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高中数学北师大版选修1-2学案:章末分层突破4 Word版含解析


章末分层突破

[自我校对] ①-1 ②a=c,b=d ③ z =a-bi ④Z(a,b) ⑤O→ Z ⑥a+c ⑦(b+d)i ⑧(a-c)+(b-d)i

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复数的概念 正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚

数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. 两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义. 复数 z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当 x 为何实数时, (1)z∈R;(2)z 为虚数. 【精彩点拨】 【规范解答】
2

根据复数的分类列方程求解. (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0, ① ②

?x -3x-3>0, 所以?log2?x-3?=0, ?x-3>0, ③
所以当 x=4 时,z∈R.

由②得 x=4,经验证满足①③式.

(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0,

?x -3x-3>0, 所以?log2?x-3?≠0, ?x-3>0, ③
由①得 x>

2

① ②

3+ 21 3- 21 或 x < 2 2 .

由②得 x≠4,由③得 x>3. 所以当 x> 3+ 21 2 且 x≠4 时,z 为虚数.

[再练一题] 1.设 i 是虚数单位,若复数 a- A.-3 C.1 10 (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( 3-i B.-1 D.3 )

(2) 设复数 z 满足 i(z + 1) =- 3 + 2i(i 是虚数单位 ) ,则复数 z 的实部是 __________. 【解析】 (1)因为 a- 10?3+i? 10?3+i? 10 =a- =a- 10 =(a-3)-i,由纯 3-i ?3-i??3+i?

虚数的定义,知 a-3=0,所以 a=3.

(2)法一:设 z=a+bi(a,b∈R), 则 i(z+1)=i(a+bi+1)=-b+(a+1)i=-3+2i. ?-b=-3, ?a=1, 由复数相等的充要条件,得? 解得? ?a+1=2, ?b=3. 故复数 z 的实部是 1. 法二:由 i(z+1)=-3+2i,得 z+1= z 的实部是 1. 【答案】 (1)D (2)1 复数的四则运算 复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,注意把 i 看作一个字母(i2=- 1),除法运算注意应用共轭的性质 z·z 为实数. z - - (1)设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数. 若 z=1+i, 则 i +i· z =( ) A.-2 C.2 B.-2i D.2i ) -3+2i =2+3i,故 z=1+3i,即复数 i

(2)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( A.2+3i C.3+2i 【精彩点拨】

B.2-3i D.3-2i z (1)先求出 z 及 i ,结合复数运算法则求解.

(2)利用方程思想求解并化简. z 1+i -i +i z - 【规范解答】 (1)∵z=1+i, ∴- z =1-i, = = = 1 - i , ∴ i i i i +i·z =1-i+i(1-i)=(1-i)(1+i)=2.故选 C. (2)由(z-2i)(2-i)=5,得 z=2i+ 【答案】 [再练一题] (1)C (2)A 5?2+i? 5 =2i+ =2i+2+i=2+3i. 2-i ?2-i??2+i?
2

2.已知(1+2i) z =4+3i,则 3 4 A.5+5i 3 4 C.-5+5i 【解析】

z z

的值为(

)

3 4 B.5-5i 3 4 D.-5-5i 因为(1+2i) z =4+3i,所以 z = z 4+3i ?4+3i??1-2i? = =2-i, 5 1+2i

2+i ?2+i?2 3 4 所以 z=2+i,所以 = = 5 =5+5i. z 2-i 【答案】 A 复数的几何意义 1.复数的几何表示法:即复数 z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点 Z(a, b)来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或 不等式(组)求解. 2.复数的向量表示:以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的 复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数 要改变. (1)在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 (2)在复平面内,复数 A.(0,-1) 3? ?4 C.?5,-5? ? ? 【精彩点拨】 【规范解答】 i 对应的点位于( 1+i B.第二象限 D.第四象限 1-2i 对应的点的坐标为( 2+i B.(0,1) ?4 3? D.?5,5? ? ? 先把复数 z 化为复数的标准形式,再写出其对应坐标. (1)复数 i?1-i? 1+i 1 1 i = = 2 =2+2i. 1+i ?1+i??1-i? ) )

?1 1? ∴复数对应点的坐标是?2,2?. ? ?

