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恒高教育

高中数学
第二章 圆锥曲线与方 程 恒高教育选修 2.2 椭圆 2-1
(第一课时)

复习巩固

长为2的线段AB的两端点分别在两条 互相垂直的直线上滑动,求线段AB的 中点M的轨迹方程.
y B O M A x

(1)直接法 (2)定义法 (3)相关点法

作业讲评
y

y

C
A

M

B x

C
A

M

B
x

O D

O

D

2.2
2.2.1





椭圆及其标准方程 第一课时

新课引 入

开普勒行星运动定律

所有行星绕太阳运行的轨道都是
椭圆 太阳处椭圆的一个焦点上 ______, _______________.

新课引 入

M M

a
O F1 F2

OM ? a

MF1 ? MF2 ? 2a? F1F2

概念形 成

M

MF1 ? MF2 ? 2a ? F1F2

F1

F2

平面内与两个定点F1,F2的距离之 和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距.

概念辨 析

当 MF1 ? MF2 ? F1F2 时,
M F1 F2

动点M的轨迹:线段F1F2 .
当 MF1 ? MF2 ? F1F2 时,

动点M的轨迹: 不存在.

概念辨 析

用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6 的点的轨迹. 是 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4 的点的轨迹. 不是 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3 的点的轨迹. 是

新知探究

基本步骤:

(二)椭圆方程的推导
M

(1)建系 (2)设点
F1

F2

(3)限式 (4)代换
(5)化简、证明

新知探究

y
M

F1

o

F2

x

MF1 ? MF2 ? 2a? F1F2

新知探究

y P

M

b
F1

a
F2

o c

x

a ? b ? 0.
a ?b ?c
2 2 2

形成结论

x y ? ? 1 2 2 a b 其中,a ? b ? 0 .

2

2

重要关系:a ? b ? c
2 2

2

新知探究

y
F1 (0, c)

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(0, ?c) F2

x
M( x, y )

形成结论

当焦点在x轴上时:

x y ? 2 ?1 2 a b y x ? 2 ?1 2 a b
2 2
2 2

2

2

当焦点在y轴上时:
2

总有a ? b ? 0 且a ? b ? c

概念辨析

x2 y2 1)  + = 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0) 25 16 x2 y2 2)  + = 1 答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5) 144 169 x2 y2 3)  2 + 2 = 1 答:在y 轴上(0,-1)和(0,1) m m +1

判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上, 并指明a2、b2,写出焦点坐标.

典例讲评

例1

写出适合下列条件的椭圆的标准 方程. (1)a = 4 , b = 1, 焦点在x轴上.

(2)a = 4 , c = 15 ,焦点在y轴上. (3)a + b = 10 , c = 2 5 .

典例讲评

例2

已知椭圆两个焦点的坐标分别

是(-2,0),(2,0),并且经过
5 3 点 ( ,? ) ,求它的标准方程. 2 2

形成结论

①根据题意,设出标准方程;
(根据焦点的位置设出标准方程)

求椭圆方程的方法和步骤:

②根据条件确定a,b的值; ③写出椭圆的方程.

课堂小结

(1)椭圆的定义: (2)标准方程的两种形式:

(3)求椭圆方程.

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

x y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
2 2

2

2


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