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福建省福州八中2014届高三毕业班第一次质检数学文试题


福州八中 2014 届高三毕业班第一次质检数学文试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: 每小题 5 分,共 60 分. 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有 ( 一项符合题目要求,在答题纸的相应区域内作答) 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? {1, 2,3} , B ? {0, 2} ,则 A ? (CU B) 等于 A. ?1, 2,3, 4? A.充分不必要条件 B. ?0,1, 2,3? C. ?1, 2? B.必要不充分条件 D. ?1, 3?
2.若 a,b 为平面向量,则“a = b"是“| a |=| b |”的

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3.命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 B. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

4.函数 f ( x) ? sin x 的图象向左平移 ? 个单位后,所得图象的一条对称轴是 4 ? ? ? 3? A. x ? ? B. x ? C. x ? D. x ? 4 2 4 4 ?? ? ? 5.函数 y ? x 2 cos x ? ? ? x ? ? 的图象是 ? 2 y y 2?
π 2 π 2

O

x

π 2

O

π 2

x

A
n

B

C

D

6.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为 A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0 B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0

7.已知 ,则 A. a<b<c B. c<a<b C. a<c<b 8.函数 f ( x ) ? sin 2x ? 3cos 2x 的图象

D. c<b<a

A.关于直线 C.关于点

对称 对称

B.关于直线 D.关于点

对称 对称

9.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b)2 ( x ?R ) A. 既是奇函数又是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 10.下列函数 f(x)中,满足“ 且 A. 11.已知函数 围是 B. C. D.

”的是

的图象恒在直线 y = -2x 的下方, 则实数 a 的取值范

A.

B.

C.

D.

12. 定义两个实数间的一种新运算“*”:x ? y ? lg 10 x ? 10 y , x, y ? R .对任意实数

?

?

a, b, c ,给出如下结论:
其中正确的个数是 A. 0

① ?a * b ?* c ? a * ?b * c ? ;

② a *b ? b * a ;

③ ? a * b ? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ;

B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应 位置. 13.已知复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 | Z |? 14.若函数 f ( x ) 导函数为 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是______. 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 sin 2 A ? sin 2 B ? 2sin B ? sin C , c ? 3b ,则角 A 的值为 . 16.观察下列等式: 1 2 ? ? 1; 3 3 7 8 10 11 ? ? ? ? 12 ; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 ? ? ? ? ? ? 39 ; 3 3 3 3 3 3 … 则当 n ? m 且 m, n ? N 表示最后结果. 3n ? 1 3n ? 2 3m ? 2 3m ? 1 (最后结果用 m, n 表示最后结果) . ? ?? ? ? ? 3 3 3 3 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? 3 cos( x ? ) . 3 3

?

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) ? 1 的单调递增区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? (1 ? sin x) f ( x) ,求 g ( x) 的值域. 18.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) ? ax2 ? bx ? 1 为偶函数,且 f(-1) =-1. (I )求函数 f(x)的解析式; (II)若函数 g(x) = f(x) + (2-k) x 在区间(-2,2)上单调递增,求实数 k 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,AC=3,sin A+cos A= 2 . (1)求 sin A 的值; (2)△ABC 的面积 S=3,求 BC 的值.

20. (本题满分 12 分)

n2 1 5 ,已知 a1 ? , a2 ? . an ? b 2 6 (1)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ;
数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1
2

21.(本小题满分 12 分) 已知曲线 f ( x ) ? x3 ? bx2 ? cx 在点 A(-1,f(-1)),B(3,f(3))处的切线互相平行,且函数 f(x)的一个极值点为 x = 0. ( I)求实数 b,c 的值; (II )若函数 y ? f ( x ),x ? [? ,3] 的图象与直线 y= m 恰有三个交点,求实数 m 的取值 范围; 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e x ? ax 2 ? bx . (Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ? x ? 在点 P ? t , f ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? 处的切线为 l ,直线 l 与 y 轴相交于点

1 2

Q .若点 Q 的纵坐标恒小于 1,求实数 a 的取值范围.

福州八中 2013—2014 高三毕业班第一次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
选填题:DACBBA BDCCAD

2

(-1,3)

? 3

m2 ? n2

解答题: 17. 本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的基本性质,考查运算求解的能力,化归 与转化的思想.满分 12 分.