∴复数 (2)∵

i 在复平面内对应的点位于第一象限.故选 A. 1+i

1-2i ?1-2i??2-i? -5i = = 5 =-i,其对应的点为(0,-1),故选 A. 2+i ?2+i??2-i? (1)A (2)A

【答案】 [再练一题]

3.(1)已知复数 z 对应的向量如图 41 所示,则复数 z+1 所对应的向量正确 的是( )

图 41

(2)若 i 为虚数单位,图 42 中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 点是( )

z 的 1+i

图 42 A.E C.G 【解析】 B.F D.H (1)由题图知,z=-2+i,∴z+1=-2+i+1=-1+i,故 z+1

对应的向量应为选项 A. (2)由题图可得 z=3+i, 所以 3+i ?3+i??1-i? 4-2i z = = = 2 =2-i, 则其在 1+i 1+i ?1+i??1-i?

复平面上对应的点为 H(2,-1). 【答案】 (1)A (2)D 转化与化归思想

一般设出复数 z 的代数形式,即 z=x+yi(x,y∈R),则涉及复数的分类、几 何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题,都可以转化为实数 x,y 应满 足的条件,即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法. 1 1 设 z∈C,满足 z+ z ∈R,z-4是纯虚数,求 z. 【精彩点拨】 【规范解答】 本题关键是设出 z 代入题中条件进而求出 z. 设 z=x+yi(x,y∈R),则

x ? ? y ? 1 1 ? z+ z =x+yi+ =?x+x2+y2?+?y-x2+y2?i, x+yi ? ? ? ? 1 ∵z+ z ∈R,∴y- y =0,解得 y=0 或 x2+y2=1, x +y2
2

1 1 ? 1? 又∵z-4=x+yi-4=?x-4?+yi 是纯虚数. ? ? 1 ? ?x- =0, ∴? 4 ? ?y≠0, 1 15 ∴x=4,代入 x2+y2=1 中,求出 y=± 4 , 1 15 ∴复数 z=4± 4 i. [再练一题] 5 4.满足 z+ z 是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在?若 存在,求出虚数 z;若不存在,请说明理由. 【解】 设虚数 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),

5y ? 5 5 5x ? 则 z+ z =x+yi+ =x+ 2 2+?y-x2+y2?i,z+3=x+3+yi.由已知, x+yi x +y ? ? 5y ? ?y- 2 2=0, 得? x +y ? ?x+3=-y, 因为 y≠0,
2 2 ?x +y =5, ?x=-1, ?x=-2, 所以? 解得? 或? ?x+y=-3, ?y=-2 ?y=-1.

所以存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足题设条件.

1.(2016· 全国卷Ⅱ)设复数 z 满足 z+i=3-i,则 z =( A.-1+2i C.3+2i 【解析】 【答案】 B.1-2i D.3-2i

)

由 z+i=3-i 得 z=3-2i,∴ z =3+2i,故选 C. C )

2.(2015· 广东高考)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z =( A.2-3i C.3+2i 【解析】 【答案】 B.2+3i D.3-2i ∵z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴ z =2-3i. A

3.(2015· 山东高考)若复数 z 满足 A.1-i C.-1-i 【解析】 【答案】

=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i B.1+i D.-1+i

z

)

由已知得 z =i(1-i)=i+1,则 z=1-i,故选 A. A

4.(2016· 全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a =( ) A.-3 C.2 【解析】 =-3,故选 A. 【答案】 A 1+2i =( 2-i ) B.1+i B.-2 D.3 (1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知 a-2=1+2a,解得 a

5.(2016· 北京高考)复数 A.i

C.-i 【解析】 【答案】

D.1-i 1+2i ?1+2i??2+i? 5i = = =i. 2-i ?2-i??2+i? 5 A )

6.(2016· 四川高考)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( A.0 C.2i 【解析】 【答案】 (1+i)2=1+2i+i2=2i. C B.2 D.2+2i

