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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第5节 对数函数课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇 第 5 节 对 数函数课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 对数的运算 对数函数的图象 对数函数的性质 对数函数的图象与性质的综合应用 一、选择题 1.(2013 高考浙江卷)已知 x,y 为正实数,则( D (A)2 (B)2 (C)2 (D)2
lg x+lg y

题号 1、8、9、10、11 2、6、7、12、13 3、4、5 14、15、16

)

=2

lg x

+2

lg y

lg(x+y)

=2

lg x

·2

lg y

lg x·lg y

=2

lg x

+2

lg y

lg(xy)

=2

lg x

·2

lg y

解析:2 2
lg x

lg x+lg y

=2

lg x

·2 =2

lg y

,选项 A 错; ,选项 B 错;

·2

lg y

=2

lg x+lg y

lg(xy)

令 x=10,y=10, 则2 2
lg x lg x·lg y

=2,

+2

lg y

=4,选项 C 错.故选 D.

2.(2014 高考福建卷)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是( B )

1

解析:因为函数 y=logax 过点(3,1), 所以 1=loga3, 解得 a=3, 所以 y=3 不可能过点(1,3),排除选项 A; y=(-x) =-x 不可能过点(1,1),排除选项 C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除选项 D. 3.若 loga(a +1)<loga(2a)<0,则 a 的取值范围是( (A)(0,1) (B)(0, )
2 3 3 -x

C )

(C)( ,1) (D)(0,1)∪(1,+∞) 解析:∵a +1>1, 又 loga(a +1)<0,∴0<a<1, 又 loga(a +1)<loga(2a)<0, ∴ ∴a> 且 a≠1.
2 2 2

所以 <a<1.

4.设 f(x)=lg ( (A)(-1,0)

+a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A )

(B)(0,1)

(C)(-∞,0) (D)(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:由 f(x)是奇函数可得 a=-1, ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1).

由 f(x)<0,可得 0<

<1,∴-1<x<0.

2

5.已知函数 f(x)=log2(x -2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数 a 等于( B ) (A)1 (B)2 (C)3
2

2

(D)4

解析:由已知得函数 y=x -2x+a 的值域为[1,+∞), 即 y=x -2x+a 的最小值为 1, 所以 =1,解得 a=2.
2

6.已知函数 f(x)=|lg x|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( C ) (A)(2 ,+∞) (B)[2 ,+∞)

(C)(3,+∞) (D)[3,+∞) 解析:函数 f(x)=|lg x|的大致图象如图所示.

由题意结合图象知 0<a<1,b>1. ∵f(a)=|lg a|=-lg a=lg =f(b)=|lg b|=lg b,

∴b= .∴a+2b=a+ .

令 g(a)=a+ ,

则易知 g(a)在(0,

)上为减函数,

∴当 0<a<1 时,g(a)=a+ >g(1)=1+2=3.

7.(2014 郑州模拟)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是(

x

B )

(A)(0, )

(B)( ,1)

(C)(1, 解析:

)

(D)(

,2)

3

令 f(x)=4 ,g(x)=logax,若 4 <logax,则说明当 0<x≤ 时,f(x)的图象恒在 g(x)图象的下方(如

x

x

图所示),此时需 g( )>f( ),即 loga > ,解得 a> 或 a<- ,

又 0<a<1,所以 <a<1. 二、填空题 8.(2014 济南模拟)设函数 f(x)= 则 f(f(-1))= .

解析:f(-1)=2 = ,

-1

所以 f(f(-1))=f( )=log2 =-1. 答案:-1

9.计算:log2.56.25+lg 0.001+ln

+

=

.

解析:原式=log2.5(2.5) +lg 10 +ln

2

-3

+

=2-3+ + =1. 答案:1 10.已知函数 f(x)= 若 f(a)= ,则 a 等于 .

解析:若 a>0,则 log2a= ,

4

得 a=

;
a

若 a≤0,则 2 = ,得 a=-1.

答案:

或-1 ·lo (2x)的最小值为 .

11.(2014 高考重庆卷)函数 f(x)=log2

解析:依题意得 f(x)= log2x·(2+2log2x) =(log2x) +log2x =(log2x+ ) 2 2

≥- ,

当且仅当 log2x=- ,

即 x= 时等号成立,

因此函数 f(x)的最小值为- .

答案:-

12.已知函数 f(x)= 是
x+1

则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围 .

解析:当 x≤0 时,3 >1? x+1>0,∴-1<x≤0; 当 x>0 时,log2x>1? x>2, ∴x>2. 答案:{x|-1<x≤0 或 x>2} 13.已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④ b<a<1;⑤a=b.其中可能的关系式是 .
5

解析:由已知得 log2a=log3b,在同一坐标系中作出 y=log2x,y=log3x 的图象,当纵坐标相等时, 可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出②④⑤可能. 答案:②④⑤ 14.(2014 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=ln 是 . +ln =0, ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围

解析:由题意可知 ln

即 ln(

×

)=0,从而

×

=1,

化简得 a+b=1, 故 ab=a(1-a)=-a +a=-(a- ) + , 又 0<a<b<1, 所以 0<a< ,故 0<-(a- ) + < .
2 2 2

答案:(0, ) 三、解答题 15.(2015 珠海月考)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=lo x.

(1)求函数 f(x)的解析式. (2)解不等式 f(x -1)>-2. 解:(1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lo (-x).
2

因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为

f(x)=

6

(2)因为 f(4)=lo 4=-2,f(x)是偶函数,
2 2

所以不等式 f(x -1)>-2 可化为 f(|x -1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x -1|<4,解得即不等式的解集为(2

<x< ,

, ).

16.已知函数 f(x)=ln

.

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)=ln >ln 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解:(1)由

>0,

解得 x<-1 或 x>1, ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, f(-x)=ln =ln =ln( )
-1

=-ln

=-f(x),

∴f(x)=ln

是奇函数.

(2)∵x∈[2,6]时,f(x)=ln

>ln

恒成立,



>

>0,

∵x∈[2,6], ∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x)
7

=-(x-3) +16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数 g(x)单调递增, x∈[3,6]时函数 g(x)单调递减, x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, ∴0<m<7. 即实数 m 的取值范围是(0,7).

2

8


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