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3.2.2 函数模型的应用实例训练


3.2.2
一、基础达标

函数模型的应用实例

1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先 前进了 a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气, 就沿原路返回骑了 b km(b <a),当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转 车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为 ( )

答案 解析

C 由题意可知,s 是关于时间 t 的一次函数,所以其图象特征是直线上

升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线 段.然后原路返回,图象下降,再调转车头继续前进,则直线一致上升. 2.国内快递 1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表: 运送距离 x (km) 邮资 y(元) 0<x ≤500 5.00 500<x ≤1 000 6.00 1 000<x ≤1 500 7.00 ? ?

如果某人在西安要快递 800 g 的包裹到距西安 1 200 km 的某地,那么他应付 的邮资是 A.5.00 元 C.7.00 元 答案 解析 C 由题意可知,当 x =1 200 时,y=7.00 元. B.6.00 元 D.8.00 元 ( )

3.某机器总成本 y(万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y=x 2 -75x ,若每台 机器售价为 25 万元,则该厂获利润最大时应生产的机器台数为 A.30 C.50 答案 C
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(

)

B.40 D.60

解析

设安排生产 x 台,则获得利润

f (x )=25x -y=-x2 +100x =-(x -50)2 +2 500. 故当 x =50 台时,获利润最大. 4 .根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 ( 单位:分钟 )为 f (x ) = ,x <A, ? ? x ?c ? ? A,x ≥A c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 min,组装

第 A 件产品用时 15 min,那么 c 和 A 的值分别是 A.75,25 C.60,25 答案 解析 D 由题意知,组装第 A 件产品所需时间为 c 4 =30,解得 c=60.将 c=60 代入 c c B.75,16 D.60,16

(

)

=15,故组装第 4 件产品所 A

需时间为

=15,得 A=16. A

5.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元,已 1 x 知 P=1 000+5x + x2 ,Q=a+ ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为 10 b 150 吨时利润最大,此时每吨的价格为 40 元,则有 A.a=45,b=-30 C.a=-30,b=45 答案 解析 A ? x? ? 设生产 x 吨产品全部卖出,获利润为 y 元,则 y=xQ-P=x? ?a+b?- B.a=30,b=-45 D.a=-45,b=-30 ( )

1 ? ?1 000+5x + x2? ? ? 10 ? ?1 1 ? =? - ?x2 +(a-5)x -1 000(x >0). ?b 10? 由题意知,当 x =150 时,y 取最大值,此时 Q=40.

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?-2??1- 1 ??=150, ?b 10? ∴? =40, ?a+150 b

a-5

?a=45, 解得? ?b=-30.

6.已测得(x ,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x 2 +1,乙: y=3x -1.若又测得(x ,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用________作为拟合 模型较好. 答案 解析 甲 对于甲:x =3 时,y=32 +1=10,

对于乙:x =3 时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好. 7.武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份 0.40 元,卖出的 价格是每份 0.50 元,卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在 一个月(以 30 天计算)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖 出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,他应该每天从报社买进多少 份,才能使每月所获得的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元? 解 设报摊主每天买进报纸 x 份,每月利润为 y 元(x 为正整数).

当 x ≤250 时,y=0.1×30×x =3x . 当 250≤x ≤400 时, y=0.1×20×x +0.1×10×250-(x -250)×0.32×10 =2x +250-3.2x +800 =1 050-1.2x . 当 x ≥400 时, y=0.1×20×400+0.1×10×250-(x -400)×0.32×20-(x -250)×0.32×10 =800+250-6.4x +2 560-3.2x +800 =-9.6x +4 410. 当 x ≤250 时,取 x =250,ymax =3×250=750(元). 当 250≤x ≤400 时,取 x =250,ymax =750(元). 当 x ≥400 时,取 x =400,ymax =570(元). 故他应该每天从报社买进 250 份报纸,才能使每月所获得的利润最大,最大 值为 750 元.
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二、能力提升 8.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a,经 过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为:V=a· e kt.已知新丸经过 50 天后,体积


4 8 变为 a.若一个新丸体积变为 a,则需经过的天数为 9 27 A.125 C.75 答案 解析 C 4 由已知,得 a=a· e-50 k, 9 B.100 D.50

(

)

1 ?4? ?50. ∴e-k=? ?9?

