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2014年高一数学必修2考试题(9)


2014 年高一数学必修 2 考试题(9)
一.选择题(下列每个小题的 A、B、C、D 四个答案中,只有一项是符合题目要求的,请选出来,并 把答案做在答题卡上。每小题 5 分,共 50 分) 1、直线的倾斜角为 60 ,则直线的斜率为( A、 3 B、 ?
0

) D、 ?

3 3

C、 ? 3

3 2

2、下列命题正解的是( ) A、有两个面平行,其余各个面都是四边形的几何体叫棱柱; B、有两个面平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱; C、有两个面平行,其余各个面是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行的 几何体叫棱柱; D、用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3、如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( )

4

1 2 C、 ? D、 ?2 3 3 4、设 A A1 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的一条棱,这个正方体中与 A A1 平行的棱共有( )
A、 1 B、 ?
..

A 、 1条

B、 2 条

C、 3 条 )

D 、 4条

5、设 ? 表示平面, a, b 表示直线,给定下列四个命题: ( ① a // ? , a ? b ? b ? ? ; ② a // b, a ? ? ? b ? ? ; ③ a ? ? , a ? b ? b // ? ④ a ? ? , b ? ? ? a // b . 其中正确命题的个数有( A、1 个 B、2 个 ) C、 ) C、3 个 D、4 个

M

D C

6、如图,如果 MC ? 菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的所成的角是( A、 0
c.o.m

A

B

0

B、

450

900

D 、 60 2

0

7、一个空间几何体的三视图如图所 则该几何体的体积为 ( ) A、 2? ? 3? B、 ?

2

示,

8 3

2 2 正(主) 视 图
1

2 2 侧(左)视 图 俯视图

C、 2? ?

3 2 3 ? D、 4? ? ? 3 3
2 2

8、点(4,-3)到圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最小距离为( ) A、3 B、4
' ' '

C、5

D、 2
'

9、如图:
'

A' P B'

C'

直三棱柱 ABC ? A B C 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA 和 CC 上,

Q
AP= C Q ,则四棱锥 B—APQC 的体积为
'

A

C B

V A、 2

V B、 3

V C、 4

V D、 5
2

10、若直线 ax ? by ? c ? 0 经过一、三、四象限,则二次函数 y ? ax ? bx ? c 的零点(即与 x 轴 的交点)个数为( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、两平行直线 4x-3y+3=0 和 4x-3y-7=0 之间的距离为__ _____; ;

12、已知 A(0,1,2) ,B(1,2, 5) ,则 A、B 两点间的距离为 AB = 13、已知两个平面 ? , ? 和直线 n,下列三个条件: ① ? ? ? ; ② n / / ? ;③ n ? ? ; 以其中两个论断为条件,余下一个论断为结论,写出 你认为正确的一个命题

2 14、如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 没有零点(即与 x 轴没有交点) ,则实数 a 的取值范围





三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 。 15、已知直线 l 的斜率为

3 ,且经过点 A(1,-1)(1)求直线的 l 的方程(请给出一般式)(2) , ...... , 4
w.w.w..c.o.m

求以 N ?1,3? 为圆心,并且与直线 l 相切的圆的方程。 (12 分)

16、已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 , l 2 : ?2 x ? y ? 2 ? 0 , 它们相交于点 A. (1)判断直线 l1 和 l 2 是否垂直?请给出理由;
2
w.w.w..c.o.m

(2)求 A 点的坐标及过点A且与直线 l3 : 3x ? y ? 4 ? 0 平行的直线方程(请给出一般式) ...... (3)求直线 l1 上点 P(1, y1 ) ,Q( x2 ,1)与 B(2,1) 构成的三角形的面积(14 分) 17、如图,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC 且 EA=AB=2a,DC=a, F,G,H 分别是 EB,AB 和 BC 的中点。求证: (1)FG//平面 AEDC; (2)平面 AEDC// 平面 FGH(3)FD//平面 ABC。 (13 分)
E

D F A C G B H

18、如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形 沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, A 移到 A1 点, A1 使 且 在平面 BCD 的射影 0 恰好在 CD 上, (1)求证:

BC ? 平面A1DC ; ( 2 ) 求 证 : 平 面 A1BC ? 平面A1BD , (3)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积。 (13 分)
19、已知长方体 ADCD ? A1 B1C1 D1 ,设动点 F 从 B 点出发,沿 BD1 运动,G 为 F 在底面 ABCD 的投影,AB=BC=2, AA1 ? 1 ,BF=x, (1)求 sin ?FBG , (2)用 x 表示三棱锥 G-ADF 的体积

