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【状元360】高考数学一轮复习 7.2 等差数列(一)课件 理_图文

1.定义 一个数列{an}, 如果从第二项起,每一项与它前一项的差都是同一个常数 ___________________________________________________ ,则称这个数列为等差数列,即 an+1-an=d(常数).等差数列基 a1,d . 本量为________ 2.通项公式 (n-1)d ;(2)a =a +_____________. (n-m)d (1)an=a1+_____________ n m 3.前n项和公式 n?a1+an? 2 (1)Sn=____________ ; (2)Sn=__________________. 4.等差中项 (1)am-1+am+1=2am;(2)am-k+am+k=2am; (3)若S+t=m+n,则 aS+at=am+an. n?n-1? na1+ 2 d 考点一 等差数列的基本量 示范1 已知在等差数列 {an}中,a5 =10,a12 =31,求首项 a1 与公差 d. 分析 列出 a1 和 d 的方程组即可. 解析 法一 ? ?a1+4d=10, 依题意可知? ? ?a1+11d=31, ① ② 由②-①,得 7d=21,即 d=3. 再将 d=3 代入①,得 a1=-2. 即数列的首项 a1=-2,公差 d=3. 法二 设数列{an}的公差为 d,由 an=am+(n-m)d,知 31 =a12=a5+(12-5)d=10+7d,∴d=3. 再由 a5=10=a1+4d=a1+12,得 a1=-2. 【点评】关键是利用通项公式列方程或方程组. 展示1 设等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20 =50, (1)求通项an;(2)若Sn=242,求n. 【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得 ? ?a1+9d=30, ? 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. ? ?a1+19d=50. n?n-1? n?n-1? (2)由Sn=na1+ d,Sn=242,得12n+ · 2=242. 2 2 解得n=11或n=-22(舍去). 方法点拨:等差数列的通项公式和前 n 项和公式所涉及的 五个基本量 a1,an,d,n,Sn,只需知道其中三个量,就可求出 另外两个量,即“知三求二”,主要方法就是依据公式列方程? 组?求解. 考点二 求等差数列的前 n 项和公式 示范2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S7=7,S15= ?Sn? 75,记 Tn 为数列? n ?的前 n 项和,求 Tn. ? ? S 分析 由 S7,S15 列方程组可求得 a1 和 d,再求 n即可求 Tn. n 解析 设等差数列{an}的公差为 d,依题意可得 解得 a1=-2,d=1. Sn+1 Sn 1 1 1 1 5 Sn ∴ n =a1+2(n-1)d=-2+2(n-1)=2n-2,∵ - = , n+1 n 2 S1 1 Sn ∴数列{ n }也是等差数列,其首项 1 =-2,公差为2. 1 9 ∴Tn=4n2-4n. 【点评】本题运用方程思想求解.基本量观点. 展示2 已知在等差数列{an}中, a1=-2 008, 其前 n 项和为 S12 S10 Sn,若 12 - 10 =2,则 S2 011 的值为________. 【答案】4 022 12?a1+a12? 10?a1+a10? 2 2 S12 S10 【解析】由 12 - 10 = - = 12 10 1 1 2(a12-a10)=2×2d=d=2,得 S2 011=2 011×(-2 008)+ 2 011×2 010 ×2=4 022. 2 考点三 判定是否为等差数列 示范3 (1)设数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn,求证:数列 {an}是等差数列; (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn+C(c≠0), 求证: 数 列{an}不是等差数列. 分析 (1)先求通项再用定义证明;(2)全称命题的否定. 解析 (1)n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)A+B, 又 n=1 时,a1=S1=A+B 也符合上式, ∴an=(2n-1)A+B,而 an+1-an=2A, ∴{an}是首项 a1=A+B,公差 d=2A 的等差数列. (2)a1=S1=A+B+C,a2=S2-S1=3A+B,a3=5A+B, ∵c≠0,∴a1+a3≠2a2,∴{an}不是等差数列. 3 1 展示3 已知数列{an}中, a1=5, an=2- (n≥2 且 n∈N*), an-1 1 数列{bn}满足 bn= (n∈N*), an-1 求证:数列{bn}是等差数列. an-1 1 1 【解析】∵bn= = = , 1 an-1 an-1-1 2- -1 an-1 1 bn-1= , an-1-1 an-1 1 ∴bn-bn-1= - =1(n∈N*且 n≥2). an-1-1 an-1-1 1 5 ∵b1= =-2, a1-1 5 ∴数列{bn}是首项为-2、 公差为 1 的等差数列. 【解析】 1.利用等差数列的定义证明一个数列为等差数列这一方法 必须熟练掌握. 2.利用数列的基本量解题是研究确定性的表现,是转化为 方程组的思想,必须掌握. 3.“若数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn+C,则 C=0? 数列{an}等差”这一结论值得记住. 1.(2010 全国)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 【答案】C 2.(2010天津文)已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和 (n∈N*),若a3=16,S20=20,则S10=________. 【答案】110 【解析】设首项为a1,公差