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2012高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1


§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算

学习目标 1.理解n次方根及根式的概念. 2 .理解分数指数幂的含义,掌握根式与分 数指数幂的互化. 3.掌握有理数指数幂的运算性质.

课前自主学案

2.1.1

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 平方根 ; 1. 如果 x2=a, 那么 x 叫做 a 的 ________ 如果 x3=a, 那么 x 叫做 a 的_________ 立方根 ,它们有如下运算性质: ? a≥ 0 ?a, 2 a (a≥0); (1) a = |a|=? ; (2)( a)2=__ ?- a, a<0 ?
3 a a (3) a = ___; (4)( a) =___.

3

3

3

2.初中学习过的整数指数幂 an(n∈ N*)表示的意 义为 n个a相乘,即 a· a· a· …· a=an(n∈N*);正整 数 n个 a 指数幂具有以下性质: (1)am· an=______ (m,n∈N*); am+n

(2)(am)n=_____ am n (m,n∈N*);
(3)(ab)n=_____ anbn (n∈N*).

知新益能
1.方根 xn=a ,那么 x 叫做 a 的 n 次 (1)方根的定义:如果 ________ n>1,且n∈N* 方根,其中 _______________. n 0= 0 ; 0, (2)方根的性质: ① 0 的任何次方根都是 __ 记作______ n a ,并 ②当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根,记作 _____ n n a> 0 ; a<0 时, ________ a< 0 ; 且有 a>0 时,______

两个 ,它 ③当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根有______ n 相反数 ;其中正的 n 次方根用符号____ a表 们互为________ n a 表示.因此,正数 示;负的 n 次方根用符号- ______ n ± a(a>0) ; a 的偶次方根合并写成____________ 偶次 方根. ④负数没有______

2.根式 n a 叫做根式,这里 n 叫做 (1)根式的定义:式子 _____ 根指数 , a 叫做 ____________ 被开方数. ________

a (n>1,且 n∈ N*); (2)根式的性质:① ( a)n= ___
②当 n 为奇数时, a = ___ a ; 当 n 为偶数时, n
? ?a, a = |a|=? ?- a, ?
n

n

n

n

?a≥ 0? ? a< 0?

.

3.分数指数幂

n m (1)正数的正分数指数幂的意义是: a n = ______( a>0, m, a 1 * n∈ N ,且 n>1). m n m - a (2)正数的负分数指数幂的意义是:a n = ______ (a>0,
m

m, n∈ N*,且 n>1). 没有意义. (3)0 的正分数指数幂是 __,0 0 的负分数指数幂__________

问题探究
1.根式一定是无理式吗?
提示:根式不一定为无理式,如 a+1为无 理式,而 ?x+1? 2= |x+1|为有理式.

2.a8= a2成立吗?
4 1

4

1

提示: 不一定.当 a≥ 0 时,a8= a2成立;当 a<0 时, a 8有意义,而 a2无意义,a8=a2不成立,故分数指数 幂不能随便约分.
4 1 4 1

课堂互动讲练

考点突破 根式的化简与求值
对于根式 a的化简与求值是指对 a 开 n 次方或者利用性质把根指数减小. n

例1

化简下列各式: 5 6 4 7 ?- 2?5; ?3- π?6; ?x+2? 4; ?x-7? .
7

(1) (2) (3) (4)

【思路点拨】 解答本题可依据根式的性质 n
? ?|a| n为大于 1的偶数 a =? ,完成化简. ? ?a n为大于 1的奇数
n

【解】 (2) 6

(1)
6

5

?- 2? =- 2. 6
6

5

?3- π? = ? π- 3? = π- 3. ? ?x≥- 2? 4 ?x+ 2 4 (3) ?x+ 2? = |x+ 2|=? . ?- x- 2 ?x<- 2? ? (4) 7 ?x- 7? =x-7.
n
n

7

【名师点拨】 对于形如 a 的化简要分清 n 的 奇偶性及 a 的正负.