V ? x ? ,当 F 在什么位置时,三棱锥 G-ADF 的体
积 V ? x ? 最大,并求出最大体积;
A1
.w..c.o.m

D1

C1

B1 F D H G B C

20、 (本小题满分 14 分)
2 2 2

A

从原点 O 引圆 ? x ? m ? ? ? y ? 3? ? m ? 4 的切线 y ? kx ,切点为 P,当 m 变化时, (1)求切点 P 的轨迹方程。 (2)记 P 的轨迹为曲线 C,判断直线 3x ? y ? 4 ? 0 与曲线 C 的位置关系,若相交,求出相交弦的长度。
3

参考答案

15 解:直线 l 经过点 A(1,-1) ,斜率为

3 3 ,由点斜式方程可得 y ? 1 ? ? x ? 1? ,把它化为 4 4

一般式为 3x ? 4 y ? 7 ? 0 : 分) (6 因为点 N ?1,3? 到直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离 d ? 所以所求的圆的方程是: ?x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2

3? 4?3? 7 5

?

16 ,… (9 分) 5

256 .………… (12 分) 25

化为一 般式得: 3x ? y ? 1 ? 0 (9 分)

E

17、证明: (1)F,G 分别是 EB,AB 的中点,所以 FG
F A
4

D

C G B H

为 ?EAB 的中位线,所以 FG//AE, AE ? 平面AEDC , FG ? 平面AEDC 所以 FG//平面 AEDC; (2)G,H 分别是 AB 和 BC 的中点,所以 HG 为 ?CAB 的中位线,所 以 HG//AC, AC ? 平面AEDC , HG ? 平面AEDC ,所以 GH//平面 AEDC,由 (1)得 FG//平面 AEDC; FG ? GH ? G ,平面 AEDC//平面 FGH, (3)FG 为 ?EAB 的中位线, FG ?

1 AE ? a , EA ? 平面ABC , DC ? 平面ABC ,EA//DC,所 2

以 FG//DC , FG=DC=a , 所 以 四 边 形 FGCD 为 平 行 四 边 形 , 所 以 FD//GC ,

FD ? 平面ABC , GC ? 平面ABC ,所以 FD//平面 ABC
18、 (1) 证明: 知矩形 ABCD 中 BC ? CD , A1 在平面 BCD 的射影为 0,AO ? 平面ABCD ,

BC ? 平面ABCD , AO ? BC , A1O ? CD ? O , BC ? 平面A1DC ; 分) (5 1
(2)由(1)知 BC ? 平面A1 DC ,

A1D ? 平面ADC , BC ? A1 D ,又因为 DA1 ? A1 B , A1 B ? BC ? B , A1D ? 平面A1BC ,
A1 D ? 平面A1DB ,平面
A1

D1

C1

B1 F D H G B C

A

1 V三棱锥A1 ? BCD ? S?BCD ? AO ? 48 1 3
19、 (1)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中

(4 分)

BD1 ? 22 ? 22 ? 12? 3

sin ?FBG ?

DD1 1 ? BD1 3

(4 分)

(2) Rt ?BFG FG ? FB ? sin ?FBG ? x

DD1 x ? BD1 3

D F ? DB 2 2 ? 3 ? x ? DG D1 F ? , DG ? 1 ? DB D1 B D1 B 3
5

? 0 ? x ? 3?

1 2 DG 2 ? 2 DG 2 S?ADG ? GH ? AD ? ? GH ? ? AB ? ? (3 ? x) 2 2 DB 2 2 2 3 6x ? 2x2 1 1 x 2 2 x(3 ? x) ? VG ? ADF ? VF ? ADG ? FG ? S?AGD ? ? ? 27 3 3 33 27
由二次函数性质可知,当 x=

? 0 ? x ? 3?

(8 分)

? 0 ? x ? 3? (10 分)

3 1 体积最大,最大体积为 , (14 分) 2 6 y 20、解: (1)设切点 P 的坐标为(x,y) ,因为切线过原点,则 k ? ( x ? 0) x



? x ? m?
则 k PM ?

2

? ? y ? 3? ? m 2 ? 4 的圆心 M 的坐标为(m,3) ,
2

y y ?3 ? ? ?1 ① x x?m

y ?3 x?m

由于圆 M 与直线相切,所以 k ? k PM ? ?1

? x ? m?

2

? ? y ? 3? ? m 2 ? 4 可化为 x 2 ? 2mx ? y 2 ? 6 y ? ?5 ②
2

由①②可得 P 的轨迹方程为 x ? y ? 5
2 2

? x ? 0?

(8 分)

(2)由(1)知,曲线 C 的圆心为 C(0,0) ,半径 r ? 5 ,圆心到直线的距离 d=2<r, 故曲线 C 与直线 3x ? y ? 4 ? 0 相交, 设曲线 C 与直线 3x ? y ? 4 ? 0 交于 AB 两点, 的中点为 D, C ? B AB 则 D A 故 AB ? 2 AD ? 2 (14 分) , R ?D 在 t A C , AD ?

r2 ? d 2 ? 1,

6


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