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东北三省三校2017年高三第二次联合模拟考试-文科数学试题 Word版含答案


2017 年高三第二次联合模拟考试 文科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? (CR B) ? ( A. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 2.复数 A. ?i B. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} )

1? i ( i 是虚数单位)的虚部为( 1? i
B. ? 2i C. -1

) D.-2 )

3.函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? A. [?2, 2]

?
6

) 的值域为(

B. [? 3, 3]

C. [?1,1]

D. [?

3 3 , ] 2 2

4. 等差数列 {an } 中,a1 ? a3 ? a5 ? 39 ,a5 ? a7 ? a9 ? 27 , 则数列 {an } 的前 9 项的和 S9 等 于( A.66 5. ) B.99 C. 144 D.297

? 是一个平面,m, n 是两条直线, A 是一个点,若 m ? ? ,n ? ? ,且 A ? m , A ? ? ,
) C. 异面 D.平行

则 m, n 的位置关系不可能是( A.垂直 B.相交

6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是 ( )

A.

( 5 ? 1)? ?2 2

B.

( 5 ? 1)? ?2 2 5 ? ?2 2

C.

? ?3 2

D.

7. 函数 f ( x ) ? cos(2 x ? A.向左平移

?

? ? 个单位长度得到 B.向右平移 个单位长度得到 2 2 ? ? C. 向左平移 个单位长度得到 D.向右平移 个单位长度得到 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知平面向量 a, b 满足 a ? (2a ? b) ? 5 且 | a |? 2 ,| b |? 3 , 则向量 a 与向量 b 的夹角余弦
值为( A.1 ) B.-1 C.

) 的图象可由函数 g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象( 3 3

?



1 2

D. ?

1 2

9. 公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边 形的周长可无限逼近圆的周长, 并创立了割圆术, 利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数 点后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽率,利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所 示,若输出的 n ? 96 ,则判断框内可以填入( ) (参考数据: sin 7.5 ? 0.1305 ,
?

sin 3.75? ? 0.06540 , sin1.875? ? 0.03272 )

A. p ? 3.14

B. p ? 3.14

C. p ? 3.1415

D. p ? 3.1415926 的

1 ) 为奇函数, 5 ) ?( 6 f ) 10. 已知偶函数 f ( x ) 的定义域为 R , 若 f (x ? 且 f (2) ? 3 , 则 f(
值为( A. -3 ) B. -2
2

C. 2

D.3

11.已知 A, B, P 为双曲线 x ?

??? ? ??? ? ??? ? y2 ? 1上不同三点,且满足 PA ? PB ? 2PO ( O 为坐标原 4
2

点) ,直线 PA, PB 的斜率记为 m, n ,则 m ? A.8 B.4 C. 2

n2 的最小值为( 4



D.1

' 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 的可导函数, f ( x) 为其导函数,当 x ? 0 且 x ? 1 时,

3 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 ,若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率为 ? ,则 f (1) ? ( 4 x ?1
A. 0 B. 1 C.



3 8

D.

1 5

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.袋中装有编号为 1,2,3,4,5 的五个大小相同的小球,从中任取两个小球,则取出两 球的编号之和为偶数的概率为 .

14. 若直线 y ? k ( x ? 3) 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 相切,则 k ? 15. 下列命题正确的是 . (写出所有正确命题的序号)



①已知 a, b ? R , “ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充分条件; ②已知平面向量 a, b , “| a |1 ? 且 | b |? 1 ”是“ | a ? b |? 1 ”的必要不充分条件; ③已知 a, b ? R , “ a ? b ? 1”是“ | a | ? | b |? 1 ”的充分不必要条件;
2 2

? ?

?

?

? ?

?

?

④命题 P : “ ?x0 ? R ,使 e 0 ? x0 ? 1 且 ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定为 ? p : “ ?x ? R ,都有
x

e x ? x ? 1 且 ln x ? x ? 1”
16. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 sin A ?

2 , sin B ? 2 cos C 且 3

c 2 ? a 2 ? b ,则 b ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , 数列 {bn } 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? bn ? an ? n . an?1 ? 2an ? n ? 1 , (1)证明: {an ? n} 为等比数列; (2)数列 {cn } 满足 cn ?

