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2015届湖南省岳阳县一中高三上学期第三次月考数学(文)试题


湖南省岳阳县一中 2015 届高三第三次月考 文科数学试卷
【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查,突出了对数 学的计算能力、 逻辑思维能力等方面的考察。 突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科 的基础知识和基本技能的考查;侧重于知识交汇点的考查。注 重 双 基 和 数 学 思 想 数 学 方 法 的 复 习 ,注 重 运 算 能 力 思 维 能 力 的 培 养 。在考查学生基础知识的同时,考查学生的 能力。 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
2 【题文】1. x ? 3 是 x ? 5x ? 6 ? 0 的 ( A

) D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2 【答案】 【解析】A
2

解析:由 x ? 5x ? 6 ? 0 得: x ? 3 或 x < 2 ,所以 x ? 3 能推出 x ? 3
2

或 x < 2, 但 x ? 3或 x < 2, 不能推出 x ? 3 , 故 x ? 3 是 x ? 5x ? 6 ? 0 的充分不必要条件, 故选 A。 【思路点拨】先由 x ? 5x ? 6 ? 0 得: x ? 3 或 x < 2 ,再做出双向判断即可。
2

【题文】 2. 设 x ? Z , 集合 A 是奇数集 , 集合 B 是偶数集 . 若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B , 则 ( D ) B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B

A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. 【知识点】全称命题;命题的否定.A2 【答案】 【解析】D

解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以设 x∈Z,集合 A 是奇

数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则 ?p : ?x ? A, 2 x ? B ,故选 D。 【思路点拨】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可.

1,2,3,4,5?, B ? ?x ? R | x ? 3? ,下图中阴影部 【题文】3. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?
分所表示的集合为( B )

1? A. ? 1,2, 3? C. ?

1,2? B. ? 2? D. ?0,1,

【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算.A1
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【答案】 【解析】B

解析:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集合

B 中.由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A, 又 A?? 1,2,3,4,5?, B ? ?x ? R | x ? 3? ,∵CUB={x|x<3},∴(CUB)∩A={1,2}. 则图中阴影部分表示的集合是: ? 1,2? .故选 B. 【思路点拨】先观察 Venn 图,图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集 合 B 中,得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知条件即可求解. 【题文】4.已知数列{an}是等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)=( A 1 3 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 【知识点】等差数列的性质.D2 【 答 案 】【 解 析 】 A )

解 析 : ∵ 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , a1 + a 5 + a 9 = p ,

p 2p 2p 1 ,\ a 2 + a 8 = 2a 5 = = cos = - ,故选 A. ,\ cos(a 2 + a 8) 3 3 3 2 p 2p 【思路点拨】利用等差数列的性质,求得 a 5 = , a 2 + a 8 = 2a 5 = ,从而可得结论. 3 3 \ a5 =
1 1 【题文】5.若 < <0,则下列结论不 正确的是( D ) . a b A. a ? b
2 2

B. ab ? b

2

C. a ? b ? 0

D. | a | ? | b |?| a ? b |

【知识点】不等关系与不等式.E1 【答案】 【解析】D 1 1 2 2 解析:由于 < <0,不妨令 a = - 1, b = - 2 ,可得 a <b ,故 A 正确. a b

ab = 2, b2 = 2 ,故 B 正确.
a = - 1, b = - 2 , a + b = - 3 < 0 ,故 C 正确, a = - 1, b = - 2 , | a | + | b |= 3 , | a + b |= 3 , | a | + | b |=| a + b | ,所以 D 不正确.
故选 D. 【思路点拨】不妨令 a=-1,b=-2,代入各个选项进行验证,找出符合条件的选项. 【题文】6.将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所 得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( B ) A.

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D

5? 6

【知识点】两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 C5

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【答案】 【解析】B

解析:由已知 y ? 2(

? 3 1 ? cos x ? sin x) ? 2sin( x ? ), 当 m ? 时,平移 2 2 3 6

后函数为 y ? 2sin( x ? ) ? 2cos x ,其图象关于 y 轴对称,且此时 m 最小。 2 【思路点拨】函数解析式变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于 y 轴对称,即可求出 m 的最小值. 【题文】7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 m 项 am 满足 5<am<8,则 m= ( B ) A.9 B.8 C.7 D.6 【知识点】数列递推式.C1 【答案】 【解析】B 解析:由 Sn=n2-9n,当 n=1 时,a1=S1=-8,当 n≥2 时,an=Sn

?

