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河北省正定中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学试题


高二第二学期期末考试 数学试题
说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔 或签字笔答在答题纸上。 试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。请把答案涂在答 题卡上) 1.设集合 M ? {x || x |? 3} , N ? A. ?x |1 ? x ? 3? C.

?x | y ? log2 (?x2 ? 3x ? 2)? ,则 M ? N =
B. ?x |1 ? x ? 2? D. ?x | ?3 ? x ? 3?

?x | ?3 ? x ? 2?

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 0 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ? ?q ? 是真命题 3. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. 1 ? i B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ? ?q ? 是假命题

2 2 ?z = z C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

4.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度 的破坏,可见部分信息如下,据此计算得到:参加数学抽测的人数 n 、分数在 ?90,100? 内的 人数分别为

A. 25 , 2

B. 25 , 4

C. 24 , 2

D. 24 , 4

5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 为 A. ?

1 2

B. ?3

C.

1 3

D. 2

6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视 图中的 x 的值是

A.2

B.

9 2

C.

3 2

D.3

7.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门,为安全起见,首尾一定是两 名安保人员,外宾甲乙要排在一起,则六人的入门顺序的总数是 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2? ? 8.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x ? ?
A.180 B.120 C.90 D.45

n

9. 设 数 集 M ? ? x m ? x ? m ? ? , N ? ? x n ?

? ?

3? 4?

? ?

1 ? ? x ? n? , 且 M , N 都 是 集 合 3 ?

, 那么集合 M ? N 的 “长 ? x 0 ? x ? 1? 的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ? x a ? x ? b? 的“长度” 度”的最小值是 A. 10.

1 3

B.

2 3

C.

1 12

D.

5 12



?ABC 中 , 三 个 内 角

A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 若


S?ABC ? 2 3, a ? b ? 6,
A. 2 7

a cos B ? b cos A ? 2 cos C ,则 c ? ( c
C.4 D. 3 3

B. 2 3

11.设 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦点, A 为双曲线的左顶 a 2 b2
?

点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M , N 两点,且满足 ?MAN ? 120 ,则该双 曲线的离心率为( A. ) B.

21 3

19 3

C.

2 3

D.

7 3 3

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 m?n x ? mx ? x 的两个极值点分别为 x 1, x 2 ,且 0 ? x 1? 1 ? x 2 , 3 2 2

点 P(m, n) 表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? loga ( x0 ? 4) ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (0, ) ? (1,3)

1 2

B. (0,1) ? (1,3)

C. ( ,1) ? (1,3?

1 2

D. (0,1) ? ?3, ??)

试卷Ⅱ(共 90 分) 二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上) 13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是
?



14.已知菱形 ABCD 的边长 4, ?ABC ? 150 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个 顶点的距离均大于 1 的概率为 .

15.已知点 P 在渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 的双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, 其中 F 1 ,F2 分 a 2 b2


???? ???? ? 别为其左、右焦点.若 ?PF1 F2 的面积为 16 且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 a ? b 的值为

16.若 a ? 1 ,函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2a 与 g ( x) ? x ?1 ? x ? a 有相同的最小值,则

?

a

1

f ( x)dx ?



三、解答题(本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上) 17、 (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? ,若 a1 ? 2 且对任意正整数 n 满足 an?1 ? an ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? an (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn bnbn ?1

18、 (本小题满分 12 分) 某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况,随机从该校高三文科与理 科各抽取 50 名学生的数学成绩,作出频率分布直方图如下,规定考试成绩 ?120,150? 内为优 秀。

(1)由以上频率分布直方图填写下列 2 ? 2 列联表,若按是否优秀来判断,是否有 99%的把 握认为该校的文理科数学成绩有差异。

(2)某高校派出 2 名教授对该校随机抽取的学生中一练数学成绩在 140 分以上的学生进行 自主招生面试,每位教授至少面试一人,每位学生只能被一位教授面试,若甲教授面试的学 生人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD ,

BC ? CD ? 2,AC ? 4,?ACB=?ACD=
AF ? PB .
(Ⅰ)求 PA 的长 ; (Ⅱ)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值.

?
3

. F 为 PC 的中点,

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,使得 PM ? PN ,再 过 P 作直线 l ' ? MN ,证明:直线 l ' 恒过定点,并求出该定点的坐标. 21、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 , 且过点 ? 3, ?1? . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

已知 f ? x ? ? x2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ? x ? ? g ? x ? 。 (1)当 a ? 3 时,求 h( x) 的单调区间; (2)设 h ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求 m 的最 大值。 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

1 2

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. ⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ? ⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.
在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 a, b ? R , f ? x ? ? x ? a ? 2 x ?
?

