0,1, ?1? . . . . . . . . . . . .10 分 ? ?2 y ? 2 z ? 0

? 设直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角为 ,则 ? ?
得 sin

?
6



?
6

?

???? AC ?n1 AC ?n1

?

?2 4 ? a2 2

?

???? 1 ,解得 a ? 2 ,即 AC ? ? 2, ?2, 0 ? , 2

又设平面 A 1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得 n3 ? ?1,1,0? , 设锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 ? ,则

cos ? ? cos n1 , n2 ?

? n1 ?n2 1 ? ?? ? ,且 ? ? ? 0, ? ,得 ? ? , 3 n1 n2 2 ? 2?

? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3 2 20.解: (1)∵ g ? x ? ? ?3 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 2ln x ,∴ g ? ? x ? ? 3 ? a ? ,∴ x
∴锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 . . . . . . . .2 分 g? ? x ? ? 1 ? a ,

1? 2 ? ?1 ,得 a ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 1? 0 2 x?2 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 , 由 g?? x? ? 3 ? 2 ? ? x x
又 g ?1? ? 1,∴ 1 ? a ? ∴函数 g ? x ? 单调减区间为 ? 0, 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)因为 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? 上恒成立不可能, 故要使函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点,只要对任意的 x ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 恒成立,

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

即对 x ? ? 0, ? , a ? 2 ? 令 I ? x? ? 2 ?

? ?

1? 2?

2ln x 恒成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 x ?1

2ln x ? 1? , x ? ? 0, ? , x ?1 ? 2?

2 2 ? x ? 1? ? 2ln x 2ln x ? ? 2 x 则 I ?? x? ? x . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
再令 m ? x ? ? 2ln x ?

2 ? 1? ? 2, x ? ? 0, ? , x ? 2?

则 m? ? x ? ? ?

2 2 ?2 ?1 ? x ? ? ? ? 0, x2 x x2

故 m ? x ? 在 ? 0, ? 上为减函数,于是 m ? x ? ? m ? ? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 从而, I ? ? x ? ? 0 ,于是 I ? x ? 在 ? 0, ? 上为增函数,所以 I ? x ? ? I ? 故要使 a ? 2 ?

? ?

1? 2?

?1? ?2?

? ?

1? 2?

?1? ? ? 2 ? 4ln 2 , ?2?

2 ln x 恒成立,只要 a ??2 ? 4ln 2, ??? , x ?1

综上,若函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点,则 a 的最小值为 2 ? 4 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

? ?

1? 2?

q ?1, 21.解: (1)∵ p ? ? x, m ? , q ? ? x ? a,1? , f ? x ? ? p ?
∴二次函数 f ? x ? ? x ? ax ? m ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分
2

? ?

?

? ? ?

关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ?1? x ?1 ? m 的解集为 ? ??,0? ? ? m ?1, ??? ,
2

也就是不等式 x ? ? a ?1 ? 2m? x ? m ? m ? 0 的解集为 ? ??,0? ? ? m ?1, ??? ,
2 2 2 2 ∴ m 和 m ? 1 是方程 x ? ? a ?1 ? 2m? x ? m ? m ? 0 的两个根,

由韦达定理得: m ? ? m ?1? ? ? ? a ?1? 2m? , ∴ a ? ?2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 (2)由(1)得 g ? x ? ?

f ? x ? x2 ? 2 x ? m ? 1 m ? ? ? x ? 1? ? , x ?1 x ?1 x ?1

∴ ? ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x ? ln x ? 1 ?

m 1 m , , ? ? x? ? ? x ?1 x ? x ? 1?2

∵存在一条与 y 轴垂直的直线和 ? ? x ? 的图象相切,且切点的横坐标为 x0 ,

∴ ? ? x0 ? ?

1 m 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ? ? 0 ? m ? x0 ? ? 2 . 2 x0 ? x0 ? 1? x0

∵ x0 ?1 ? x0 ? 3 ,∴ x0 ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 令 h ? x? ? x ?

1 1 ? x ? 1?? x ? 1? ? 2 ? x ? 2 ? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 2 ? , x x x2

当 x ? 2 时, h? ? x ? ? 1 ? ∴ h ? x? ? x ?

