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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷及答案(北京卷)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学文科预测试题(北京卷)
(满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(选择题 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {x | ( x ? 1) 2 ? 4, x ? N}, P ? {-1,0,1,2,3} ,则 M ? P A. {0,1,2} B. {-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} 3} 2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( ) A. y ? =( )

D.{0,1,2,

1 x
2

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1

D. y ? lg | x | )

3.已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若 MN =-3a,则点 N 的坐标为( A.(2,0) C.(6,2)
2

B.(-3,6) D.(-2,0) )

4.命题“任意 x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 C.a≥5 B.a≤4 D.a≤5 )

5.某程序框图如图所示,若输出的 S=120,则判断框内为( A.k>4? C.k>6? 6.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0,1) B.k>5? D.k>7?

1 的一个零点落在下列哪个区间( x
C. (2,3)



B. (1,2)

D. (3,4)

7.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y=x+2 2 +1 总有公共点,则圆 C 的面积( A.有最大值 8π C.有最小值 3π ) B.有最小值 2π D.有最小值 4π

8.对向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2)定义一种运算“?”: a?b=(a1, a2)?(b1, b2)=(a1b1, a2b2). 已 知动点 P, Q 分别在曲线 y=sin x 和 y=f(x)上运动, 且 OQ =m? OP +n(其中 O 为坐标原点), 1 π 若向量 m=( ,3),n=( ,0),则 y=f(x)的最大值为( 2 6
1

)

1 A. 2

B.2

C.3

D. 3

第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸上.) 9.复数 1 ?

1 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是__________ i3
﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线 l:x﹣2y﹣5=0,双曲线 .

10.已知双曲线

的一个焦点在 l 上,则双曲线的方程为

11. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 .

12 . 在 △ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ,

a ? 2, A ?

?
4

,B ?

? ,则△ABC 的面积为 S ? ________ . 3

x≥0, ? ? 13.若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, 则 z=x-y 的最小值是 ? ?2x+y≤3, 14.一个平面图由若干顶点与边组成,各顶点用一串从 1 开始的连续自 然数进行编号,记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值,若各 条边的编号正好也是一串从 1 开始的连续自然数,则称这样的图形为 “优美图”.已知如图是“优美图”,则点 A,B 与边 a 所对应的三个 数分别为________.



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15、 (本题满分 13 分)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3· a4 =117,a2+a5=22. (1)求 an 和 Sn; Sn (2)若数列{bn}是等差数列,且 bn= ,求非零常数 c. n+c 1 16、 (本题满分 13 分)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. 2
2

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; π ? 2 (2)当 α∈? ?2,π?时,若 f(α)= 2 ,求 α 的值. 17、 (本题满分 14 分) 如图,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为矩形,M,N 分别 是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45° ,求证:MN⊥平面 PCD.

18.(本题满分 13 分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵 的概念,记交通指数为 T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅 通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.晚高峰时段(T≥2),从某市交 通指挥中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示.

(1)请补全直方图,并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个; (2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中共抽取 6 个路段,求依次 抽取的三个级别路段的个数; (3)从(2)中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少 1 个路段为轻度拥堵的概率. x2 y2 3 19.(本题满分 14 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点到直线 x+y a b 2 + 6=0 的距离为 2 3. (1)求椭圆的方程; 7 (2)过点 M(0,-1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,且满足 NA =- NB , 5 求直线 l 的方程. 1 a 20.(本题满分 13 分)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 3 2 方程为 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取 值范围.
3

4

文科答案 选择题 1.【答案】A 【解析】 试题分析:由 ( x ? 1) 2 ? 4 ,解得:-1<x<3,即 M={x|-1<x<3},∵N={-1,0,1,2,3}, ∴M∩N={0,1,2}.故选 A. 2.【答案】C 【解析】 y ?

