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2012届高三数学一轮复习 4-8 答案

2012 届高三数学一轮复习 4-8 答案
一、选择题 1.[答案] C [解析] 依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA 5 =10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10(海里/小时). 0.5

8.[答案] B [解析] 如图,D 为气球 C 在过 AB 且与地面平行的平面上的正投影,设 CD=x 米,依题 意知:∠CAD=45°,∠CBD=30°,则 AD=x 米,BD= 3x 米.在△ABD 中,由余弦定理 2 2 2 2 2 2 得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB,即 266 =x +( 3x) -2x·( 3x)·cos150°= 266 7 ?266 7 ? 2 7x ,解得 x= ,故测量时气球到地面的距离是? +1?米,故选 B. 7 ? 7 ?

2. [答案] A [解析] 由题意知∠ABC=30°由正弦定理 = sin∠ABC sin∠ACB 2 50× 2 AC·sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sin∠ABC 1 2 3.[答案] A[解析] 如图所示,在△PMN 中, = , sin45° sin120° 68× 3 MN 17 ∴MN= =34 6,∴v= = 6(海里/小时). 4 2 2

AC

AB

二、填空题 9. [答案] 5 6海里 10 BC [解析] 在△ABC 中由正弦定理得 = ,∴BC=5 6. sin45° sin60° 10. [答案] 14 海里/小时 [解析] 设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 V,则在△ABC 中,AC=20,AB=12,∠BAC=120°. 2 ∴BC =784,∴V=14 海里/小时. 11.[分析] 求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题,然后再利用余弦定理解 7 决.[答案] 3 2 2 2 [解析] 由题易知,∠BOC=120°,因为 BC =OC +OB -2·OC·OB·cos120°=700,所 10 7 7 以 BC=10 7,所以拖轮到达 B 处需要的时间 t= = (小时). 30 3 三、解答题 12.[解析] (1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°, 由正弦定理得 2 12 6× 2 ABsinB AD= = =24(n mile). sin∠ADB 3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24n mile,灯塔 C 与 D 处的距离约为 14n mile. 15 13. [解析] (1)如图,AB=80,AC=60,∠BAC=θ ,sinθ = . 8

PM

MN

4.[答案] A [解析] 如图所示,四边形 CBMD 为正方形,而 CB=20m,所以 BM=20m. 20 又在 Rt△AMD 中, =20m, ADM=30°, AM=DMtan30°= DM ∠ ∴ 3(m), 3 20 3? ? ∴AB=AM+MB= 3+20=20?1+ ?m. 3 3? ? 5.[答案] A [解析] 在△ADC 中,∠DAC=β -α ,由正弦定理, = , sinα sin? β -α ? asinα asinα sinβ 得 AC= .在 Rt△ABC 中,AB=AC·sinβ = . sin? β -α ? sin? β -α ? 6.[答案] B[解析] 由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设 BC=xkm,则由余弦定 2 理知 9=x +4-4xcos120°,∵x>0,∴x= 6-1. 7.[答案] C ABsin∠BAC 100sin15° [解析] 在△ABC 中,BC= = =50( 6- 2), sin∠ACB sin? 45°-15°? 在△BCD 中,sin∠BDC=

AC

a

BCsin∠CBD 50? = CD

6- 2? 50

sin45° = 3-1,由图知 cosθ =

sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1.
用心 爱心 专心 -1-

由于 0°<θ <90°,所以 cosθ =
2 2

1-?

? 15?2 7 ?= . ? 8 ? 8
由题意可得:(vt) =20 +(30t) -2·20·30t·cos(90°-30°) 400 600 1 3 2 2 化简得:v = 2 - +900=400( - ) +675 t t t 4 1 1 1 由 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,vmin=10 13. 2 t t 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时. 400 600 1 2 (3)由(2)知 v = 2 - +900,设 =u(u>0),
2 2 2

由余弦定理得 BC= AB +AC -2AB·ACcosθ =40, 所以船的行驶速度为 40 海里/小时. (2)在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ABC 15 8 AC·sin∠BAC 3 15 ∴sin∠ABC= =60× = , BC 40 16 自 A 作 BC 的垂线,交 BC 的延长线于 D,则 AD 的长是船离观测站的最近距离. 3 15 在 Rt△ABD 中,AD=ABsin∠ABD=80× =15 15(海里), 16 ∴船在行驶过程中离观测站 A 最近距离为 15 15海里. 14.[解析] 本题考查正余弦定理在实际问题中的应用,本题要结合图像确定恰当三角形 进行边角的求解,求解过程中三角函数的变形,转化是易错点,注意运算的准确性. 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105° 在△DAB 中,由正弦定理得, = sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= =

BC

AC

t

t

t

于是 400u -600u+900-v =0(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即: 2 2 ?600 -1600×? 900-v ? >0 ?
? 2 ? ?900-v >0

2

2

解得 15 3<v<30.所以 v 的取值范围是(15 3,30).

DB

AB

AB·sin∠DAB 5? 3+ 3? ·sin45° 5? 3+ 3? ·sin45° = = sin∠ADB sin105° sin45°·cos60°+sin60°·cos45°
3+1? 3+1 2 =10 3(海里).又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,

5 3?

BC=20 3(海里),在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10 3×20 3× =900,
30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时. 15. [解析] 本小题主要考查解三角形,二次函数等基础知识,考查推理论证能力,抽象 概括能力,运算求解能力,应用意识,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化 思想.(1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2·30t·20·cos? 90°-30°? 1 2 2 = 900t -600t+400= 900? t- ? +300 3 1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇. 1 2

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