-Sn-1=2n-10,由于 5<am<8,则 5<2m-10<8,解得 7.5<m<9,又 m∈N,所以 m=8,故 选 B. 【思路点拨】先利用公式 a n = í

ì S1 ( n = 1) ? ,求出 am,再由第 m 项满足 5<am<8, ? ? Sn - Sn - 1 ( n 2)

求出 m.
【题文】8.若向量 a 与向量 b 的夹角为 60° ,且|b|=4,(a+2b)· (a-3b)=-72,则向量 a 的 模为(C ) A.2 B.4 C.6 D.12 【知识点】向量的模;平面向量数量积的运算.F2 F3 【答案】 【解析】C
2

解析: (a+2b)?(a﹣3b)
2

=|a| ﹣|a||b|cos60°﹣6|b| 2 =|a| ﹣2|a|﹣96=﹣72, 2 ∴|a| ﹣2|a|﹣24=0. ∴(|a|﹣6)?(|a|+4)=0. ∴|a|=6. 故选 C 【思路点拨】 分解 (a+2b) ? (a﹣3b) 得|a| ﹣|a||b|cos60° ﹣6|b| , 因为向量 已知,代入可得关于 的方程,解方程可得.
x

2

2

的夹角、

?1? 【题文】9.已知 f ?x ? ? ? ? ? log3 x ,实数 a、b、c 满足 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? <0,且 0< ? 3? a < b < c ,若实数 x0 是函数 f ?x ? 的一个零点,那么下列不等式中,不可能 成立的是 ...
( D ) A. x0 <a B. x0 >b C. x0 <c D. x0 >c

【知识点】函数零点的判定定理.B9 【答案】 【解析】D
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解 析 : 当 x ? x0 时 , f ? x ? ? ? ? ? l o g 3 x ? 0, 当 x ? x0 时

?1? ? 3?

x

?1? f ?x ? ? ? ? ? log3 x ? 0, ? 3?
能成立.

x

且0 ? a ? b ? c , 所以 x0 ? c 不可 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? <0,

【思路点拨】确定函数为减函数,进而可得 f(a) 、f(b) 、f(c)中一项为负的、两项为正 的;或者三项都是负的,分类讨论分别求得可能成立选项,从而得到答案. 【题文】10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x∈(-∞,0]时, 恒有 xf′(x)<f(-x),令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值范围是( C ) 1 ? A.? ?2,2? B.(-2,1) C.(-1,2) 1? D.? ?-1,2?

【知识点】函数的单调性与导数的关系;导数的运算.B11 【答案】 【解析】C 解析:由 F(x)=xf(x),得 F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-

x)<0,所以 F(x)在(-∞,0)上单调递减,又可证 F(x)为偶函数,从而 F(x)在[0,+∞)上
单调递增,故原不等式可化为-3<2x-1<3,解得-1<x<2. 【思路点拨】根据函数的奇偶性和条件,判断函数 F(x)的单调性,利用函数的奇偶性和 单调性解不等式即可. 【题文】二、填空题,本大题共 5 小题每小题 5 分共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上. 【题文】11. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

1 的定义域为 x?3
x ì ? 1- 2 0 ,解得 - 3 < x 0 ,故答案 ? x +3 > 0 ?

【知识点】函数的定义域.B1 【答案】 【解析】 (?3, 0] 为 (?3, 0] 。 【思路点拨】根据已知列出满足题意的不等式组,解之即可。 【题文】12 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB +cosB= 2,则角 A 的大小为__ __ 【知识点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;正弦定理.C2C6 C8 【答案】 【解析】 解析:根据题意可得: í

? 6

解析:由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,因为

π 2 2 0<B<π ,所以 B= .又因为 a= 2,b=2,所以在△ABC 中,由正弦定理得 = , 4 sinA π sin 4

? 1 π 解得 sinA= .又 a<b,所以 A<B= ,所以 A= . 2 4 6
【思路点拨】由条件由 sinB+cosB=
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得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,根据三角形的内角和

定理得到 0<B<π 得到 B 的度数.利用正弦定理求出 A 即可. 【题文】13.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a3=9,且 a1,a2,a5 成等比数列,则 数列{an}的公差为 【知识点】等差数列的性质.D2 【答案】 【解析】2 解析:由等差数列的性质知 3a2=9,所以 a2=3,又 a2=(a2-d)(a2 +3d),解得 d=2.故选 B. 【思路点拨】设出数列的公差,利用 a1+a2+a3=9,求得 a1 和 d 关系同时利用 a1、a2、a3 成等比数列求得 a1 和 d 的另一关系式,联立求得 d. 2 【题文】14. 函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 x 【知识点】二分法求方程的近似解.L1 【答案】 【解析】(0,3) 解析:由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0, 解得:0<a<3,故实数 a 的取值范围是(0,3) ,故答案为: (0,3) 【思路点拨】由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解不等式求得实数 a 的取值 范围.
3 2 【题文】15、对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x) 是函数
2

y ? f ( x) 的导数, f ''( x) 是函数 y ? f '( x) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 ,则
称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 。某同学经过探究发现:任何一个三次函数 都 有 “ 拐点 ” ,任 何 一个三 次 函 数都 有 对称 中 心, 且 “ 拐点 ” 就是 对称中 心 。若