7.(2016· 天津高考)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 ________. 【解析】 【答案】 因为(1+i)z=2,所以 z= 1 2 =1-i,所以其实部为 1. 1+i

8.(2016· 江苏高考)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部 是________. 【解析】 5. 【答案】 5 章末综合测评(四) 数系的扩充与复数的引入 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a,b∈C,下列命题正确的是( A.3i<5i C.若|a|=|b|,则 a=± b ) 因为 z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i,所以 z 的实部是

B.a=0?|a|=0 D.a2≥0

【解析】 A 选项中,虚数不能比较大小;B 选项正确;C 选项中,当 a,b 1 ? 1 3? ∈R 时,结论成立,但在复数集中不一定成立,如|i|=?- + i?,但 i≠-2+ ? 2 2 ? 3 1 3 i 或 - 2 2 2 i;D 选项中,当 a∈R 时结论成立,但在复数集中不一定成立,如

i2=-1<0. 【答案】 B i 的虚部是( 1+i ) 1 B.-2i 1 D.-2 i?1-i? 1+i 1 1 i = = 2 =2+2i. 1+i ?1+i??1-i? C ) B.2 D.1 由 2?1-i? 2-2i 2 = = 2 =1-i, 1+i ?1+i??1-i?

2.i 是虚数单位,则 1 A.2i 1 C.2 【解析】 【答案】 ? 2 ? 3.?1+i?=( ? ? A.2 2 C. 2 【解析】

? 2 ? ∴?1+i?=|1-i|= 2.故选 C. ? ? 【答案】 C )

4. z 是 z 的共轭复数. 若 z+ z =2, (z- z )i=2(i 为虚数单位), 则 z=( A.1+i C.-1+i B.-1-i D.1-i

【解析】 法一:设 z=a+bi,a,b 为实数,则- z =a-bi,∵z+- z =2a= 2,∴a=1.又(z-- z )i=2bi2=-2b=2, ∴b=-1.故 z=1-i. 2 法二:∵(z-- z )i=2,∴z-- z = i =-2i.又 z+- z =2, ∴(z-- z )+(z+- z )=-2i+2,∴2z=-2i+2, ∴z=1-i. 【答案】 D

5.复数

i 的共轭复数为( 1-i

) 1 1 B.2+2i 1 1 D.-2-2i

1 1 A.-2+2i 1 1 C.2-2i 【解析】 ∵

i?1+i? -1+i i 1 1 = = 2 =-2+2i, 1-i ?1-i??1+i?

1 1 ∴其共轭复数为-2-2i.故选 D. 【答案】 D 2 的四个命题: -1+i

6.下面是关于复数 z= p1:|z|=2; p2:z2=2i;

p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 【解析】 ∵z= 2 =-1-i, -1+i ) B.p1,p2 D.p3,p4

∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题为 p2,p4. 【答案】 C

7.复平面上平行四边形 ABCD 的四个顶点中,A,B,C 所对应的复数分别 为 2+3i,3+2i,-2-3i,则 D 点对应的复数是( A.-2+3i )

B.-3-2i

C.2-3i

D.3-2i 2+?-2? 3+x ? ? 2 = 2 , 设 D(x, y), 由平行四边形对角线互相平分得? 3+?-3? 2+y ? ? 2 = 2 ,

【解析】

?x=-3, ∴? ?y=-2, ∴D(-3,-2),∴对应复数为-3-2i. 【答案】 B )

8.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( A.a=-1 C.a≠-1 【解析】 B.a≠-1 且 a≠2 D.a≠2 要使复数不是纯虚数,则有

2 ?a -a-2≠0, ? ?|a-1|-1≠0,

解得 a≠-1. 【答案】 C ) 【导

9. 若 a, b∈R, 则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i 对应的点在( 学号:67720027】 A.第一象限 C.第三象限 【解析】 B.第二象限 D.第四象限

复数对应点的坐标为(a2-6a+10,-b2+4b-5),

又∵a2-6a+10=(a-3)2+1>0, -b2+4b-5=-(b-2)2-1<0. ∴复数对应的点在第四象限.故选 D. 【答案】 D )