1 ? x ? 1?? x ? 1? ? ? 0, x2 x2

1 ? 2 在 ? 2, ??? 上为增函数, x
1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? 2 ? h ? 2 ? ? ,∴ m ? . 2 x0 2

从而 h ? x0 ? ? x0 +

(3) ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ∴??? x? ? 1?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1, ?? ? , x ?1

m

? x ? 1?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? 2 x ?1 ? x ? 1?

方程 x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

? ? ? 2 ? k 2 ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
①若 m ? 0 时, ? ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1,或 2

x2 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ?1, 2

则 x ? ?1, x2 ? 时, ?? ? x ? ? 0 ; x ? ? x2 , ??? 时, ?? ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递减,在 ? x2 , ??? 上单调递增, 此时函数 ? ? x ? 存在极小值,极小值点为 x2 , k 可取任意实数, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分
2 ②若 m ? 0 时,当 ? ? 0 ,即 ?2 ?m ? k ? 2 ?m 时, x ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 恒成

立, ?? ? x ? ? 0, ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 此时 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上没有极值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

下面只需考虑 ? ? 0 的情况,由 ? ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m ,

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m 当 k ? ?2 ?m ,则 x1 ? ? 1, x2 ? ? 1, 2 2
故 x ? ?1, ?? ? 时, ?? ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, ∴函数 ? ? x ? 没有极值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m 当 k ? 2 ?m 时, x1 ? ? 1, x2 ? ? 1, 2 2
则 x ? ?1, x1 ? 时, ?? ? x ? ? 0; x ? ? x1, x2 ? 时, ?? ? x ? ? 0; x ? ? x2 , ??? 时, ?? ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减,在 ? x2 , ??? 上单调递增,此时 函数 ? ? x ? 存在极大值和极小值,极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述,若 m ? 0 时, k 可取任意实数,此时函数 ? ? x ? 有极小值且极小值点为 x2 ;若

m ? 0 时,当 k ? 2 ?m 时,函数 ? ? x ? 有极大值和极小值,此时极小值点为 x2 ,极大值点
为 x1 (其中 x1 ? 分 22.解: (1)由 BC ? CD 可知, ?BAC ? ?DAC ,

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 , x2 ? 2 2

AB AD ? ,因此 AB ?MD ? AD ?BM ; . . . . . . . . . . . . .5 分 BM DM CP BM BM AB MD ? CB ? BM ,可知 ? ? (2)由 CP ? ,又由(1)可知 , CB MD MD AD CP AB ? 则 ,由题意 ?BAD ? ?PCB ,可得 ?BAD ? ?PCB , CB AD
在 ?ABD 中,则 则 ?ADB ? ?CBP ,又 ?ADB ? ?ACB ,即 ?CBP ? ?ACB , 又 PB 为圆 O 的切线,则 ?CBP ? ?CAB , 因此 ?ACB ? ?CAB ,即 AB ? AC . . . . . . . . . . . . . . .10 分 23.解: (1)已知曲线 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其左焦点为 ?2 2, 0 . 12 4

?

?

? 2 t ? x ? ?2 2 ? x2 y 2 ? 2 ? ? 1 联立, 则 m ? ?2 2 ,将直线 l 的参数方程 ? 与曲线 C : 12 4 2 ? y? t ? ? 2
得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,则 FA ?FB ? t1t2 ? 2 . . . . . . . . . . . . . . .5 分
2

(2)由曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,可设曲线 C 上的定点 P 2 3 cos ? , 2sin ? , 12 4

?

?

则以 P 为顶点的内接矩形周长为 4 ? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 16sin ? ? ? 因此该内接矩形周长的最大值为 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

?

?

? ?

? ??

?? ?? 0 ? ? ? ? , 3 ?? 2?

? ?1, x ? 1 ? 24.解: (1)令 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 3,1 ? x ? 2 ,则 ?1 ? f ? x ? ? 1 , ? 1, x ? 2 ?
由于 ?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立,有 t ?T ? ?t | t ? 1? . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)由(1)知, log3 m? log3 n ? 1 , 根据基本不等式 log 3 m ? log 3 n ? 2 log 3 m log 3 n ? 2 , 从而 mn ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 3 时取等号,
2

再根据基本不等式 m ? n ? 2 mn ? 6 当且仅当 m ? n ? 3 时取等号, 所以 m ? n 的最小值为 6. . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分


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