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据这一发现,求解下列问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 的对称中心为 3 2 12 1 2 3 2012 )? f ( )? f ( )? ? f ( )? (2)计算: f ( 2013 2013 2013 2013 f ( x) ?
【知识点】函数的值;函数的零点;导数的运算.B1 B9 B11 【答案】 【解析】 (1) ( ,1)
2

;



1 2

(2)2012

解析: (1)∵f(x)= x ﹣ x +3x﹣

3

2



∴f′ (x)=x ﹣x+3,f''(x)=2x﹣1, 令 f''(x)=2x﹣1=0,得 x= , ∵f( )= ∴f(x)= x ﹣ x +3x﹣
3 2 3 2

+3× =1, 的对称中心为 ( ,1) , 的对称中心为 ( ,1) ,

1 2

(2)∵f(x)= x ﹣ x +3x﹣ ∴f(x)+f(1﹣x)=2,
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1 2

1 2 3 2012 )+ f ( )+ f ( ) +L + f ( ) =2×1006=2012. 2013 2013 2013 2013 1 故答案为: ( ,1) ,2012. 2
∴ f( 【思路点拨】 (1)根据函数 f(x)的解析式求出 f′ (x)和 f″ (x) ,令 f″ (x)=0,求得 x

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 的对称中心. 3 2 12 1 3 1 2 5 1 (2)由 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 的对称中心为 ( ,1) ,知 f(x)+f(1﹣x)=2,由此 3 2 12 2 1 2 3 2012 )+ f ( )+ f ( ) +L + f ( ). 能够求出 f ( 2013 2013 2013 2013
的值,由此求得三次函数 f ( x) ?

【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 【题文】16(本小题满分 12 分)若集合 A ? {x | loga ( x 2 ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1} (1)若 a ? 2 ,求集合 A ; (2)若

9 ? A ,求 a 的取值范围. 4

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用.B7 【答案】 【解析】(1) A ? {x x ? ?2, 或 x ? 3} ;(2)

13 ? a ?1 4
………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………8 分

2 解析: (1)若 a ? 2 , log2 ( x 2 ? x ? 2) ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 4

x ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 3
2

所以 A ? {x x ? ?2, 或 x ? 3} (2)因为

9 9 9 ? A ,所以 log a [( ) 2 ? ? 2] ? 2 4 4 4 13 13 log a ? 2, ?2?0 因为 log a 16 16
………………11 分

所以 0 ? a ? 1

………………10 分



13 ? a2 16

13 ? a ?1 4
2

………………12 分

2 【思路点拨】 (1)若 log2 ( x ? x ? 2) ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 4 ,解这个不等式得出集合 A;

(2) 、因为

9 9 9 ? A ,所以 log a [( ) 2 ? ? 2] ? 2 ,由此可以推导出 a 的取值范围. 4 4 4

【题文】17.(本小题满分 12 分) π 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2
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(1)求 f(x)的最小正周期及解析式; π (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法;三 角函数的最值.C3 C4 π 1 【答案】 【解析】(1) T=π,f(x)=sin(2x+ ); (2)1,- 。 6 2 T 2π π π 解析:(1)由图可得 A=1, = - = ,所以 T=π.所以 ω=2. 2 3 6 2 π π 当 x= 时,f(x)=1,可得 sin(2× +φ)=1. 6 6 π π 因为|φ|< ,所以 φ= , 2 6 π 所以 f(x)=sin(2x+ ). 6 (2)g(x)=f(x)-cos 2x π =sin(2x+ )-cos 2x 6 π π =sin 2xcos +cos 2xsin -cos 2x 6 6 3 1 = sin 2x- cos 2x 2 2 π =sin(2x- ). 6 π π π 5π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,g(x)有最大值,最大值为 1; 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,g(x)有最小值,最小值为- . 6 6 2 【思路点拨】(1)由图可得 A=1,一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个 周期,得最小正周期 T,进而得 ω,代入最高点坐标求 φ,得 f(x)的解析式; (2)由(1)知 f(x)的解析式,代入求出 g(x)的解析式,用两角和的正弦公式把式中的第一 项展开,合并,再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值,由 x 的范 π π 围,得到 2x﹣ 的范围,由正弦函数的图象得到 sin(2x﹣ )的最大值和最小值. 6 6 π 【题文】18. (本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,B= ,BC=2,点 D 在边 AB 上, 3 AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足. 3 6 (1)若△BCD 的面积为 ,求 CD 的长;(2)若 DE= ,求角 A 的大小. 3 2