10.如果复数 z=3+ai 满足条件|z-2|<2,那么实数 a 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) C.(-1,1) B.(-2,2) D.(- 3, 3)

【解析】 因为|z-2|=|3+ai-2|=|1+ai|= 1+a2<2,所以 a2+1<4,所以

a2<3,即- 3<a< 3. 【答案】 D )

11. 若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根, 则( A.b=2,c=3 C.b=-2,c=-1 B.b=-2,c=3 D.b=2,c=-1

【解析】 因为 1+ 2i 是实系数方程的一个复数根,所以 1- 2i 也是方程 的根,则 1+ 2i+1- 2i=2=-b,(1+ 2i)(1- 2i)=3=c,解得 b=-2,c =3. 【答案】 B )

12.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z2≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 【解析】 设 z=a+bi(a,b∈R),

?ab=0, 选项 A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则? 2 故 b=0 或 a,b 都为 2 ?a ≥b , 0,即 z 为实数,正确. ?ab=0, ?a=0, 选项 B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,则? 2 2 则? 故 z 一定 ?a <b , ?b≠0, 为虚数,正确. 选项 C,若 z 为虚数,则 b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi, 由于 a 的值不确定,故 z2 无法与 0 比较大小,错误. ?a=0, 选项 D,若 z 为纯虚数,则? 则 z2=-b2<0,正确. ?b≠0, 【答案】 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横 线上) 13.(2015· 重庆高考)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)= ________.

【解析】 【答案】

∵|a+bi|= a2+b2= 3,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3. 3

?a+i? ?=2,则 a=__________. 14.a 为正实数,i 为虚数单位,? ? i ? 【解析】 a+i ?a+i?· ?-i? = =1-ai, i i· ?-i?

?a+i? ?=|1-ai|= a2+1=2,所以 a2=3. 则? ? i ? 又 a 为正实数,所以 a= 3. 【答案】 3 11-7i (i 为虚数单位),则 a+b 的值为__________. 1-2i

15.设 a,b∈R,a+bi= 【解析】 a+bi=

11-7i ?11-7i??1+2i? 25+15i = = 5 =5+3i,依据复数相等 1-2i ?1-2i??1+2i?

的充要条件可得 a=5,b=3. 从而 a+b=8. 【答案】 8

16.若复数 z 满足|z-i|≤ 2(i 为虚数单位),则 z 在复平面内所对应的图形 的面积为________. 【解析】 设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z-i|≤ 2可得 x2+?y-1?2≤ 2,即 x2+(y-1)2≤2,它表示以点(0,1)为圆心, 2为半径的圆及其内部,所以 z 在复 平面内所对应的图形的面积为 2π. 【答案】 2π

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算: 2+2i ? 2 ?2 016 ? (1)( 2+ 2i)2(4+5i);(2) +? . ?1-i?2 ?1+i? 【解】 (1)( 2+ 2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)

=4i(4+5i)=-20+16i.

(2) =

2+2i ? 2 ?2016 ? +? ?1-i?2 ?1+i?

2+2i ? 2 ?1 008 ?1? +?2i? =i(1+i)+? i ?1 008 ? ? ? ? -2i

=-1+i+(-i)1 008=-1+i+1=i. 18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 关 于 x , y 的 方 程 组

??2x-1?+i=y-?3-y?i,① ? 有实数解,求实数 a,b 的值. ??2x+ay?-?4x-y+b?i=9-8i,② 5 ? ?x= , ?2x-1=y, 由①得? 解得? 2 ?y-3=1, ? ?y=4,

【解】

将 x,y 代入②得(5+4a)-(6+b)i=9-8i, ?5+4a=9, 所以? ?-?6+b?=-8, 所以 a=1,b=2. 19.(本小题满分 12 分)实数 k 为何值时,复数 z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i 是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0. 【解】 (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,z 是实数.

(2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数.
2 ?k -3k-4=0, (3)当? 2 即 k=4 时,z 是纯虚数. ?k -5k-6≠0, 2 ?k -3k-4=0, (4)当? 2 即 k=-1 时,z 是 0. ?k -5k-6=0,

20.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 【解】 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2

=2 且 2ab=2,解得 a=b=1 或 a=b=-1,所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i,所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所 以 S△ABC=1.