1 ?x 在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除 A; y ? e 在 x
2

(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除 B; y ? ? x ? 1 是偶函数,且在(0,+ ∞)上为减函数,故选 C; y ? lg | x | 在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在 (0,+∞)上为增函数,故排除 D. 3.解析:选 A

MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),

设 N(x,y),则 MN =(x-5,y+6)=(-3,6),
?x-5=-3, ?x=2, ? ? 所以? 即? 选 A. ? ? ?y+6=6, ?y=0,

4.解析:选 C 命题“任意 x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分 不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为 C. 5.解析:选 B 依题意,进行第一次循环时,k=1+1=2,S=2×1+2=4;进行第二

次循环时,k=2+1=3,S=2×4+3=11;进行第三次循环时,k=3+1=4,S=2×11+4 =26;进行第四次循环时,k=4+1=5,S=2×26+5=57;进行第五次循环时,k=5+1 =6,S=2×57+6=120,此时结束循环,因此判断框内应为“k>5?”,选 B. 6.【答案】B

() 1 ? ?1 ? 0, f () 2 ? 1? 【解析】∵ f
得到函数 f ( x ) ? log 2 x ?

1 1 ? ,∴f(1)?f(2)<0.根据函数的实根存在定理 2 2

1 的一个零点落在(1,2)上故选 B. x

7.解析:选 D 设圆心 C(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2, 1 2 ? 1 1 2 即 a = b2 ,∴圆心 C ? ?4b ,b? , r = 4 b + 1 ,圆心到直线 y = x + 2 2 + 1 的距离为 d = 4

?b -b+2 2+1? 2 ?4 ? b
2 =πr2=4π.

2

1 ≤ +1,∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2.当 b=2 时,rmin= ×4+1=2,∴Smin 4 4

1 8.选 C 设 P=(x1,y1),Q=(x,y),∵m=( ,3), 2

5

1 x1 ∴m? OP =( ,3)?(x1,y1)=( ,3y1), 2 2 x1 π x1 π π ∵ OQ =m? OP +n,∴(x,y)=( ,3y1)+( ,0),∴x= + ,y=3y1,∴x1=2x- , 2 6 2 6 3 y y π y1= ,又 y1=sin x1,∴ =sin(2x- ), 3 3 3 π π ∴y=3sin(2x- ),显然当 sin(2x- )=1 时,y=f(x)取得最大值 3. 3 3 填空题 9.【答案】 (1,1) 【解析】 1 ?

1 i4 ? 1 ? ? 1 ? i ,共轭复数为1 ? i ,对应的点为 (1,1) . i3 i3

10.【解析】 :

=1.

解:∵双曲线的一个焦点在直线 l 上, 令 y=0,可得 x=5,即焦点坐标为(5,0) ,∴c=5, ∵双曲线 ﹣
2 2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线 l:x﹣2y﹣5=0,
2 2 2

∴ =2,∵c =a +b ,∴a =5,b =20,

∴双曲线的方程为

=1.故答案为:

=1.

11.【答案解析】12 解析:该几何体是两个全等的斜四棱 柱对接而成的几何体,其中每个四棱柱是底面邻边长分 别为 3, 2 的长方形,高为 1,所以该几何体的体积为:

2 ? 3 ? 2 ? 1 =12..
12.【答案】 【解析】 试题分析:由题意有

3? 3 4

2 sin

?
4

?

b

sin 3

?

,解得 b ? 3 ,又 C ?? ? A? B ?

5? ,所以 12

6

S? ?

1 ab sin C 2

1 5? 3 ? 3 ? 2 ? 3 sin . ? 2 12 4
13.解析:zmin x≥0, ? ? =-3. 作出不等式组?x+2y≥3, 表示的可行域 ? ?2x+y≤3

(如图所示的△ABC 的边界及内部).平移直线 z=x-y,易知当直线 z =x-y 经过点 C(0,3)时,目标函数 z=x-y 取得最小值,即 zmin =-3.

