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函数奇偶性的教案


函数的奇偶性
湘教版 普通高中课程标准实验教科书《数学》必修一 新授课

一. 教材分析
《函数的奇偶性》 是湘教版普通高中必修一第一单元第三节的内 容。在此之前,学生已经学习过函数的单调性,这为过渡到本节课起 到了铺垫的作用。而且,函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它的 研究为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容起到了铺垫作用。 奇偶性的教学无论是在知识上还是在能力方面, 对学生的教育都 起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同 时又是数学美的集中体现。

二. 学情分析
学生已经学习过函数的单调性, 对于研究函数性质的方法已经有 了一定的了解。尽管他们尚不知道函数的奇偶性,但学生在初中已经 学习过图形的轴对称与中心对称, 对图形的特殊对称性已经有一定的 感性认识。在函数单调性方面,学生已经懂得了由形象到具体,然后 由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识。 高年级的学生已经具备一定的观察、分析能力,但观察的深刻性及其 稳定性还有待提高,教师在教学过程中要重视启发引导。

三. 教学目标
(1)知识与技能: 使学生了解奇偶性的概念,会利用定义判断简单函数的奇偶性。 (2)过程与方法:
1

在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察归纳能力,同时渗透 数形结合和特殊到一般的思想方法。 (3)情感态度与价值观: 在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索 的精神。

四. 教学重难点
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义。 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与步骤。

五. 教学方法
教法: 借助多媒体, 以引导发现为主, 设疑诱导为辅的教学模式, 遵循研究函数性质的三部曲。 学法:根据自主性和差异性原则,以促进学生发展为出发点,着 眼于知识的形成与发展,着眼于学生的学习体验。

六.教学用具:电脑多媒体。 七.教学过程:
(一)设计问题,创设情境 1. 复习对称概念 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念: ① 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠, 直线两侧的部分能够 互相重合; ②中心对称图形——将图形绕一个点旋转 180°,所得图形与原 图形重合.
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3 2.回顾 y ? x 2 和 y ? x 的图像,函数图像如下图:

y
O
y ? x2
3.观察判断 请同学们根据初中所学的中心对称以及轴对称分析两个函数 的图像在对称性上分别具备什么特点? 4.得出结论

x

y ? x3

y ? x 2 的图像是轴对称图形,且对称轴是 y 轴,图像关于 y
轴对称;而 y ? x 3 的图像是中心对称图形,对称中心是原点,图 像关于原点对称。 【设计意图】通过图片引起学生的兴趣,又从学生熟悉的函数入手, 顺应了学生的认知规律,激发了学生的学习兴趣。

(二)自主探索,尝试解决 其实这两个函数就是标准的奇函数以及偶函数。但哪一个是奇 函数,哪一个是偶函数呢?这我们就得先了解它的定义,再得出定 论。
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1.对奇偶函数的定义的学习 偶函数:以 y 轴为对称轴的函数。 奇函数:以原点为中心的中心对称的函数。 重点: 奇函数一定是以 y 轴为对称轴, 偶函数一定是以原点为中心。 2.借助图象,感知定义 回到原来 y ?

x 2 以及 y ? x 3 两个函数的图像,利用定义

去判定两个函数的奇偶性:

y ? x 2 的图像是关于 y 轴对称的图形,所以它是偶函数,而
y ? x 3 的图像是关于原点对称的图形,所以函数为奇函数。
【设计意图】 让学生明确奇偶函数的几何意义。

(三)信息交流,揭示规律 我们可以根据图像判断函数的奇偶性,但有些函数我们无法描 出它的图像,这时候,我们该如何判断它的奇偶性呢?无法得到函 数图像时, 我们要判断奇偶性,就要探究一下函数奇偶性所具备的 性质。 1.偶函数的性质

y ? x2

偶函数

图像关于 y 轴对称

依据:图像关于 y 轴对称,图像上任意一点关于 y 轴对称的对应 点在图像上。

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在函数 y ?

x 2 的图像上任取一个点 ?x ,f(x )?,它关于 y 轴

对称的对应点为 ?? x ,f(x )? ,因为 ?x ,f(x )?的对应点也在图像上, 所以, f (x )满足 f(x ) ? f(?x )。 而满足这个等式,意味着横坐标成相反数时,纵坐标相等,可 以得等到图像是关于 y 轴对称的图形。 总结: 偶函数: 对其定义域中的任意一个数 x , 均有 f(?x ) ? f(x )。 2.奇函数的性质

f(x ) ? x 3

奇函数

图像关于原点对称

依据:图像关于原点对称,图像上任意一点关于原点对称的对应点 在图像上。 在函数 y ?

x 3 的图像上任取一个点 ?x ,f(x )?, 它关于原点对

?f(x )? ,因为点 x ,f(x ) 的对应点也在图像上, 称的对应点为 ?? x ,

?

?

所以, ? f(x )满足 ? f(x ) ? f(?x )。 而满足这个等式, 意味着横坐标成相反数时, 纵坐标也成相反 数,可以得等到图像是关于原点对称的图形。 总结:奇函数:对其定义域中的任意一个数 x ,均有 f(?x ) ? ?f(x )。 3.解析 (1)函数的奇偶性有两种判断方法:①图像法;②解析式法。 (2)图像法:①图像关于 y 轴对称为偶函数 ②图像关于原点对称为奇函数 (3) 解析式法: ①当 f(?x ) ? f(x )时,函数为偶函数;
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②当 f(?x ) ? ?f(x )时,函数为奇函数。 重点:当 f (x )有意义的时候, f(?x )也必须有意义,否则这个 等式就不存在了,更不能判定函数的奇偶性。所以,x 的定义域关 于原点对称时,函数才可以讨论奇偶性。函数的定义域关于原点 对称是判断函数奇偶性的先决条件 【设计意图】 深化学生对奇偶性概念的理解,明确判定函数奇偶 性的方法与步骤。 强调函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于 原点对称。

(四)运用规律,解决问题 例:判断下列函数的奇偶性: 1: y 2: y

? x4 ? x2

? 4x

(x ? 0)

练习选择:第一个小题中,用解析式法判断函数的奇偶性,使学生熟 悉奇偶性判断的方法;第二个小题,函数的定义域不关于 原点对称,引起学生对定义域的注意与重视。 练习方法:有学生自行思考,再由教师指导,教师注意强调奇偶性的 判定方法。 【设计意图】及时巩固所学的新知,深化对函数奇偶性的理解。通过 例题,使学生在学习新知识的同时能加以应用,使学生体验到学习数 学过程中的成就感。
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八.回顾小结,整体感知
1.知识上: 任何一个函数是否为奇函数或者偶函数, 都可以用给定的方法判 定: ① 看它的图像是以原点为中心的中心对称图形,还是以 y 轴为对 称轴的轴对称图形。或者都不是,则不具有奇偶性。 ② 看它是满足 f(?x ) ? f(x ), 还是 f(?x ) ? ?f(x )。 又或是 哪一个都不满足,则不具有奇偶性。 2.思想上: 直观→抽象,特殊→一般, 体验了观察—归纳—猜想—严格证明 的研究方法。 【设计意图】 归纳概括本节课的所学内容,帮助学生整理各个知识 点,使学生对于本节课的内容做到条理分明,思路清晰。

九.板书设计

概念

例题

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