2 b

(1)求 f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? 的最大值为 5,求

1 ? b 的最小值。 a

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,使得 PM ? PN ,再 过 P 作直线 l ' ? MN ,证明:直线 l ' 恒过定点,并求出该定点的坐标. 21、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? x2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ? x ? ? g ? x ? 。 (1)当 a ? 3 时,求 h( x) 的单调区间; (2)设 h ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求 m 的最 大值。 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

x2 y 2 6 , 且过点 ? 3, ?1? . ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2 3

1 2

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. ⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). y ? ? 4 ? 2 sin ? ? ⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.
在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 a, b ? R , f ? x ? ? x ? a ? 2 x ?
?

2 b

(1)求 f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? 的最大值为 5,求

1 ? b 的最小值。 a

高二期末考试数学答案

选择:BCAAADBACBAB 填空:甲,1-

?
8

, 7,

28 3

17. (1)an ? 2n, bn ? 2n ? 1 n (2)Tn ? 3(2n ? 3) 18 题

19.解: (Ⅰ) 如图, 连接 BD 交 AC 于 O , 因为 BC ? CD , 即 ? BCD 为 等 腰 三 角 形 , 又 AC 平 分 ?B C D, 故

A C? B D .以 O 为坐标原点,OB, OC, AP 的方向分别为

uu u r uuu r uu u r

x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyx .


OC ? CD cos

?
3

?1





AC =4





A ? O

?A ? C3 , 又 O OD C ? CD sin

?
3

? 3 , 故

A( , 0? , 3 0 B) , ,, (

(0, ? 3,z ) ,由 可设 3 C , , 0 0 )? D , (, 0 因为 1 0PA ) ,? 底面 ( ABCD 3 0 , 0 ) .P

r z uuu z uur F 为 PC 边的中点,得 F (0, ? 1, ), AF ? (0, 2, ), PB ? ( 3,3, ? z ) . 2 2

uuu r uur z2 AF ? PB, AF ? PB ? 0, 6 ? ? 0 z ? 2 3(舍去-2 3), ? PA ? 2 3 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

uuu r uu u r uuu r AD ? (? 3,3, 0), AB ? ( 3,3,0), AF ? (0, 2 3) . 设 平 面 FAD 的 法 向 量 为

u r u u r n1 ( x1 , y1 , z1 ) , FAB 的法向量为 n2 ( x2 , y2 , z2 ) ,
由 n1 gAD ? 0, n1 gAF ? 0 , 得?

u r uuu r

u r uuu r

? ?- 3x1 ? 3 y1 ? 0

? ? 2 y1 ? 3z1 ? 0 u u r uu u r u u r uuu r 由 n2 gAB ? 0, n2 gAF ? 0 ,
得?

由此可取 n1 ? (3, 3, ?2)

??

? ? 3 x2 ? 3 y2 ? 0

? ? 2 y2 ? 3 z 2 ? 0 u r u u r 从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 u r u u r u r u u r n1 gn2 1 cos? n1 , n2 ? ? u r u u r ? , n1 ? n2 8
故二面角 B ? AF ? D 的正弦值为

由此可取 n2 ? (3,- 3, 2)

u u r

3 7 . 8

9 1 20.解:(1)由题意知点(3,-1)在椭圆 C 上,即 2+ 2=1, ① a b 又椭圆的离心率为
2 2 6 c2 a -b 6 2 ,所以 2= 2 =( )2= ,② 3 a a 3 3

联立①②可解得 a2=12,b2=4,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1.(5 分) 12 4

2 3 2 3 (2)因为直线 l 的方程为 x=-2 2,设 P(-2 2,y0),y0∈(- , ), 3 3 当 y0≠0 时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),显然 x1≠x2, x2 y2 1 1 + =1, 2 2 2 2 12 4 x1-x2 y1-y2 y1-y2 1 x1+x2 联立 2 则 + =0,即 =- · , 2 12 4 3 y1+y2 x - x x2 y2 1 2 + =1, 12 4

? ? ?

又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点, 1 -2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为- · = , 3 y0 3y0 又 l′⊥MN,所以直线 l′的方程为 y-y0=- 3y0 (x+2 2), 2 2

3y0 4 2 即 y=- (x+ ), 3 2 2 4 2 显然 l′恒过定点(- ,0); 3 4 2 当 y0=0 时,直线 MN 即 x=-2 2,此时 l′为 x 轴亦过点(- ,0). 3 4 2 综上所述,l′恒过定点(- ,0).(12 分) 3
1 1 21.(1) h( x)的单调增区间为(0, ),(1, ??), 单调减区间为( ,1) 2 2

22.解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC , 又 AB 为直径, ? AD ? DB , AD // OC . 5分 (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB 10 分 ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC ? x ? 3 ? 2 cos? 23.解: (1)圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ? 2 2 所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 . 2分 2 5分 ? 圆 C 的极坐标方程: ? ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 . | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2
1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 10 分
? ABM 的面积 S ?
7分


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