1 an ? n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? . 3 (bn ? 1)(bn?1 ? 1)

18. 下表数据为某地区某种农产品的年产量 x (单位:吨)及对应销售价格 y (单位:千元 /吨) .

(1) 若 y 与 x 有较强的线性相关关系, 根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)若每吨该农产品的成本为 13.1 千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多 少吨时,年利润 Z 最大?
^ ^ ^

AD ? AB , 19. 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB / / DC ,

AD ? DC ? AA1 ? 2 AB ? 2 ,点 E 为棱 C1D1 的中点.

(1)证明: BE ? CD ;

M 为 AD 的中点,求三棱锥 F ? MBC 的体 (2)若 F 为线段 AC 1 上一点,且 BF ? AC ,
积. 20. 已知在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,动圆 P 经过点 F (0,1) ,且与直线 l : y ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程 C ; (2)过 F (0,1) 的直线 m 交曲线 C 于 A, B 两点,过 A, B 作曲线 C 的切线 l1 , l2 ,直线 l1 , l2 交 于点 M ,求 ?MAB 的面积的最小值. 21. 设 f ( x) ? x? e , g ( x) ? kx ? ln x ? 1 .
ax

(1) a ? ?1 , f ( x ) 与 g ( x) 均在 x0 取到最大值,求 x0 及 k 的值; (2) a ? k ? 1 时,求证: f ( x) ? g ( x) .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 4 3 , 若射线 ? ? (1)求 | AB | ; (2)设点 P 是曲线 C : x ?
2

?
6

?? ,

?
3

分别与 l 交于 A, B 两点.

y2 ? 1 上的动点,求 ?ABP 面积的最大值. 9

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若对任意 x ? [ ?

1 ,1] ,不等式 f ( x) ?| 2 x ? a | ?4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

2017 二模文科数学答案 一、 选择题 ACCBD BCCBD 二、 填空题 BC

13.

2 5

14. ?

3 3

15.3

16.3

三、 解答题 17. (1)? an?1 ? 2an ? n ? 1 ,?an?1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) , 即bn?1 ? 2bn

又b1 ? a1 ?1 ? 2,?数列?bn ?是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)

由()知 1 bn ? an ? n ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n
cn ? 2n 1 1 ? n ? n?1 n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ? ? n ?1 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1 3

18. (12 分) (1) x ? 3 , y ? 50 ,

(-2) ?20+(-1)? 15+0+1?(-12)+2?(-28) ?? b ? ?12.3 4 ?1? 0 ?1? 4 ,

? ? 50 ? 12.3 ? 3 ? 86.9 a
? ? ?12.3x ? 86.9 ; 所以: y
(2)年利润 z ? x(86.9 ? 12.3 x) ? 13.1x ? ?12.3 x ? 73.8 x
2

所以 x ? 3 时,年利润 Z 最大. 19. (12 分) (1) 连AD1

? ? ? ? ? ? ? ? ? BE ? CD ? ? ? AD ? AB ? ? ? ? CD ? AD ? ? AB / / CD ? ? CD ? 平面 ADD A ? CD ? AD ? 1 1 1 ? ? 直棱柱中DD1 ? CD ? ? ? 1 ? AB / / CD ? 2 ? 1 ? D1 E ? C1 D1 ? ? D1 E / / AB ? BE / / AD1 2 ? CD / /C1 D1 ? ? ?
(2)

设AC ? BM ? O,连FO,延长AB至Q,使AQ ? 2 AB
? ? AD ? AB ? ? 四边形AQCD为正方形 ? AC ? QD CD ? AD ? 2 AB ? ? AB / / CD

? 又M , B为AD, AQ的中点,所以AC ? MB ? ? ? AC ? 平面FBM ? 已知AC ? FB ? ? ? AC ? FO ? FO ? 平面FBM ?

