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2017版高考数学一轮复习练习8.2空间图形的基本关系与公理.doc


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基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.在下列命题中,不是公理的是( )

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 解析 选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的. 答案 A 2.(2016· 江西七校联考)已知直线 a 和平面 α,β ,α ∩β =l,a?α ,a?β ,且 a 在 α,β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 B.相交或异面 D.相交、平行或异面 )

解析 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,选 D. 答案 D 3.在正方体 AC1 中,E,F 分别是线段 BC,CD1 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系 是( A.相交 ) B.异面 C.平行 D.垂直

解析 如图所示, 直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1, EF? 平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交. 答案 A 4.(2016· 深圳调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q,R 分别是 AB, AD,B1C1 的中点,那么正方体的过 P,Q,R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析 如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 延长线交于 M,且 QP 反向延长线与 CD 延长线交于 N,连接 MR 交 )

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BB1 于 E,连接 PE,则 PE,RE 为截面与正方体的交线,同理连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG,则 QF,FG 为截面与正方体的交线,∴截面为六边形 PQFGRE. 答案 D 5.(2016· 咸阳一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠BAD =90°,BC=2AD,△PAB 和△ PAD 都是等边三角形,则异面直 线 CD 与 PB 所成角的大小为( A.90° B.75° ) C.60° D.45°

解析 如图,过点 B 作直线 BE∥CD,交 DA 的延长线于点 E, 连接 PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线 CD 与 PB 所成 角.∵△PAB 和△ PAD 都是等边三角形,∴∠PAD=60°,DA =PA=AB=PB=AE,∴∠PAE=120°.设 PA=AB=PB=AE=a,则 PE= 3a.又∠ABC =∠BAD=90°,∴∠BAE=90°,∴BE= 2a,∴在△ PBE 中,PB2+BE2=PE2,∴∠ PBE=90°.即异面直线 CD 与 PB 所成角为 90°.故选 A. 答案 A 二、填空题 6.如图所示,平面 α,β ,γ 两两相交,a,b,c 为三条交线,且 a∥b, 则 a 与 b,c 的位置关系是________. 解析 ∵a∥b,a?α ,b?α ,∴b∥α . 又∵b?β ,α ∩β =c,∴b∥c.∴a∥b∥c. 答案 a∥b∥c 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方 体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

解析 取 CD 的中点 H,连接 EH,FH.在正四面体 CDEF 中,由于 CD⊥EH,CD⊥HF, 所以 CD⊥平面 EFH,所以 AB⊥平面 EFH,则平面 EFH 与正方体的左右两侧面平行,则 EF 也与之平行,与其余四个平面相交. 答案 4 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的
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中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________. 解析 A,M,C1 三点共面,且在平面 AD1C1B 中,但 C?平面 AD1C1B,C1?AM,因此直 线 AM 与 CC1 是异面直线,同理 AM 与 BN 也是异面直线,AM 与 DD1 也是异面直线, ①②错,④正确;M,B,B1 三点共面,且在平面 MBB1 中,但 N?平面 MBB1,B?MB1, 因此直线 BN 与 MB1 是异面直线,③正确. 答案 ③④ 三、解答题 9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线. 证明 如图,连接 BD,B1D1,则 BD∩AC=O, ∵BB1 綊 DD1,∴四边形 BB1D1D 为平行四边形, 又 H∈B1D, B1D?平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D, ∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.即 D1、H、O 三点共线. 10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S=4,

1 8 所以四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)如图,连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 又 M 为 OA 的中点,所以 ME∥OC, 则∠EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角,

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由已知可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形,即∠MED=90°, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3 ∴异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 . 3

能力提升题组
(建议用时:20 分钟) 11.以下四个命题中, ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( A.0 解析 ) B.1 C.2 D.3

①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共

面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、 C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四边 形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 答案 B 12.(2016· 长春一模)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角 的余弦值为( 1 A. 6 ) B. 3 6 1 C. 3 D. 3 3

解析 画出正四面体 ABCD 的直观图,如图所示.设其棱长为 2,取 AD 的中点 F,连接 EF, 设 EF 的中点为 O,连接 CO, 则 EF∥BD, 则∠FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角, △ABC 为等边三角形,则 CE⊥AB,易得 CE= 3,

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同理可得 CF= 3,故 CE=CF.因为 OE=OF, 1 1 1 所以 CO⊥EF.又 EO= EF= BD= , 2 4 2 1 EO 2 3 所以 cos∠FEC= = = . CE 3 6 答案 B 13.对于四面体 ABCD,下列命题 ①相对棱 AB 与 CD 所在直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△ BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直 线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 其中正确的是________(填序号). 解析 对于①,由四面体的概念可知,AB 与 CD 所在的直线为异面直线,故①正确;对 于②,由顶点 A 作四面体的高,当四面体 ABCD 的对棱互相垂直时,其垂足是△ BCD 的 三条高线的交点,故②错误;对于③,当 DA=DB,CA=CB 时,这两条高线共面,故③ 错误;对于④,设 AB、BC、CD、DA 的中点依次为 E、F、M、N,易证四边形 EFMN 为平行四边形,所以 EM 与 FN 相交于一点,易证另一组对棱中点连线也过它们的交点, 故④正确. 答案 ①④ 14.如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且 满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E,F,G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. (1)解 AE CF ∵ = =2,∴EF∥AC, EB FB

又 EF?平面 ACD,AC?平面 ACD, ∴EF∥平面 ACD,而 EF?平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH.
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AH CG = =3.∴AH∶HD=3∶1. HD GD

EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH,∴EFGH 为梯形.令 EH∩FG=P, 则 P∈EH,而 EH?平面 ABD,∴P∈平面 ABD. 又 P∈FG,FG?平面 BCD,∴P∈平面 BCD, 又平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH,FG,BD 三线共点.

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