当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以 A(-1,-1),B(0,2),C(- 1,-3),所以 S△ABC=1. 21. (本小题满分 12 分)已知复数 z1= 5i, z2= 2- 3i, z3=2-i, z4=- 5 在复平面上对应的点分别是 A,B,C,D. 【导学号:67720028】 (1)求证:A,B,C,D 四点共圆; → =2 AP → ,求点 P 对应的复数. (2)已知AB 【解】 (1)证明:∵|z1|=|z2|=|z3|=|z4|= 5,

即|OA|=|OB|=|OC|=|OD|, ∴A,B,C,D 四点都在圆 x2+y2=5 上,即 A,B,C,D 四点共圆. (2)∵A(0, 5),B( 2,- 3), → =( 2,- 3- 5). ∴AB → =(x,y- 5), 设 P(x,y),则AP → =2 AP → ,那么( 2,- 3- 5)=(2x,2y-2 5), 若AB ? 2=2x, ∴? ?- 3- 5=2y-2 5, 2 ? ?x= 2 , 解得? 5- ? ?y= 2

3



5- 3 2 ∴点 P 对应的复数为 2 + 2 i. 22.(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点,已知向量 O→ Z 1,O→ Z 2 分别对应复 3 2 数 z1,z2,且 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,a∈R.若 z 1+z2 可以与 a+5 1-a 任意实数比较大小,求 O→ Z 1· O→ Z 2 的值. 【解】 由题意,得 z 1= 3 -(10-a2)i, a+5

3 2 则 z 1+z2= -(10-a2)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

2 ? ? 3 =?a+5+1-a?+(a2+2a-15)i. ? ? 因为 z 1+z2 可以与任意实数比较大小, 所以 z 1+z2 是实数, 所以 a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 3 又因为 a+5≠0,所以 a=3,所以 z1=8+i,z2=-1+i. ?3 ? 所以 O→ Z 1=?8,1?,O→ Z 2=(-1,1). ? ? 3 5 所以 O→ Z 1· O→ Z 2=8×(-1)+1×1=8. 模块综合测评 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015· 湖北高考)i 为虚数单位,i607 的共轭复数 为( .... A.i C.1 【解析】 【答案】 B.-i D.-1 因为 i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共轭复数为 i,故选 A. A ) )

2.根据二分法求方程 x2-2=0 的根得到的程序框图可称为( A.工序流程图 C.知识结构图 B.程序流程图 D.组织结构图

【解析】 由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成,故该程序框图称 为程序流程图. 【答案】 B )

3.下列框图中,可作为流程图的是(

A. 整数指数幂 → 有理指数幂 → 无理指数幂 B. 随机事件 → 频率 → 概率 C. 入库 → 找书 → 阅览 → 借书 → 出库 → 还书

D. 推理 图像与性质 定义 【解析】 【答案】 流程图具有动态特征,只有答案 C 符合. C

4. (2016· 安庆高二检测)用反证法证明命题“a, b∈N, 如果 ab 可被 5 整除”, 那么 a,b 至少有一个能被 5 整除.则假设的内容是( A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a 不能被 5 整除 D.a,b 有一个不能被 5 整除 【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”,故应假设“a,b 都 )

不能被 5 整除”. 【答案】 B

5.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整 数是真分数”结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 )

B.小前提错误 D.非以上错误

【解析】 一般的演绎推理是三段论推理:大前提——已知的一般原理;小 前提——所研究的特殊情况; 结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断.此 题的推理不符合上述特征,故选 C. 【答案】 C 2i 在复平面内所对应的点位于 1-i

6. (2015· 安徽高考)设 i 是虚数单位, 则复数 ( ) A.第一象限 C.第三象限 【解析】

B.第二象限 D.第四象限

2i?1+i? 2?i-1? 2i = = 2 =- 1+ i ,由复数的几何意义知- 1 1-i ?1-i??1+i?