根式与分数指数幂的转化与应用 根式参与其它代数式的计算时,往往需要转化 为分数指数幂的形式.
(1)化简: xy · xy · xy· (xy) (xy≠ 0); 0 1 2 ? - 4 ? 1 - (2)计算:2 2+ + - ?1- 5?0· 83. 2 2- 1
例2

3

2

-1

-1

【思路点拨】 先化简各个分数指数幂,然 后再进行四则运算.

【解】
1 2

(1)原式=[xy · (xy )2] 3· (xy) 2· (xy)
1


2

-1

1 1

1

-1

= x3· y 3|x|6|y| 6· |x| 2· |y |
? ?1 = x3· |x| 3=? ? ?- 1
1


1



1



1 2

1

x>0 x< 0

.

1 1 (2)原式= + + 2+1-22= 2 2- 3. 2 2

【名师点拨】 根式化为分数指数幂时,从 里向外,依次转化.

自我挑战 1 (a,b>0).

3 2 -3 化简:(a2· b ) ÷
1

b

-4

a

-2

解:原式= (a2· b 3) ÷ [b (a )2]2 = a 2· b ÷ (b · a 2) =a
- + -

1

2

-3

-4

-2

1 1

3

-2

-2



1

3 1

b 2 2·
0

- 2+ 2

1 =a · b= . a
-1

关于指数幂的条件求值 由给出的一个或几个有关指数幂形式的已 知等式,通过代数运算求其它形式的指数 幂的代数式的值.

例3

已知 a2+ a 2= 3,求下列各式的值:


1



1

(1)a+a 1; -2 2 (2)a +a ;
3 3


a2- a 2 (3) 1 1. - a2- a 2
【思路点拨】 解答本题可从总体上寻求各式 与条件 a2+a 2的联系,进而整体代入求值.
1


1

【解】

(1)将 a2+ a 2= 3 两边平方,
-1

1



1

得 a+ a + 2= 9, -1 即 a+ a = 7. -2 2 (2)将上式两边平方,有 a + a + 2= 49, -2 2 所以 a + a = 47. (3)由于 a2- a 2= (a2) - (a 2) , a2- a 2 ?a2- a 2??a+ a + a2· a 2? 所以有 1 1= 1 1 - - a2- a 2 a2- a 2
- - -

3



3

1

3



1

3

3

3

1

1

-1

1

1

= a+ a 1+ 1=7+1=8.


【名师点拨】 条件求值是代数式求值中的常见题 型,一般要结合已知条件先化简再求值.另外要特 别注意条件的应用,如条件中的隐含条件等.整体 代入,可以简化解题过程.本题若通过 a2+a 2= 3 解出 a,再代入求值将非常复杂.
1


1

互动探究2 若将例题中的条件改为已知a2+a-2 =3,怎样求a+a-1及a3+a-3的值?
解:∵a2+a 2=3,∴(a+a 1)2-2= 3, -1 2 -1 ∴(a+a ) =5,∴a+a = ± 5. - - - a3+a 3=(a+a 1)(a2-1+a 2)
- -

=± 5×(3-1)=± 2 5.

方法感悟 方法技巧 1 .解决根式的化简问题,首先要先分清根式为 奇次根式还是偶次根式,然后运用根式性质进行 化简.(如例1) 2 .为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先 用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值 符号化简,化简时要结合条件或分类讨论. ( 如 例1(3),例2(1)) 3.一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正 指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运 算.同时还要注意运算顺序.(如例2)

失误防范 (1)对于多重根式的化简,要搞清被开方数,由里 向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简. (2)在应用分数指数幂的定义时,必须特别注意该 定义的应用范围 (即定义的条件 ): ①底数 a 必须是正实数,即 a> 0; ②a n 及 a
m


m

n 中的

m, n 均为正整数且 n>1.


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