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2014届绵阳二诊理科数学【含答案详解】


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绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDCDA AACCB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 12.1 13.4 14. 15.②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =+sin2x =sin(2x-)+1, ???????????? 3 分 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴ f(x)的递增区间是[-+kπ,+kπ]( k∈Z). ?????????? 6 分 (II)由题意 g(x)=sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1,???? 9 分 由≤x≤得≤2x+≤, ∴ 0≤g(x)≤+1,即 g(x)的最大值为+1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 1 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= |, 2 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, 3 1 1 ∴ |q= |+q2,解得 q=1 或 q= |, ????????????????4 分 2 2 2 1 又由{an}为递减数列,于是 q= |, 2 ∴ an=a1=( 1 n |) . 2 ????????????????????6 分 1 n |) , 2

(Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?( ∴ , 于是, 两式相减得: ∴ . ∴ ≥,解得 n≤4,

∴ n 的最大值为 4. ??????????????????????12 分 18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, ∴ =0.05,解得 x=60. ??????????????????2 分
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∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720× |=72 人. ?????????? 6 分 3600 (Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有 180 人, ∴ 在所抽取的 6 人中,在校学生为=4 人,社会人士为=2 人, 于是第一组在校学生人数 ξ=1,2,3, P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, 即 ξ 的分布列为: ξ 1 2 3 ?????????????? 8 分

P
??????? 10 分 ∴ Eξ=1×+2×+3×=2. ????????????????? 12 分 19. (I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF, BH,BG, ∵ EF∥CD 且 EF=CD, ∴ AG∥CD, 即点 G 在平面 ABCD 内. 由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥AG, ∴ 四边形 AEFG 为正方形, CDAG 为 平 行 四 边 x G F H H H A D y z E 连结 EG 交 AF 于 H,连结

B

C

形, ???????????????????? 2 分 ∴ H 为 EG 的中点,B 为 CG 中点, ∴ BH∥CE, ∴ CE∥面 ABF.???????????????????????? 4 分 (Ⅱ)证明:∵ 在平行四边形 CDAG 中,∠ADC=90?, ∴ BG⊥AG. 又由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥BG, ∴ BG⊥面 AEFG, ∴ BG⊥AF.?????????????????????????? 6 分 又∵ AF⊥EG, ∴ AF⊥平面 BGE, ∴ AF⊥BE.?????????????????????????? 8 分 (Ⅲ)解:如图,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AE 为 y 轴,AD 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设 M(1,y0,0), ∴ , , 设面 EMD 的一个法向量, 则 令 y=1,得, ∴ .?????????????????????? 10 分 又∵ , ∴ 为面 AMD 的法向量, ∴ ,
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解得, 故在 BC 上存在点 M,且|CM|=||=.?????????12 分 20.解: (I)设椭圆的标准方程为(a>b>0),焦距为 2c, 则由题意得 c=, , ∴ a=2,=1, ∴ 椭圆 C 的标准方程为. 设抛物线 E 的标准方程为, ∴ , ∴ 抛物线 E 的标准方程为. ???????????????? 6 分 (Ⅱ)设 l1 的方程: ,l2 的方程, , , , , 由 消去 y 得: , ∴ x1+x2=2+,x1x2=1. 由 消去 y 得:x2-(4k2+2)x+1=0, ∴ x3+x4=4k2+2,x3x4=1,????????????????????9 分 ∴ = =||· ||+||· || =|x1+1|· |x2+1|+|x3+1|· |x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+ ≥8+ =16. 当且仅当即 k=± 1 时,有最小值 16.????????13 分 21.解: (I)∵时, , ∴ . 由题意,≥0 在上恒成立, 当 a=0 时,>0 恒成立,即满足条件. 当 a≠0 时,要使≥0,而 ex>0 恒成立, 故只需≥0 在上恒成立,即 解得 a<0. 综上,a 的取值范围为 a≤0.?????????????????? 4 分 (Ⅱ)由题知 f(x)≤x+1 即为-≤x+1. ①在 x≥0 时,要证明-≤x+1 成立, 只需证≤,即证 1≤, 令,得, 整理得, ∵ x≥0 时,≤1,结合 a≥1,得≥0, ∴ 为在上是增函数,故 g(x)≥g(0)=1,从而①式得证. ②在 x≤0 时,要使-≤x+1 成立, 只需证≤,即证 1≤, 令,得,
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??????????????? 4 分

∴ 右顶点 F 的坐标为(1,0).





而在 x≤0 时为增函数, 故≤≤0,从而≤0, ∴ m(x)在 x≤0 时为减函数,则 m(x)≥m(0)=1,从而②式得证. 综上所述,原不等式-≤x+1 即 f(x)≤x+1 在 a≥1 时恒成立.?10 分 (Ⅲ)要使 f(x0)>x0+1 成立,即, 变形为, ③ 要找一个 x0>0 使③式成立,只需找到函数的最小值,满足即可. ∵ , 令得,则 x=-lna,取 x0=-lna, 在 0< x <-lna 时, ,在 x >-lna 时, , 即 t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数, ∴ 当 x=-lna 时,取得最小值 下面只需证明:在时成立即可. 又令, 则≥0,从而在(0,1)上是增函数, 则,从而,得证. 于是的最小值, 因此可找到一个常数,使得③式成立.??????14 分

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