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高中数学必修4知识总结(完整版)


高中数学必修四知识点总结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几 象限角.第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

?

? ? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正 n
*

半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
l . r

? 终边 n

? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?
?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,
1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、 (一) 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,那么:(1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,
y 即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 x y tan ? ? ( x ? 0) 。 x

(二)设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x
-1-

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象 限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系式:

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;
sin ? ? tan ? ? 2? cos ?

y P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? ,
tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? .

? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:函数名改变,符号看象限. 14、图像变换的两种方式: (一)函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象 ( ? >0 是左移;? <0 是右移) ;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原 来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有

点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象

? ? ? 0, ? ? 0? .
(二)函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函

数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度( ? >0 是 ?

左移;? <0 是右移) ;得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的 纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 (横坐标不变) , 得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象 ? ? ? 0, ? ? 0? . 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
-2-

①振幅 ? ; ②周期: ? ?

2?

?

; ③频率: f ?

1 ? ? ; ④相位: ? x ? ? ; ⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ??
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
?
2

? k ??? 时,
?
2

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 奇偶性
2? 奇函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;在
单调性

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?
无对称轴

16.三角函数奇偶性规律总结( A ? 0, ? ? 0


-3-

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ? ? k? , k ? Z

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 为偶函数的条件为 ? ? k? ? 函数 y ? A cos(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ? ? k? ?

?
2

,k ?Z ,k ?Z .

?
2

函数 y ? A cos(? x ? ? ) 为偶函数的条件为 ? ? k? , k ? Z 函数 y ? A tan(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ? ? 17.向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 规定:零向量与任一向量平行.

k? ? , k ? Z 它不可能是偶函数. 2
数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量. 18、向量加法:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.
C
? a

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;
? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;
?

? b

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
19、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点. (见上图) ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
20、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ? ? ? ? ① ?a ? ? a ;②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;
? ? ? ? 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .0 a = 0

⑵运算律:

? ? ① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;

? ? ? ② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;

? ? ? ? ③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? a ? ? 表示与a反方向的单位向量。 a

? ? ?? a ? (4) a ? 0,则 ? 表示与a同方向的单位向量,a

? ? ? ? ? ? 21 向量共线条件:(1)向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

-4-

? ? ? ? ? (2)共线的坐标表示, 设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线.

?

?

如图,OA、 OB 不共线, 且 AP ? t AB (t ? R), 用 OA, OB 表示 OP ; OP ? OA=t(OB ? OA),则OP=(1-t)OA ? tOB 结论:已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上,则 OP ? mOA ? nOB, 且 m ? n ? 1.
?? ?? ? 22、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 叫做这一平面内所
有向量的一组基底) ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 小结论: (1)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 ? ye2 ? me1 ? ne2 , 则x=m,y=n
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????

???? ????

????

?????

???? ????

????

?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? (2)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 ? ye2 ? 0,则x=y=0 ??? ? ???? 23、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, 当 ?1? ? ???2 ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,可推出点 ? 的坐标是 ? 1 (会写出向量坐标,会运算。 ) , ?. 1? ? ? ? 1? ?

24、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴定义: a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? a cos? : a 在 b 方向上的投影

? ? ? b cos ? : b 在 a 方向上的投影

注意:务必要算对两个非零向量的夹角:设两个非零向量 a ? OA 与 b ? OB , 称 ?AOB ? ? 为向量 a 与 b 的夹 角 (0 ? ? ? 180 ) ,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。
? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ;
? ? ? ?2 ? ? ? a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a .

? ? ? ? ③ a ?b ? a b .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
? ?2 ? (5)若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? ? (6)设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
-5-

? ? ? ? ? ? (7)设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角, ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 则 cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

变形: ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 变形: ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

26、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . 变形:
1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) 变形得到降幂公式: 1 ? cos 2? cos 2 ? ? , 2 ⑶ tan 2? ?
1 ? cos 2? . 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2?

sin 2 ? ?

tan 2 ? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? sin 2? 1 ? cos 2? ? . tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2?

27、 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
[2010 高考题解析,规范解题步骤]已知函数 f ? x ? ? 其图象过点(

1 1 ?? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? , 2 2 ?2 ?

π 1 1 , ) . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 6 2 2 π 不变,得到函数 y ? f ? x ? 的图象,求函数 g ? x ? 在[0, ]上的最大值和最小值. 4 1 1 ? 2 ( 0? ? ? ? ) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos x cos ? ? sin( ? ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? 2 2 2

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2 1 ? cos(2 x ? ? ) 2
-6-

又 所以 即 又

函数图像过点 (

? 1

1 1 ? ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6

, ) 6 2

c o s ( ? ? ?) 3

?

1
所以 ? ?

3 1 ? 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 3 2
不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,可知

0 ?? ??

?

g ( x) ? f (2 x) ?
因为 所以

x ?[ 0 , ] 4

?

1 ? cos(4 x ? ) 2 3

4 x ? [0, ? ]

因此 4 x ? 故 ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]
所以 y ? g ( x) 在 [0,

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 2 3

?
4

] 上的最大值和最小值分别为

1 1 和? 2 4

为什么要学习数学? ——数学来源于生活,生活离不开数学。数学对个人,社会,世界都会产生影响! 数学与人类文明一样古老, 有文明就一定有数学。 数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切 的关系,解决着各种各样的问题:食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换,房屋、仓库的建造,丈量 土地,兴修水利,编制历法等。随着数学的发展和人类文明的进步,数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学 领域。从古希腊开始,数学就与哲学建立了密切的联系。近代以来,数学又进入了人文科学领域,并使人文科学 的数学化成为一种强大的趋势。 当今社会,数学的发展,计算机技术的广泛应用,可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。从 卫星到核电站,高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点,无不是通过数学模型和数学方法并 借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造,产品的质量控制,经济和科技中的预测和管理,信息处 理,资源开发和环境保护,经济决策等,无不需要数学的应用。数学在现代社会中有许多出人意料的应用,在许 多场合,它已经不再单纯是一种辅助性的工具,它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法,由此产生的许多 成果,又悄悄的遍布在我们身边,改变着我们的生活方式。可以说数学对现代社会已产生了深远的影响,我们生 活在数学的时代。数学对社会发展的影响,一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用,同时,也反映出在未 来社会中,社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质。

-7-


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