14.解析:观察图中编号为 4 的边,由于 6-2=5-1=4,而数字 2 已为一端点的编号, 故编号为 4 的边的左、右两端点应为 5、1,从而易知编号为 1 的边的左、右两端点应为 4、 3.考虑到图中编号为 1 的边,易知点 A 对应的数为 3,点 B 对应的数为 6.故应填 3、6、3. 答案:3、6、3 15.解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22. 又 a3· a4=117, ∴a3,a4 是方程 x2-22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
?a1+2d=9, ?a1=1, ? ? ∴? ∴? ?a1+3d=13, ?d=4. ? ?

∴通项公式 an=4n-3. n?n-1? ∴Sn=na1+ ×d=2n2-n. 2 2n2-n Sn (2)由(1)知 Sn=2n2-n,∴bn= = , n+c n+c 1 6 15 ∴b1= ,b = ,b = . 1+c 2 2+c 3 3+c ∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 即 6 1 15 ×2= + ,∴2c2+c=0, 2+c 1+c 3+c

1 1 ∴c=- 或 c=0(舍去),故 c=- . 2 2 1 16.解:(1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x= (sin 4x+cos 4x) 2 2

7



π 2 ? sin?4x+4? ?, 2

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α)= π? 2 ,所以 sin? ?4α+4?=1. 2

π ? π ?9π 17π? 因为 α∈? ?2,π?,所以 4α+4∈? 4 , 4 ?. π 5π 9π 所以 4α+ = .故 α= . 4 2 16 17.证明:(1)如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE, ∵N 是 PC 的中点,E 为 PD 的中点, 1 ∴NE∥CD,且 NE= CD, 2 1 1 而 AM∥CD,且 AM= AB= CD, 2 2 ∴NE 綊 AM, ∴四边形 AMNE 为平行四边形, ∴MN∥AE. 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又∵ABCD 为矩形,∴AD⊥CD. 而 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE.又 AE∥MN,∴MN⊥CD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD, 又∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形. 又 E 为 PD 的中点, ∴AE⊥PD,又由(1)知 CD⊥AE,PD∩CD=D, ∴AE⊥平面 PCD. 又 AE∥MN,∴MN⊥平面 PCD.

18.解:(1)补全直方图如图:

8

由直方图可知:(0.1+0.2)×1×20=6, (0.25+0.2)×1×20=9, (0.1+0.05)×1×20=3. ∴这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为 6 个、9 个、3 个. (2)由(1)知拥堵路段共有 6+9+3=18 个,按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个,每种情 6 6 6 况分别为: ×6=2, ×9=3, ×3=1,即这三个级别路段中分别抽取的个数为 2,3,1. 18 18 18 (3)记(2)中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1,A2,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1,B2,B3, 选取的 1 个严重拥堵路段为 C1, 则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2, C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共 15 种可能. 其中至少有 1 个轻度拥堵的有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共 9 种可能. 9 3 ∴所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为 = . 15 5 |c+ 6| 19.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0),则 =2 3,c+ 6=± 2 6,c= 6或 c 2 =-3 6(舍去). c 3 6 3 又离心率 = ,则 = , a 2 a 2 故 a=2 2,b= a2-c2= 2, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 8 2 7 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为 NA =- NB , 5 7 7 所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=- y2.① 5 5 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立, 于是设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0),
? ?y=kx-1, 联立方程? 2 2 ?x +4y =8. ?

消去 x 得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,② 因为 Δ>0,所以直线与椭圆相交, 2 于是 y1+y2=- 2 ,③ 4k +1

9

y1y2=

1-8k2 , ④ 4k2+1

5 7 由①③得,y2= 2 ,y1=- 2 , 4k +1 4k +1 代入④整理得 8k4+k2-9=0,k2=1,k=± 1, 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1. 20.解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x2-ax+b,
?f?0?=1, ?c=1, ? ? 由题意得? 即? ? ? ?f′?0?=0, ?b=0.

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2? 即 x∈(-2,-1)时,a<? ?x+x?max=-2 2, 2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立, x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2).

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文科答案 选择题 1.【答案】A 【解析】 试题分析:由 ( x ? 1) 2 ? 4 ,解得:-1<x<3,即 M={x|-1<x<3},∵N={-1,0,1,2,3}, ∴M∩N={0,1,2}.故选 A. 2.【答案】C 【解析】 y ?