? ) ? 2sin x ,………………………………3 分 3 3 ? ? ?函数y ? sin x的单调递增区间是[2k? - , 2k? + ](k ? Z ) ,

解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?

?

? ? ∴ y ? f ( x ) ? 1 的单调增区间是 [2k? - ,2k? ? ]k ? Z …………………6 分 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, g ( x) ? 2(1 ? sin x)sin x ? 2sin x ? 2sin x ,………7 分 设 t ? sin x ,当 x ? R 时, t ?[?1,1] , 1 2 1 2 则 h(t ) ? 2t ? 2t ? 2(t ? ) ? , ……………………………………………9 分 2 2 1 由二次函数的单调性可知, h(t )min ? ? , 2 又? h(?1) ? 0, h(1) ? 4, ? h(t )max ? 4 , …………………………………………11 分 1 则函数 g ( x) 的值域为 [ ? , 4] . …………………………………………………12 分 2

2

2

19.解:(1)由 sin A+cos A= 2 sin(A+ ? )= 2 ,得 Sin(A+ ? )=1.
4

因为 0<A<π,即 ? <A+ ? < 5? . 所以 A+
4 4

?
4

=

?
2

4

, 故 A=

?
4

.所以 sin A=

4

2 2

.

(2)由 S= 1 AC· ABsin A= 3 2 AB=3,得 AB=2 2 ,
2

4
2× 2 2

由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A=9+8-2× 2 3×

=5, 故 BC= 5 .

20.解: (1)由 S1 ? a1 ?

1 1 1 4 4 4 ,得 ? ;由 S2 ? a1 ? a2 ? ,得 ? . 2 a?b 2 3 2a ? b 3 2 ?a ? b ? 2 n ∴? ,解得 ? a ? 1 , 故 Sn ? ………… 4 分 ? n ?1 b ?1 ? 2a ? b ? 3 ?

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? S n ?1 ? 由于 a1 ?

n2 ( n ? 1) 2 n3 ? ( n ? 1) 2 (n ? 1) n 2 ? n ? 1 ? ? ? 2 . n ?1 n n(n ? 1) n ?n

n2 ? n ? 1 n2 ? n ? 1 1 也适合 an ? . ∴通项 an ? ………8 分 n2 ? n n2 ? n 2 a 1 1 1 (3) bn ? 2 n . ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1 ∴数列 { bn } 的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ? 1 1 n ……… 12 分 ? 1? ? n ?1 n ?1

22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类 与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时, f ? x ? ? e ? x , f ? ? x ? ? e ? 1,……………………1 分
x x

所以,当 x ? (??, 0) 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? 0 ;………3 分 所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, 0 ? ,单调递增区间为 (0, ??) .……4 分 (Ⅱ)因为 f ? ? x ? ? e ? 2ax ? b ,
x

所以 P t , f ? t ? 处切线的斜率 k ? f ? ? t ? ? e ? 2at ? b ,
t

?

?

所以切线 l 的方程为 y ? e ? at ? bt ? e ? 2at ? b
t 2 t

?

? ?

?? x ? t ?,

令 x ? 0 ,得 y ? ?1 ? t ? e ? at
t

2

? 0 ? t ? 1? .………………………………6 分

当 0 ? t ? 1 时,要使得点 Q 的纵坐标恒小于 1,

只需 ?1 ? t ? e ? at ? 1 ,即 ? t ? 1? e ? at ? 1 ? 0 ? 0 ? t ? 1? .……………… 7 分
t 2 t 2

令 g ? t ? ? ? t ? 1? e ? at ? 1 ,
t 2

则 g ?(t ) ? t e ? 2a ,………………………………………………………… 8 分
t

?

?

因为 0 ? t ? 1 ,所以 1 ? e ? e ,
t

1 t 时, e ? 2a ? 0 , 2 所以,当 t ? ? 0,1? 时, g ?(t ) ? 0 ,即 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增,
①若 2a ? ?1 即 a ? ? 所以 g (t ) ? g (0) ? 0 恒成立,所以 a ? ?

1 满足题意.…………………………10 分 2


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福州八中 2014 届高三第次质检考试 数学(文)试题考试时间:120 分钟