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辽宁省沈阳二中2014届高三上学期10月阶段验收 数学(理科)


沈阳二中 2013——2014 学年度上学期 10 月 阶段验收高三(14 届)数学(理科)试题
命题人: 高三数学组 审校人: 高三数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U=R,集合 A={x| A. A ? B B. A ? B <0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( C. C( U A ? B) D. C( U A ? B) ) D.168 )

2 等差数列 ?an ? 中, a5 ? a9 ? a7 ? 10,则 S13 的值为( A.130 B.260
x ?x

C.156

3.已知命题 p:?x∈R,使 2 ? 2 结论中正确的是( ) A. 命题“p∧q”是真命题 C. 命题“ ? p ∧q”是真命题

? 1 ;命题 q:?x∈R,都有 lg( x2 ? 2x ? 3) ? 0 .下列
B. 命题“p∧ ? q ”是真命题 D. 命题“ ? p ? ? q ”是假命题

4.已知函数 f ( x) 的导函数的图像如图所示,若 ?ABC 为锐角三 角形,则一定成立的是 ( ) A. f (sin A) ? f (sin B) C. f (sin A) ? f (cos B) B. f (sin A) ? f (cos B) D. f (cos A) ? f (cos B)

5.定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对?x∈ D,存在常数 M>0,都有 f(x) ? M 成立, 则称 f(x)是 D 上的有界函数.则下列定义在 R 上的函数中,不是有界函数的是( A.f(x)=sinx
2



B. f(x)=

C.

f ( x) ? ?2

1? x

D.

f ( x) ? ? log2 (1 ? x )

6.若函数 f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中 a,b 为常数. x 则函数 g(x)=a +b 的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

7.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 ( ) A.45°或 135° B.135° C.45°

,则 B= D.以上答案都不对

8..设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与b 不共线,

a ? c , a = c ,则 b ? c 的值一定等于(
A.以 a , b 为两边的三角形的面积 B.以 b , c 为两边的三角形的面积 C.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 D.以 b , c 为邻边的平行四边形的面积

)

9..若数列{an}的前 n 项和为 Sn=a -1(a≠0),则这个数列的特征是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列 10. 已知 O 是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点 P 满足

n

OP ? OA ? ? (
( ) A.重心

AB | AB | sin B

?

AC | AC | sin C

), ? ? (0,?? ) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的

B.垂心

C.外心

D.内心

2 ? ? x ? x ? 2 ? 0, 11. 若不等式组 ? 的解集中所含整数解只有 -2 ,求 k 的取值范围 2 ? ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0

(

) B. [?1, 2) C. [0, 2) D. [1, 2)

A. [?3, 2)

1 1 2 1 2 3 1 2 m , , , , , , , , , , , 的前 40 项的和是( 2 3 3 4 4 4 m ?1 m ?1 m ?1 1 1 19 23 A B C 19 D 18 9 2 第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
12.数列



13.函数

的定义域为 ________

14.已知 a , ) ? a ,( b 是非零向量,且满足 (a -2b b -2 a ) ?b ,则 a , b 的夹角 是______

?x ? 0 ? 15.当实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x ( a 为常数)时 z ? x ? 3 y 有最大值为 12, ?2 x ? 2 y ? a ? 0 ?
则实数 a 的值为 . 则实数 a 方程f ( x) ? x ? a 只有两个不等实根,

?21? x ( x ? 0) 16. 已知函数 f ( x) ? ? , ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
的范围是___________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m =(2sinB, - 3)

n =(cos2B, 2cos 2

B -1) 且 m ∥n 2

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0, (Ⅱ)若 f ? x0 ? ?

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? .求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

19. (本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽 ...

得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y) ,记

? ? OP .
(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

2

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? n(an ? 1) ? n2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若

3 5 ? ? S1S2 S2 S3

?

2n ?1 624 ? , n ? N? ,求 n 的值. Sn Sn?1 625

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥ bx﹣2 恒成立,求实 数 b 的取值范围; (2)当 0<x<y<e 且 x≠e 时,试比较 与
2

的大小.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图象都相切, x ? a(a 为常数) 2

且 l 与函数 f ( x) 图象的切点的横坐标为 1. (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g′ ( x ) [注:g′ ( x ) 是 g ( x ) 的导函数],求函数 h( x) 的单调递 增区间; (3)当 k ? R 时,试讨论方程 f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? k 的解的个数.

沈阳二中 2013——2014 学年度上学期 10 月 阶段验收高三(14 届)数学(理科)试题参考答案
一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.C 二、填空题 13. π 3 15. -12 16. [3,4 ) 14. 三、解答题 17. (1)∵m∥n, . 5.D 6.D 7.C 8. C 9.C 10.A 11.A 12.C

? ? ∴2sinB?2cos -1?=- 3cos2B, 2 ? ?
2

B

∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3, 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ), 2π π ∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3 ∴由余弦定理 cosB=

a2+c2-b2 得, 2ac

a2+c2-ac-4=0,
又∵a +c ≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立),
2 2

S△ABC= acsinB=

1 2

3 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 4

18.(Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1得

?? ? f ? x ? ? 3 ? 2sin x cos x ? ? ? 2cos2 x ? 1? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以函数的最小正周期为 T ?

2? ? ? ? 7? ? ? ?? ? ? .因为 x ? ?0, ? ,所以 2 x ? ? ? , ? . 2 6 ?6 6 ? ? 2?