+i 在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限,故选 B. 【答案】 B

7.考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据:

种子处理 得病 不得病 总计 根据以上数据,则( ) 32 61 93

种子未处理 101 213 314

总计 133 274 407

A.种子经过处理跟是否生病有关 B.种子经过处理跟是否生病无关 C.种子是否经过处理决定是否生病 D.以上都是错误的 【解析】 【答案】 32 101 计算93与314可知相差很小,故选 B. B

8.给出下面类比推理: ①“若 2a<2b,则 a<b”类比推出“若 a2<b2,则 a<b”; a+b a b ②“(a+b)c=ac+bc(c≠0)”类比推出“ c = c+ c(c≠0)”; ③“a,b∈R,若 a-b=0,则 a=b”类比推出“a,b∈C,若 a-b=0, 则 a=b”; ④“a,b∈R,若 a-b>0,则 a>b”类比推出“a,b∈C,若 a-b>0,则 a>b(C 为复数集)”. 其中结论正确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

【解析】 ①显然是错误的;因为复数不能比较大小,所以④错误,②③正 确,故选 B. 【答案】 B

9.(2015· 全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图 1,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( )

图1 A.5 C.7 【解析】 B.6 D.8 逐次运行程序,直至输出 n.

1 1 运行第一次:S=1- = =0.5,m=0.25,n=1,S>0.01; 2 2 运行第二次:S=0.5-0.25=0.25,m=0.125,n=2,S>0.01; 运行第三次:S=0.25-0.125=0.125,m=0.062 5,n=3,S>0.01; 运行第四次:S=0.125-0.062 5=0.062 5,m=0.031 25,n=4,S>0.01; 运行第五次:S=0.031 25,m=0.015 625,n=5,S>0.01; 运行第六次:S=0.015 625,m=0.007 812 5,n=6,S>0.01; 运行第七次:S=0.007 812 5,m=0.003 906 25,n=7,S<0.01. 输出 n=7.故选 C. 【答案】 C )

10.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a33 为( A.3 C.6 【解析】 B.-3 D.-6

a1=3,a2=6,a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=

-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,?,

观察可知{an}是周期为 6 的周期数列,故 a33=a3=3. 【答案】 A

11.(2016· 大同高二检测)设 a,b,c 均为正实数,P=a+b-c,Q=b+c- a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于 0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【解析】 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

必要性显然成立;PQR>0,包括 P,Q,R 同时大于 0,或其中

两个为负两种情况.假设 P<0,Q<0,则 P+Q=2b<0,这与 b 为正实数矛盾.同 理当 P,R 同时小于 0 或 Q,R 同时小于 0 的情况亦得出矛盾,故 P,Q,R 同时 大于 0,所以选 C. 【答案】 C

12. 有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据如下 表: 平均气温/℃ 销售额/万元 -2 20 -3 23 -5 27 -6 30

根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y 与平均气温 x 之间线性回 归方程 y=bx+a 的系数 b=-2.4,则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为 ( ) A.34.6 万元 C.36.6 万元 【解析】 y= x= B.35.6 万元 D.37.6 万元 -2-3-5-6 =-4, 4

20+23+27+30 =25, 4

所以这组数据的样本中心点是(-4,25). 因为 b=-2.4, 把样本中心点代入线性回归方程得 a=15.4, 所以线性回归方程为 y=-2.4x+15.4. 当 x=-8 时,y=34.6.故选 A. 【答案】 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横

线上) 13.已知复数 z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若 z 是实数,则 m 的值为 ________. 【解析】 z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,

∴m2-m=0,∴m=0 或 1. 【答案】 0或1

14. 在平面几何中, △ABC 的∠C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比|AE|∶ |EB|=|AC|∶|CB|(如图 2①), 把这个结论类比到空间, 如图 2②, 在三棱锥 A?BCD 中 , 平 面 CDE 平 分 二 面 角 A?CD?B 且 与 AB 相 交 于 E , 结 论 是 __________________.

图2 【解析】 依平面图形与空间图形的相关元素类比, 线段之比类比面积之比. 【答案】 S△ACD∶S△BCD=AE2∶EB2

15.(2015· 山东高考)执行下边的程序框图 3,若输入的 x 的值为 1,则输出 的 y 的值是________.