8 设经过 t1 天后,一个新丸体积变为 a,则 27 8 a=a· e-kt1 , 27 ∴ ∴
t1 8 ?4? ?50 , =(e-k)t 1 =? ?9? 27

t1 3 = ,t =75. 50 2 1

N? ? 9. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度, 假设函数 t =-144lg?1- ? ? 90? 中,t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字 数.则当 N=40 时,t =________(已知 lg 2≈0.301, lg 3≈0.477). 答案 解析 36.72. 10.如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积 y(m2 )与时间 t (月)的关系 y=at,有以下 几种说法: 36.72 5 ? 40? ? 当 N=40 时,则 t =-144lg? ?1-90?=-144lg 9=-144(lg 5-2lg 3)=

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①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30 m2 ; ③浮萍从 4 m2 蔓延到 12 m2 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是________. 答案 解析 ①② 由图象知,t =2 时,y=4,

∴a2 =4,故 a=2,①正确. 当 t =5 时,y=25 =32>30,②正确, 当 y=4 时,由 4=2t 1 知 t1 =2, 当 y=12 时,由 12=2t 2 知 t2 =log2 12=2+ log2 3. t 2 -t 1 =log2 3≠1.5,故③错误; 浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误. 11.在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的 某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有 偿还的小型残疾人企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转让费(不计息).根据 甲提供的资料有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件) 与销售价格 P(元)的关系如下图所示;③每月需各种开支 2 000 元.

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(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大? 并求最大余额. (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 解 设该店月利润余额为 L,则由题设得:

L=Q(P-14)×100-3 600-2 000.① -2P+50,14≤P≤20, ? ? 由销量图易得:Q= ? 3 - P+40,20<P≤26, ? ? 2 代入①式得 ?-2P+50??P-14?×100-5 600,14≤P≤20, ? ? L=? 3 ?- P+40??P-14?×100-5 600,20<P≤26, ? ? 2 (1)当 14≤P≤20 时,Lmax =450(元), 此时 P=19.5(元); 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax = (元),此时 P= (元). 3 3 故当 P=19.5(元)时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年后脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. 三、探究与创新 12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 ?1? t ? ?h,其中 Ta 表示环 T0 ,经过一定时间 t 后的温度是 T,则 T-Ta =(T0 -Ta )· ?2? 境温度,h 称为半衰期.现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在 24℃的房 间中, 如果咖啡降温到 40℃需要 20 min, 那么降温到 35℃时, 需要多少时间? 解 ?1?20 ? ?h, 由题意知 40-24=(88-24)· ?2?

1 ?1?20 ? . 即 =? 4 ?2? h 解之,得 h=10.

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1 t ? ? ? ? 故 T-24=(88-24)· ?2?10. 当 T=35 时,代入上式,得 1 t ? ? ? ? , 35-24=(88-24)· ?2?10
t 11 ?1? ?10= . 即? ?2? 64

两边取对数,用计算器求得 t ≈25. 因此,约需要 25 min,可降温到 35℃. 13.(2014· 成都高一期末)今年冬季,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们的健 康、交通安全等带来了严重影响.经研究,发现工业废气等污染物排放是雾 霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装 了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污 染.已知过滤过程中废气的污染物数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t (单位:小 时)间的关系为 P(t )=P0 e-kt (P0 ,k 均为非零常数,e 为自然对数的底数),其 中 P0 为 t =0 时的污染物数量.若经过 5 小时过滤后还剩余 90%的污染物. (1)求常数 k 的值; (2)试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间(精确到 1 小时,参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11.) 解 (1)由已知,当 t =0 时,P=P0 ;

当 t =5 时,P=90%P0 . 于是有 90%P0 =P0 e 5 t.


1 解得 k =- ln 0.9(或 0.022). 5 ?1 ? ? (2)由(1)得,知 P=P0 e? ?5ln 0.9 ?t . ?1 ? ? 当 P=40%P0 时,有 0.4P0 =P0 e? ?5ln 0.9 ?t . ln 0.4 -0.92 4.60 解得 t = ≈ = ≈41.82. 1 1 0.11 ln 0.9 ×?-0.11? 5 5 故污染物减少到 40%至少需要 42 小时.

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2018版 第3章 3.2.2 函数模型的应用实例

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