1 ?x 在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除 A; y ? e 在 x
2

(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除 B; y ? ? x ? 1 是偶函数,且在(0,+ ∞)上为减函数,故选 C; y ? lg | x | 在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在 (0,+∞)上为增函数,故排除 D. 3.解析:选 A

MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),

设 N(x,y),则 MN =(x-5,y+6)=(-3,6),
? ? ?x-5=-3, ?x=2, 所以? 即? 选 A. ?y+6=6, ? ? ?y=0,

4.解析:选 C 命题“任意 x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分 不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为 C.

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5.解析:选 B

依题意,进行第一次循环时,k=1+1=2,S=2×1+2=4;进行第二

次循环时,k=2+1=3,S=2×4+3=11;进行第三次循环时,k=3+1=4,S=2×11+4 =26;进行第四次循环时,k=4+1=5,S=2×26+5=57;进行第五次循环时,k=5+1 =6,S=2×57+6=120,此时结束循环,因此判断框内应为“k>5?”,选 B. 6.【答案】B

() 1 ? ?1 ? 0, f () 2 ? 1? 【解析】∵ f
得到函数 f ( x ) ? log 2 x ?

1 1 ? ,∴f(1)?f(2)<0.根据函数的实根存在定理 2 2

1 的一个零点落在(1,2)上故选 B. x

7.解析:选 D 设圆心 C(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2, 1 2 ? 1 1 2 即 a = b2 ,∴圆心 C ? ?4b ,b? , r = 4 b + 1 ,圆心到直线 y = x + 2 2 + 1 的距离为 d = 4

?b -b+2 2+1? 2 ?4 ? b
2 =πr2=4π.

2

1 ≤ +1,∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2.当 b=2 时,rmin= ×4+1=2,∴Smin 4 4

1 8.选 C 设 P=(x1,y1),Q=(x,y),∵m=( ,3), 2 1 x1 ∴m? OP =( ,3)?(x1,y1)=( ,3y1), 2 2 x1 π x1 π π ∵ OQ =m? OP +n,∴(x,y)=( ,3y1)+( ,0),∴x= + ,y=3y1,∴x1=2x- , 2 6 2 6 3 y y π y1= ,又 y1=sin x1,∴ =sin(2x- ), 3 3 3 π π ∴y=3sin(2x- ),显然当 sin(2x- )=1 时,y=f(x)取得最大值 3. 3 3 填空题 9.【答案】 (1,1) 【解析】 1 ?

1 i4 ? 1 ? ? 1 ? i ,共轭复数为1 ? i ,对应的点为 (1,1) . i3 i3

10.【解析】 :

=1.

解:∵双曲线的一个焦点在直线 l 上, 令 y=0,可得 x=5,即焦点坐标为(5,0) ,∴c=5, ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线 l:x﹣2y﹣5=0,

12

∴ =2,∵c =a +b ,∴a =5,b =20,

2

2

2

2

2

∴双曲线的方程为

=1.故答案为:

=1.

11.【答案解析】12 解析:该几何体是两个全等的斜四棱 柱对接而成的几何体,其中每个四棱柱是底面邻边长分 别为 3, 2 的长方形,高为 1,所以该几何体的体积为:

2 ? 3 ? 2 ? 1 =12..
12.【答案】 【解析】 试题分析:由题意有

3? 3 4

2 sin

?
4

?

b

sin 3

?

,解得 b ? 3 ,又 C ?? ? A? B ?

5? ,所以 12

S?
?

