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]广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学(理)试题

广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性 联合考试数学(理)试题
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分) 1.在复平面内,复数 z ? (A) 第一象限
1 ? 2i 1? i

对应的点位于 (C) 第三象限 (D) 第四象限

(B) 第二象限

2.已知集合 U ? R , A ? { x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ,那么 C u A ? (A) { x x ? 2 或 x ? 3} (B) { x 2 ? x ? 3} (C) { x x ? 2 或 x ? 3} (D) { x 2 ? x ? 3} 3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? ( 3 , 1) , | b | ? 1 ,则 | a ? 2 b | ? (A) 2 (B) 7 (C) 2 3 (D) 2 7

4.设等差数列 ? a n ? 的公差 d ≠0, a 1 ? 4 d .若 a k 是 a 1 与 a 2 k 的等比中项,则 k ? (A) 3 或 -1 5. ( x ? (A) -160 6.已知函数 f ( x ) ? ?
?x ,
3

(B) 3 或 1
6

(C) 3

(D) 1

2 x

) 的展开式中常数项是

(B) -20
x ? 0, x> 0.
2

(C) 20

(D) 160

? ln ( x ? 1),

若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围是 (C) ( ? 1, 2 ) y B (1,1) A x (D) ( ? 2 , 1)
y ? x
2

(A) ( ? ? , ? 1) ? ( 2 , ? ? )

(B) ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x , y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 (A)
1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

C O

y ?

x

2 8.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x , g ( x ) ? a x ? 2 (a>0),若 ? x 1 ? [ ? 1, 2 ] , ? x 2 ? [ ? 1, 2 ] ,使得

f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是 (A) ( 0 , ]
2 1

(B) [ , 3 ]
2

1

(C) ( 0 , 3 ]

(D) [3, ? ? )

二.填空题(共 6 小题,每小题 5 分) (一)必做题: 9.如图所示 ,在平面直角 坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位

圆交于点 A,点 A 的纵坐标为

4 5

,则 cosα =



10.已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形, 俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 。 11.双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的标准方程为 近线方程为 . 12. 从某地高中男生中随机抽取 100 名同学,将他们的体重(单位:kg) 数据绘制成频率分布直方图(如 图) .由图中数据可知体重的平均值 为 kg; 若要从体重在[ 60 , 70) ,[70 , 80) , [80 , 90]三组内的男生中, 用分层抽样的方法选取 12 人参加一 项活动,再从这 12 人选两人当正负 队长,则这两人身高不在同一组内 的概率为 . 13.将全体正奇数排成一个三角形 数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?? 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 (二)选做题: 14.已知圆 M:x +y -2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线 ? . 15.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点, AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= . M C B P O B
2 2

,渐



? x ? 4 t ? 3, ? y ? 3 t ? 1,

(t 为参数)的距离为 A

D N

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16.(本题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, a ? 2 3, b ? 2 , c o s A ? ? (1)求角 B 的大小; (2)若 f ( x ) ? c o s 2 x ? c s in ( x ? B ) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.
2

1 2



17. (本小题满分 12 分) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制( 即先胜 4 局者获胜,比 赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的 分布列.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC,∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上 的点,PA=PD=2,BC=
1 2

AD=1,CD= 3 .

(1) 若点 M 是棱 PC 的中点, 求证: // 平面 BMQ; PA (2)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (3)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .
[来源:学科网 ZXXK]

19. (本题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求 a1,a2; (2)求 Sn 与 Sn﹣1(n≥2)的关系式,并证明数列{ }是等差数列; ,n=1,2,3…

(3)求 S1?S2?S3…S2011?S2012 的值.

[来源:Zxxk.Com]

20. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点 (? 3 , ,( 3 , 的距离之和等于 4 , 设点 P 的 0) 0) 轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理 由.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

a x ? x ? b ( a ? 0 ) , f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数.
2

(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3 x ? 3 , 求 a , b 的值; (2)若函数 g ( x ) ? e
? ax

? f '( x ) ,求函数 g ( x ) 的单调区间.

2012-2013 学年度高三阶段性联合考试 数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

参考答案

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 16、解:(Ⅰ) s in A ? 由
a s in A ? b s in B
3 2

???????????2 分
1 2

得 s in B ?

,
?
6

又 A 为钝角,故 B 为锐角 ??????5 分 (Ⅱ) c ? 2
2

B ?

(没指出 B 范围扣 1 分)

???????????7 分
?
6 )

f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 s in ( x ?

= cos 2 x ? cos(2 x ?
? cos 2 x ? 1 2

?
3

)?1
3 2

cos 2 x ?

s in 2 x ? 1

? s in ( 2 x ?

?
6

)?1

???????????9 分
?
6

所以,所求函数的最小正周期为 ? 由 2k? ? 得 k? ?
?
3

?
2

? 2x ?

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

? x ? k? ?

?
6

,k ? Z

所以 所求函数的单调递增区间为 [ k ? ? 分)???12 分

?
3

, k? ?