平面A1 AC中AA1 ? AC, 所以FO / / AA1

直棱柱中AA1 ? 平面ABCD, 所以FO ? 平面ABCD, FO ? 平面MBC , 所以FO为棱锥F ? MBC的高
FO / / AA1 ? FO CO 3 3 3 ? ? ? FO ? AA1 ? AA1 AC 4 4 2

1 1 3 3 3 所以V ? ( ? 2 ? ?2 2)? ? 3 2 4 2 4
20. (12 分)

() 1 x 2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 ? x 2 ? 4 y
2

(2)设 A? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ,直线 m : y ? kx ? 1
2 将 m : y ? kx ? 1 代入 x2 ? 4 y 中得 x ? 4kx ? 4 ? 0

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 ? x2 ? ?4 , y ? ? 得切线: l1 : y ?

x12 x1 ? ? x ? x1 ? 4 2

x 2

l1 : y ?

2 x2 x ? 2 ? x ? x2 ? 4 2

联立得:M (

x1 ? x2 x1 x2 ),即M (2k , ?1) 2 4

AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 4(1 ? k ), d ?
2 2

2k 2 ? 2 1? k 2

3 1 2 S ? AB d ? 4(k ? 1) 2 2

k ? 0时,Smin ? 4

21. (12 分)

(1) a ? ?1 时 f

'

? x? ? ?xe? x ? e? x ? e? x ?1? x?

f ? x ? 在 ? ??, 1? 递增, ?1, +? ? 递减? f ? x ? ? f ?1? ,1 为 f ? x ? 最大值点,即 x0 ? 1
max

g' ? x? ? k ?

1 kx ? 1 ? 1? ? , k ? 0 时 g ? x ? 在 ? 0, +? ? 增 f ? x ? 无最值 k ? 0 时 ? 0, - ? 增 x x ? k?

1 ? 1 ? ? 1? ? - , ?? ? 减 g ? x ? 最大值为 g ? ? ? ?? ? 1? k ? ?1 , x0 ? 1 k ? k ? ? k?
(2) 设h ? x ? ? xe ? x ? ln x ?1 , h' ? x ? ? ? x ? 1? e x ?
x

1 1 设u ? x ? ? e x ? , u ' ? x ? ? e x ? 2 ? 0, ? u ( x)递增 x x

x ?1 1? ? ? ? x ? 1? ? ? e x ? ? x x? ?

1 ?1 ? u ( ) ? e ? 2 ? 0, u(1) ? e ? 1 ? 0,??x0 ? ? ,1?,使u ? x0 ? ? 0 2 ?2 ? 即e x0 ? 1 1 ? 0,? e x0 ? , 且x0 ? ? ln x x0 x0

所以 h ? x ? 在 ? 0, x0 ? 递减,在? x0 , ??? 递增

h ? x ?min ? h ? x0 ? ? x0ex0 ? x0 ? ln x0 ?1 ? 1? x0 ? ln x0 ?1 ? 0
? h( x) ? xe x ? x ? ln x ? 1 ? 0恒成立 ? xe x ? x ? ln x ? 1,即f ( x) ? g ( x)
22. (10 分) (1) l : ? ? sin(? ?

?
3

)?2 3

?? ??

? ? 时 , ? ? 2 3,? A(2 3, ) 6 6 ? ? 时 , ? ? 4,? A(4, ) 3 3

? ?AOB ? ??BAO ?

?
3

?

?
6

?

?
6

, OA ? 2 3, OB ? 4

?
2

,?| AB |? 2

(2) l : 3x ? y ? 4 3

? x ? cos ? C:? ? y ? 3sin ?

| 2 3 sin(? + )-4 3| | 3sin ? ? 3 cos ? -4 3| | -2 3-4 3| 6 ?d ? = ? =3 3 2 2 2
当且仅当 ? +

?

?
6

=2k? -

?
2

,即 ? ? 2k? ?

2 ? 时取“=” 3

? S? ABC ?

23. (10 分)

1 1 | AB | ?d ? ? 2 ? 3 3 ? 3 3 2 2

1 1 1? 当x ? ? 时 , ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 6 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? ? 2 2
2? 当 ?

1 3 1 3 ? x ? 时 , 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 6恒成立 ? ? ? x ? 2 2 2 2

3 3 3 ? 当x ? 时 , 4 x ? 2 ? 6 ? ? x ? 2 2 2

解集为[?1, 2]

(2) f ( x) ? 2x ? a ? 4 ?| 2x ? a |? 8 即 ?8 ? 2 x ? a ? 8

? ?7 ? a ? 6

?a ? 1 ? ?8 ?? ?a ? 2 ? 8


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