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【知识点】解三角形.C8 【答案】 【解析】(1) π 2 7 ;(2) A= 。 3 4

1 3 解析:(1)由已知得 S△BCD= BC· BD· sin B= , 2 3 3 2 又 BC=2,sin B= ,得 BD= . 2 3 在△BCD 中,由余弦定理得 2 2 1 CD= BC2+BD2-2BC· BD· cos B= 22+? ?2-2×2× × 3 3 2 2 7 = . 3 2 7 所以 CD 的长为 . 3 DE 6 (2)(方法一)因为 CD=AD= = , sin A 2sin A BC CD 在△BCD 中,由正弦定理得 = , sin ∠BDC sin B 2 6 2 π 又∠BDC=2A,得 = ,解得 cos A= ,所以 A= 即为所求. sin 2A 2sin Asin 60° 2 4 (方法二)在△ABC 中, 2 AC 由正弦定理得 = ,又由已知得,E 为 AC 的中点,所以 AC=2AE, sin A sin B 3 DE sin A 所以 AE· sin A=sin B= ,又 =tan A= , 2 AE cos A 6 2 π 所以 AE·sin A=DE·cos A= cos A,得 cos A= ,所以 A= 即为所求 2 2 4 【思路点拨】 (1)利用三角形的面积公式,求出 BD,再用余弦定理求 CD; (2)先求 CD, BC CD 在△BCD 中,由正弦定理可得 = ,结合∠BDC=2∠A,即可得结论. sin ∠BDC sin B 【题文】19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求 实数 b 的取值范围; 【知识点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件.B11 B12 【答案】 【解析】(Ⅰ) 当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上 有一个极值点. (Ⅱ) b ? 1 ?

1 。 e2

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解析:(Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f ( x) 在 ? x x (0,??) 单调递减,∴ f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点;

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a

1 ? 1? ?1 ? ∴ f ( x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? ,?? ? 上递增,即 f ( x) 在 x ? 处有极小值. a ? a? ?a ?
∴当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上有一个极值点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 ln x ? ?b, x x

1nx ? 2 1 ln x ' , g ( x) ? 可得 g ( x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? 2 x x x

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 e2
,对 a 分 a≤0 与 a>0 讨论 f′

【思路点拨】(Ⅰ) 由 f(x)=ax﹣1﹣lnx 可求得 f′(x)=

(x)的符号,从而确定 f(x)在其定义域(0,+∞)单调性与极值,可得答案; (Ⅱ) 函 数 f(x)在 x=1 处取得极值,可求得 a=1,于是有 f(x)≥bx﹣2?1+ ﹣ g(x)=1+ ﹣ ,g(x)min 即为所求的 b 的值. ≥b,构造函数

【题文】20.(本小题满分 13 分)某企业 2013 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因, 企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造, 预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资 1 金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ n)万元(n 为正整数). 2 (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术 改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过 不进行技术改造的累计纯利润? 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;不等式的证 明.B12 500 【答案】 【解析】(1) An=490n-10n2,Bn=500n- n -100.(2) 至少经过 4 年进行技术改造 2 后累计纯利润将超过不改造的累计纯利润. 解析: (1)依题意知, 数列{An}是一个以 500 为首项, -20 为公差的等差数列, 所以 An=480n n?n-1? + ×(-20)=490n-10n2, 2 1 1 1 Bn=500(1+ )+500(1+ 2)+?+500(1+ n)-600 2 2 2 1 1 1 =500n+500( + 2+?+ n)-600 2 2 2