所以 2 x ?

?

?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? ,即 x ? ?0, ? 时,函数 f ? x ? 为增函数,而在 x ? ? , ? 时, 6 ?6 2? ? 6? ?6 2?

函数 f ? x ? 为减函数,所以 f ? 最小值.

? ?? ? ? ? 2sin ? 2 为最大值, f 2 ?6?
? ?

7? ?? ? ?? ?1 为 ? ? ? 2sin 6 ?2?

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ?

??

6 ? , 又 由 已 知 f ? x0 ? ? 5 , 则 6?

?? 3 ? sin 2 0 ? ? x ?? . 6? 5 ?
因为 x0 ? ?

?? ? ? 2? 7? ? ? ?? ? ? , ? ,则 2 x0 ? ? ? , ? ,因此 cos ? 2 x0 ? ? ? 0 , 6? 6 ? 3 6 ? ? ?4 2?

所以 cos ? 2 x0 ?

? ?

??

4 ?? ?? ?? ? ? ? ,于是 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? , 6? 5 6 ? 6? ??

4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ?? ? ? ? . ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? ? ? 5 2 5 2 10 6? 6 6? 6 ? ?
19.解:(1)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? ( x ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 . 因此,随机
变量 ? 的最大值为 5 ??????????4 分

? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P(? ? 5) ?

2 ???????6 分 9

(2) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ??????????8 分 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0
1 9

1

2

5

2 9 1 4 2 2 因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ??????????12 分 9 9 9 9
20.(1) an ? 2n ? 1???????6 分

4 9

2 9

(2) Sn ? n2 ,

3 5 ? 2 2? 2 1 ? 2 2 ?3
2

?

2n ? 1 624 ? , 2 n ? (n ? 1) 625
2

1?
21

1 624 ? , ? n ? 1 ? 25, n ? 24 ??????????12 分 2 (n ? 1) 625

(1)函数 f(x)的导数 f′(x)=a﹣ .通过在 x=1 处取得极值,得出 a=1;将 f(x) ≥bx﹣2 恒成立,即(1﹣b)x>lnx﹣1,将 b 分离得出,b<1﹣ =1﹣ ,令 g(x)

,只需 b 小于等于 g(x)的最小值即可.利用导数求最小值. 在(0,e )上为减函数,g(x)>g(y) ,1﹣ > ,考虑将 1﹣lnx 除到右边,为此分 1﹣lnx
2

(2)由(1)g(x)=1﹣ >1﹣ ,整理得

正负分类求解. 解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .f′(x)=a﹣ . ∵函数在 x= 处取得极值,∴a=1, f(x)=x﹣1﹣lnx, ∵f(x)≥bx﹣2,移项(1﹣b)x>lnx﹣1,将 b 分离得出,b<1﹣ (x)=1﹣ ,
2 2

,令 g

则令 g′(x)= >0,

,可知在(0,e )上 g′(x)<0,在(e ,+∞)上 g′(x)

∴g(x)在 x=e 处取得极小值,也就是最小值.此时 g(e )=1﹣ 所以 b≤1﹣ .

2

2



(1)由(1)g(x)=1﹣ 有 g(x)>g(y) ,1﹣

在(0,e )上为减函数.0<x<y<e 且 x≠e 时, >1﹣ ,整理得 > ①

2

2

当 0<x<e 时,1﹣lnx>0,由①得, > 当 e<x<e 时,1﹣lnx<0,由①得 < 22.解: (1)由 f ?( x) | x?1 ? 1 ,
2



故直线 l 的斜率为 1,切点为(1, f (1) ) ,即(1,0) , ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 直线 l 与 y ? g ( x) 的图象相切,等价于方程组

? y ? x ? 1, ? 只有一解, ? 1 y ? x2 ? a ? 2 ?

1 2 x ? x ? (1 ? a) ? 0 的两个相等实根, 2 1 1 ∴ ? ? 1 ? 4 ? (1 ? a) ? 0 ,∴ a ? ? . 2 2 (2)∵ h( x) ? ln(x ? 1) ? x( x ? ?1) ,
即方程

1 x , ?1 ? ? x ?1 x ?1 1 h?( x) ? 0, ? 0, ∴ ? 1 ? x ? 0 ,∴当 x ? (?1,0) 时, f ( x) 是增函数, x ?1 即 f ( x) 的单调递增区间为( ?1,0)
由 h?( x) ? (3)令 y1 ? f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ?

1 2 1 x ? , y2 ? k . 2 2

?? 由 y1

2x x ? x 3 x(1 ? x)( x ? 1) ? x ? ? , 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2

? ? 0 ,则 x ? 0 , ?1,1. 令 y1 ? ? 0, y1 的变化关系如下表: 当 x 变化时, y1

x
y?

( ? ?,?1 ) +

-1 0 极大 值

(-1, 0) -

0 0 极小

(0,1) +

1 0 极大值

(1, ?? ) -

y

ln 2 1 1 又 y1 ? ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 为偶函数, 2 2 1 1 据此可画出 y1 ? ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 的示意图如右图: 2 2

1 值 2

ln 2

当 k ? (ln 2,?? ) 时,方程无解;

当 k ? ln 2 或 k ? (??, ) 时,方程有两解; 当k ?

1 2

1 时,方程有三解; 2

当 k ? ( , ln 2) 时,方程有四解.

1 2


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