?
6

], k ? Z

(没写区间及指出 K 为整数扣 1

1 17 解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 .???1 分 2 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A, 1 - 1 1 3 1 则 P(A)= C 4 ( )3· )4 3·= .???3 分 ( 2 2 2 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.
[来源:Zxxk.Com]

因为乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1= C 5 ?
3

?1 ? ?1 ? ? · ? ? ? 2 ? ? 2?
6?3

3

5?3

1 5 ·= , 2 32

?1 ? ?1 ? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2= C 6 ? ? · ? ? ? 2? ? 2?
3

3

1 5 ·= , 2 32

5 所以 P(B)=P1+P2= .???7 分 16 (3)设比赛的局数为 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7. ???8 分 1 4 1 P(X=4)= 2 C 4 ( )4= , 2 8
?1 ? ?1? P(X=5)= 2 C 4 ? ? ? ? ? ?2? ?2?
3 3 4?3

1 1 ·= , 2 4 1 5 ·= , 2 16 1 5 ·= .???11 分 2 16

P(X=6)= 2 C 3 ? 5

?1 ? ?1 ? ? ?? ? ? 2? ? 2? ?1 ? ?1 ? ? ?? ? ? 2? ? 2?
3

3

5?2

6?3

P(X=7)= 2 C 3 ? 6

(Ⅱ)∵AD // BC,BC=

1 2

AD,Q 为 AD 的中点,

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ????????6 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD . 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ????????7 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ????????8 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????9 分 另证:AD // BC,BC=
1 2

AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ,

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ???????6 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ????????7 分 ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ???????8 分 z ∵ AD ? 平面 PAD, P ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????????9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.?????10 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. ? Q 则平面 BQC 的法向量为 n ? ( 0 , 0 , 1) ;
Q (0, 0, 0 ) , P (0 , 0 ,
3)

M D C N B y

, B ( 0 , 3 , 0 ) , C ( ? 1, 3 , 0 ) .???11 分
???? ? ???? ? 3 ? y , ? z ) ,∵ P M ? t M C ,

A x

设 M ( x, y, z) ,

???? ? 则 PM ? ( x, y, z ?

???? ? 3 ) , M C ? (?1 ? x,

? x ? t(?1 ? x) ? ∴ ? y ? t( 3 ? y) , ? ?z ? 3 ? t ( ? z)

t ? x ? ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?

????????12 分

19. (1)解:当 n=1 时,由已知得 同理,可解得 (2)证明:由题设 当 n≥2 时,an=Sn﹣ Sn﹣1 代入上式,得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0

,解得
[来源:Z#xx#k.Com]

????????(4 分)



,????????(7 分)



=﹣1+

∴{

}是首项为

=﹣2,公差为﹣1 的等差数列 ???????(10 分)



=﹣2+(n ﹣1)?(﹣1)=﹣n﹣1

∴Sn=

…(12 分) ? = (14 分)

(3)解:S1?S2?S3…S2011?S2012= ? ? …?

20.解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长 0) 0) 为 2 的椭圆.?????????????????????????????3 分 故曲线 C 的方程为
x
2

? y ? 1 . ???????????????????6 分
2

4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. ???????????????????7 分 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .
?x 2 ? y ? 1, ? 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
2

整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .?????????????8 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12( m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) .
m?2 m ?3
2

解得

y1 ?

m ?4
2



y2 ?

m?2 m ?3
2

m ?4
2





| y2 ? y1 |?
? 1

4 m ?3
2



m ?4
2

因为 S ?AOB

2

OE ? y1 ? y2

?

2 m ?3
2

m ?4
2

?
2

2 m ?3 ? 1 m ?3
2

. ?????????11 分

设 g (t ) ? t ? , t ?
t

1

m ?3 ,t ?
2

3.

则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数.
4 3 3 3 2
3 2

所以 g (t ) ?



所以 S ?AOB ?

,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ?



所以 S ?AOB 的最大值为

3 2

.????????????????????????14 分

②当 a ? 0 时,令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当
2 a ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

2 a

? a

?????10 分

2 时,

g ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 ,

2? a a

2

) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) , (

2? a a

2

, ? ? ) ;??11 分

(ⅱ)当

2 a

? a ? 0 ,即 a ?

2 时, g '( x ) ? ? ? 2 x e
2

?2 x

? 0,

故 g ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 单调递减; (ⅲ)当
2 a ? a ? 0 ,即 a ?
2 时,

??12 分

g (x) 在(

2? a a

2

, 0 ) 上单调递增,在 ( 0 , ? ? ) , ( ? ? ,

2? a a

2

) 上单调递减

???13 分

综上所述, a ? 0 时,g ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ? ) , 当 单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) ;


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5 2 【答案】 10. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长 为 4,离心率为 3,则该双曲线的标准...

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2 A.-1 或 2 B. 2 C.-1 D.1 或 - 2 ( ) 【答案】A 10. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)已知函数 f ( x) ?...

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A. ?4 【答案】D ( C. ?4 D.4 ) B.16 7 . (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)设等差数列 ?an ? 的) 公差 d ≠0...

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故 选B. 第1页 共5页 9 . (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应 1? i () 的点位于...