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2013年湖南普通高中学业水平考试模拟数学试题答案

2013 年湖南普通高中学业水平考试模拟 数
一、选择题 BCABD 二、填空题 11. 1 4
[来源:学科网 ZXXK]







ADBDC

12.-9

13.(-∞,-1)∪(1,+∞)

14.92

三、解答题 15.解: (Ⅰ)f (x)=(sinx-cos x)2+m=m+1-sin2x, 所以 f (x)的最小正周期为 T= 2? =?. 2

??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 sin2x=-1 时,f (x)取最大值, 故有 m+2=3,得 m=1. ??????8 分 16.解: )由 3Sn=an+4,得 3Sn-1=an-1+4,两式相减,得 (Ⅰ an 1 3(Sn-Sn-1)=(an+4)-(an-1+4)=an-an-1,整理,得 =- (n≥2) . 2 an-1 1 又 3a1=a1+4,得 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项,以- 为公比的等比数列, 2 故有 an=2× -

(

1 2

)

n-1



??????4 分 1 (Ⅱ )由已 知,得 b2=- =-8,又等差数列{bn}的公差 d=3, a5 故 bn=b2+(n-2)d=3n-14,因此当 n≤4 时,bn<0,当 n≥5 时,bn>0 , 所以 n=4 时,{bn}的前 n 项和 Tn 最小, 4(b1+b4) 最小值为 T4= =-26. 2 ??????8 分 17.解:由茎叶图知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标. 记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f.则从 6 天中抽取 2 天的所有情况 为: ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为 15. ?2 分 (Ⅰ)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A, 8 可能结果为:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8.∴P(A)= . 15 ?5 分 (Ⅱ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B, 天都超标”为事件 C,其可能结果 “2 为 ef,

1

1 14 故 P(C)= ,∴P(B)=1-P(C)= . 15 15 ???????8 分 18.解: (Ⅰ)设点 P(x,y),由 (x-1)2+y2 1 = , (x-4)2+y2 2 ???????4

化简,得轨迹 C 的方程是:x2+y2=4. 分 (Ⅱ)因为直线 l:y=kx+3 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点, |3| 5 5 所以 <2,解得 k> 或 k<- . 2 2 1+k2

假设存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形,则 OM 与 AB 互相垂直且平分,所以原点 O 到 直线 l:y |3| 1 =kx+3 的距离为 d= |OM|=1.所以 =1,解得 k2=8,即 k=±2 2 ,经验证满足 2 1+k2 条件. 所以存在两点 M,使得四边形 OAMB 为菱形.

2


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