图3 【解析】 当 x=1 时,1<2,则 x=1+1=2;当 x=2 时,不满足 x<2,则

y=3×22+1=13. 【答案】 13

16.(2016· 江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中,有

a11+a12+?+a20 = 10

a1+a2+?+a30 ,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论________. 【导学号: 30 67720029】 【解析】 10 b11b12?b20= 【答案】 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 , b1b30 = b2b29 = ? = b11b20 , ∴ 30 10 b1b2?b30. b11b12?b20= 30 b1b2?b30

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(2016· 哈尔滨高二检测)设 z= 求|z|. 【解】 ∴|z|= z= 1+i-4i+4+2+4i 7+i = , 3+4i 3+4i ?1-4i??1+i?+2+4i , 3+4i

|7+i| 5 2 = 5 = 2. |3+4i|

18.(本小题满分 12 分)给出如下列联表: 患心脏病 高血压 不高血压 总计 20 30 50 患其他病 10 50 60 总计 30 80 110

由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系? (参考数据:P(χ2≥6.635)=0.010,P(χ2≥7.879)=0.005) 【解】
2

由列联表中数据可得

110×?20×50-10×30?2 χ= ≈7.486. 30×80×50×60 又 P(χ2≥6.635)=0.010, 所以在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下, 认为高血压与患心脏病有关系. 19.(本小题满分 12 分)已知 a2+b2=1,x2+y2=1,求证:ax+by≤1(分别

用综合法、分析法证明). 【证明】 综合法:∵2ax≤a2+x2,2by≤b2+y2,

∴2(ax+by)≤(a2+b2)+(x2+y2). 又∵a2+b2=1,x2+y2=1, ∴2(ax+by)≤2,∴ax+by≤1. 分析法: 要证 ax+by≤1 成立, 只要证 1-(ax+by)≥0, 只要证 2-2ax-2by≥0, 又∵a2+b2=1,x2+y2=1, ∴只要证 a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0, 即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立. 20.(本小题满分 12 分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为:首 先受理产品请求, 如果是由公安部发证的产品, 则审核考察, 领导复核, 不同意, 则由窗口将信息反馈出去,同意,则报公安部审批,再经本省公安消防局把反馈 信息由窗口反馈出去.如果不是由公安部发证的产品,则由窗口将信息反馈出 去.试画出此监督程序的流程图. 【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下:

21. (本小题满分 12 分)某产品的广告支出 x(单位: 万元)与销售收入 y(单位: 万元)之间有下表所对应的数据: 广告支出 x(单位:万元) 销售收入 y(单位:万元) 1 12 2 28 3 42 4 56

(1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的线性回归方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 【解】 (1)散点图如图:

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下列表格,以备计 算 a,b. i 1 2 3 4 5 69 于是 x = , y = , 2 2 x- y ?xiyi-4- -2 x2 i -4 x i=1
4

xi 1 2 3 4

yi 12 28 42 56

xi2 1 4 9 16

xiyi 12 56 126 224

i=1

代入公式得:b=

?

4



5 69 418-4×2× 2 ?5? 30-4×?2?2 ? ?

73 =5,

69 73 5 a= y -b x = 2 - 5 ×2=-2. 73 故 y 与 x 的线性回归方程为 y= 5 x-2. 73 (3)当 x=9 万元时,y= 5 ×9-2=129.4(万元). 所以当广告费为 9 万元时,可预测销售收入约为 129.4 万元. 22.(本小题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图 4①,②, ③,④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形 数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个

图形包含 f(n)个小正方形.

图4 (1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式, 并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 (1)f(5)=41.

【解】

(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n?f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2) +4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, 1 1 = f?n?-1 2n?n-1?

1? 1? 1 =2?n-1-n?, ? ? ∴ 1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 =1+2·

1 1 1 1 1 1 1? ? ?1-2+2-3+3-4+?+n-1-n? ? ? 1? 3 1 1? =1+2?1-n?=2-2n. ? ?


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