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1 1 [1-? ?n] 2 2 =500n+500× -600 1 1- 2 500 =500n- n -100. 2 (2)依题意得,Bn>An, 500 即 500n- n -100>490n-10n2, 2 50 可化简得 n <n2+n-10, 2 50 所以可设 f(n)= n ,g(n)=n2+n-10. 2 又因为 n∈N,f(n)是减函数,g(n)是增函数. 50 50 又 f(3)= >g(3)=2,f(4)= <g(4)=10, 8 16 则 n≥4 时不等式成立,即至少经过 4 年进行技术改造后累计纯利润将超过不改造的累 计纯利润. 【思路点拨】 (1)根据每年比上一年纯利润减少 20 万元,可得 An 的表达式;根据 2013 年 初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造, 预测在未扣除技术改造资金的情况下, 第 n 年(2013 年为第 1 年)的利润为 500(1+ 函数的单调性,即可得到结论. 【题文】21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ax2 ? 2lnx . (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 在 ? 0,1? 上的最大值是 ?2 ,求 a 的值; (3)记 g ? x ? ? f ?x ? ? ?a ? 1?lnx ? 1 ,当 a ≤ ?2 时,求证:对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总有 )万元,可得 Bn 的表达式; (2)作差,利用

g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;不等式的证 明.B12 【答案】 【解析】(1) 当 a ≥ 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ?? ? ;当 a ? 0 时, f ? x ? 的增区间是

? ? ? 1? 1 (3)见解析。 0, ? ? ,减区间是 ? ? , ?? ? .(2) a ? ?e ; ? ? ? ? ? a a ? ? ? ?
解析: (1) f ? x ? 的定义域是 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? 2ax ?

2 2ax 2 ? 2 ? . x x

当 a ≥ 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x1 ? ?

1 1 , x2 ? ? ? (舍去) a a

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当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? 1? 1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数; ? ? ? a? a? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a ? ? ?

当 x ? ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上是减函数. 故当 a ≥ 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ? ? ,减区间是 ? ? , ?? ? .(4 分) ? ? ? ?

? ? ?

1 a

? ?

1? a?

? ?

1 a

? ?

(2)①当 a ≥ 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,故在 ? 0,1? 上的最大值为 f ?1? ? a ? ?2 , 显然不合题意;

?a ? 0 ? 1? ? ②若 ? , 即 ?1 ≤ a ? 0 时, 则 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数, 故在 ? 0,1? 0, ? ? , ? 0,1? ? ? 1 ? a? ? ? ≥1 ? ? ? a
上最大值为 f ?1? ? a ? ?2 ,不合题意,舍去;

?a ? 0 ? ? 1? 1 ? ? ③若 ? 1 ,即 a ? -1 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数,在 ? ? ,1? 上为减函数,故 ? ? ? a? a ? ? ? ?1 ? ? ? ? a
在 ? 0,1? 上的最大值是 f ? ? ?

? ?

1? 1 ? ?1 ? 2ln ? ? ?2 ,解得: a ? ?e ,符合. ? ? a? a
2 a ?1 2a x ? a ? 1 ?2 ax ? , 当 a ≤ ?2 时 , x x

综合①、②、③得: a ? ?e . (8 分) ( 3 ) g ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax2 ? 1 , 则 g ? ? x? ?

g ? ? x ? ? 0 ,故当 a ≤ ?2 时, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数.
不 妨 设 x2 ≥ x1 ? 0 , 则 g ? x2 ? ≤ g ? x1 ? , 故 g ? x 1? ?

x 4 ?g ? 2≥

?1 x 等 2 x 价 于

g? x 1? ?

x 4? ?g ? 2≥

?2 x ? ,即 1 x g ? x 1 ? ? 4 x1 ≥ g ? x2 ? ? 4 x2 .

记 ? ? x ? ? g ? x ? ? 4 x ,下面证明当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ?

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ≤ ? 由 ? ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax ? 4x ? 1 得: ? ? ? x ? ? x x x
2

2

≤ 0 ,从而 ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,故当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ? ,即有:

g ? x 1 ? ? 4x1 ≥ g ? x2 ? ? 4x2 ,
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故当 a ≤ ?2 时,对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总有 g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 . (13 分) 【思路点拨】 (1)求出函数的导函数,对 a≥0 和 a<0 进行分类,当 a≥0 时,导函数恒大于 0,当 a<0 时,由导函数的零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号,判断出原 函数的单调性; (2)根据(1)中求出的单调区间,判断出函数在(0,1]上的单调性,进一步求出函数在 (0,1]上的最大值,由最大值等于﹣2 求解 a 的值,符合条件保留,否则舍去; (3)把函数 f(x)的解析式代入 g(x)=f(x)+(a﹣1)lnx+1,求出函数 g(x)的导函 数后,由 a≤﹣2 可知其导函数小于 0,得到函数 g(x)为定义域上的减函数,不妨规定 x1 和 x2 的大小,把要证的不等式取绝对值移向变形,使问题转化成证明一个函数的单调性问 题,最后利用函数的导函数证明函数单调性.

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