1 ab sin C 2

1 5? 3 ? 3 ? 2 ? 3 sin . ? 2 12 4
13.解析:zmin x≥0, ? ? =-3. 作出不等式组?x+2y≥3, 表示的可行域 ? ?2x+y≤3

(如图所示的△ABC 的边界及内部).平移直线 z=x-y,易知当直线 z =x-y 经过点 C(0,3)时,目标函数 z=x-y 取得最小值,即 zmin =-3. 14.解析:观察图中编号为 4 的边,由于 6-2=5-1=4,而数字 2 已为一端点的编号, 故编号为 4 的边的左、右两端点应为 5、1,从而易知编号为 1 的边的左、右两端点应为 4、 3.考虑到图中编号为 1 的边,易知点 A 对应的数为 3,点 B 对应的数为 6.故应填 3、6、3. 答案:3、6、3 15.解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22. 又 a3· a4=117, ∴a3,a4 是方程 x2-22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,

13

? ? ?a1+2d=9, ?a1=1, ∴? ∴? ?a1+3d=13, ?d=4. ? ?

∴通项公式 an=4n-3. n?n-1? ∴Sn=na1+ ×d=2n2-n. 2 2n2-n Sn (2)由(1)知 Sn=2n2-n,∴bn= = , n+c n+c 1 6 15 ∴b1= ,b2= ,b3= . 1+c 2+c 3+c ∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 即 6 1 15 ×2= + ,∴2c2+c=0, 2+c 1+c 3+c

1 1 ∴c=- 或 c=0(舍去),故 c=- . 2 2 1 16.解:(1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x= (sin 4x+cos 4x) 2 2 = π 2 ? sin?4x+4? ?, 2

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α)= π 2 4α+ ?=1. ,所以 sin? 4? ? 2

π ? π ?9π 17π? 因为 α∈? ?2,π?,所以 4α+4∈? 4 , 4 ?. π 5π 9π 所以 4α+ = .故 α= . 4 2 16 17.证明:(1)如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE, ∵N 是 PC 的中点,E 为 PD 的中点, 1 ∴NE∥CD,且 NE= CD, 2 1 1 而 AM∥CD,且 AM= AB= CD, 2 2 ∴NE 綊 AM, ∴四边形 AMNE 为平行四边形, ∴MN∥AE. 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又∵ABCD 为矩形,∴AD⊥CD.

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而 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE.又 AE∥MN,∴MN⊥CD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD, 又∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形. 又 E 为 PD 的中点, ∴AE⊥PD,又由(1)知 CD⊥AE,PD∩CD=D, ∴AE⊥平面 PCD. 又 AE∥MN,∴MN⊥平面 PCD.

18.解:(1)补全直方图如图:

由直方图可知:(0.1+0.2)×1×20=6, (0.25+0.2)×1×20=9, (0.1+0.05)×1×20=3. ∴这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为 6 个、9 个、3 个. (2)由(1)知拥堵路段共有 6+9+3=18 个,按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个,每种情 6 6 6 况分别为: ×6=2, ×9=3, ×3=1,即这三个级别路段中分别抽取的个数为 2,3,1. 18 18 18 (3)记(2)中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1,A2,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1,B2,B3, 选取的 1 个严重拥堵路段为 C1, 则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2, C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共 15 种可能. 其中至少有 1 个轻度拥堵的有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共 9 种可能. 9 3 ∴所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为 = . 15 5 |c+ 6| 19.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0),则 =2 3,c+ 6=± 2 6,c= 6或 c 2 =-3 6(舍去).

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c 3 6 3 又离心率 = ,则 = , a 2 a 2 故 a=2 2,b= a2-c2= 2, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 8 2 7 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为 NA =- NB , 5 7 7 所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=- y2.① 5 5 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立, 于是设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0),
?y=kx-1, ? 联立方程? 2 2 ?x +4y =8. ?

消去 x 得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,② 因为 Δ>0,所以直线与椭圆相交, 2 于是 y1+y2=- 2 ,③ 4k +1 y1y2= 1-8k2 , ④ 4k2+1

5 7 由①③得,y2= 2 ,y1=- 2 , 4k +1 4k +1 代入④整理得 8k4+k2-9=0,k2=1,k=± 1, 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1. 20.解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x2-ax+b,
?f?0?=1, ?c=1, ? ? 由题意得? 即? ? ? ?f′?0?=0, ?b=0.

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2? 即 x∈(-2,-1)时,a<? ?x+x?max=-2 2, 2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立, x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2).

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