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山西省太原市第五中学2013届高三下学期五月月考数学(文)试题


山西省太原市第五中学 2013 届高三下学期五月月考 数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

A. n ? 5?

B. n ? 5?

C. n ? 5?

D. n ? 5?

2 1 2 正视图 4 侧视图

线

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {1,2 } , B ? {a, b} ,则 A ? B ? { } ,则 A ? B ? (
a

学号

1 2

)
俯视图 第 6 题图



A. { ,1,2} 2.设 z ?

1 2

B. { ,?1}

1 2

C. { ,1} ) C.2

1 2

D. { ,1,?1}

1 2

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z =( 1? i
B.1

封 不 得

A. 2 3.若 ? ? ? A.

D. 3

6. 某几何体的三视图如右上图所示,则此几何体的体积是 ( 20 16 10 A. π B. 6π C. π D. π 3 3 3 7.当 a > 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图象大致是(
2 x







?? 1 ?? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则sin ? ? ( 4? 7 ?2 ? ?
B.

姓名

)
D. ?



线

3 5

4 5


C. ?

3 5
2

4 5

4.下列命题正确的个数 (



2 (1)命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3 x0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3 x ” ;

8.已知函数 f ( x) ? A. f (x) 在 x ?



(2)函数 f ( x) ? cos 2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? 是“ a ? 1 ”的必要不充分条件; (3)“ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立”? ( x 2 ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立 (4)“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ” 。 A.1 B.2 C.3 D.4

学校

?

?

? ?

3? 8 3? B. f (x) 在 x ? 8 3? 7? ? C. f (x) 在 ( , ) 单调递减,其图像关于直线 x ? ? 对称 8 8 8
D. f (x) 在 (

1 1 2 ,则( ) cos 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? 2 2 2 3? 时取得最小值 2 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8 5? 时取得最小值 0 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8

班级



3? 7? ? , ) 单调递增,其图像关于直线 x ? ? 对称 8 8 8

9.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关 关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下: 5. 执行如左下图所示的程序框图, 输出的结果是

5 , 则判断框内应填入的条件是 ( 6



x
y

15 102

16 98

18 115

19 115

22
120

第 1 页,共 12 页

第 2 页,共 12 页

15.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x ) ? 由表中样本数据求得回归方程为 y = bx + a ,则点 (a, b) 与直线 x ? 18 y ? 100 的位置 关系是( ) B.点在直线右侧 C.点在直线上 D.无法确定

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为

. .

16.在 ?ABC 中, M 是线段 BC 的中点, AM ? 3, BC ? 10 ,则 AB ? AC ? 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? ?

A.点在直线左侧

? ?x ? 0 ? x ? 2y ? 3 3 10. 设 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 若z? 的最小值为 , a 的值 则 ( x ?1 2 ?x y ? ? ?1 ? 3a 4a
A. 1 B. 3 C. 4 D. 12

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 S n 的最大值为 8. 2



(1)确定常数 k ,求 a n ;

(2)求数列 {

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn 2n



11.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,球 O 的直径是 AD ,且 ?ABC 、 ?BCD 都是边 长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是( )

18.(本小题满分 12 分) (1)在一个红绿灯路口,红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 30 秒、5 秒和 40 秒。当你到 达路口时,求不是红灯的概率。 (2)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1. 设集合 P ? {1,2,3} 和
2

封 线

2 A. 8

B.

1 6

1 C. 8

2 D. 12



x2 y2 12. 过双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点 a b 1 为 E ,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 OE ? OF ? OP ,则双曲线 2 的离心率为( )

分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b , 求函数 y ? f (x) Q ? {?1,1,2,3,4} , 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率。



?

?



19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 是直角梯形,AB ? BC ,AB // CD ,E ,F



1? 5 A. 2

1? 3 B. 2

4 2 ?2 C. 7

4 2?2 D. 7



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 a, b, c 是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对边,若 c ? 2, b ?

B 分别是棱 BC , 1C1 上的动点, EF // CC1 , 且
3 , A ? C ? 3B, 则

CD ? DD1 ? 1 , AB ? 2, BC ? 3 .

第 19 题图

sin C ?

.

(Ⅰ)证明:无论点 E 怎样运动,四边形 EFD1 D 都为矩形; (Ⅱ)当 EC ? 1 时,求几何体 A ? EFD1 D 的体积。 20. (本小题满分 12 分)

14. 已 知 f ? x ? 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ? x ? ? lg x , 设

?6 a ? f? ?5

? ?3 ?, b? f ? ? ?2

? ,? c ? ?

5 ? ? f ? 则 a, b, c 从小到大的顺序为 ,? 2 ? ?

.

第 3 页,共 12 页

第 4 页,共 12 页

已知椭圆

x2 y 2 上顶点为 A , 过点 A 与 AF2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C 2 的参数方程是 ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ? , ? ? ? ? 点 A, B, C (1)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (2)当 ? ?

? x ? m ? t cos ? ? y ? t sin ?

垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 ,过 A, Q, F2 三点的圆的半径为 2, 过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 G, H 两点( G 在 M , H 之间)

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三

线

(1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P(m,0) ,使得以 PG, PH 为邻边的平 行四边形为菱形?如果存在,求出 m 的取值范围?如果不存在,请说明理由.

?
12

学号

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.



24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 .



封 不 得

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) 有极小值 ?e . (Ⅰ)求实数 a 的值;
?2

(1)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2, ; (2)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) .

姓名



(Ⅱ)若 k ? Z ,且 k ?

线

f ( x) 对任意 x ? 1恒成立,求 k 的最大值; x ?1

太 高
D A

原 数
A





请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时请写清题号。 E

2012—2013 学年度第二学期 5 月月考




A B

学(文)
7 B 8 D D 9 0 B 1 1 A 1 2 D 1 A



C
22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延长线于点 E. OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若

班级

D F A O B

一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6

学校



AC 3 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.
6 ; 3

14.

c?a?b



23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极轴,
第 5 页,共 12 页

15. 4 ; 16. -16; 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
第 6 页,共 12 页

17.

若 a =3 则 b =-1,1; ????????????10 分 ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
5 1 ? 15 3

??????????12 分

19. 20 . 解 析 :( Ⅰ ) 在 直 四 棱 柱
ABC? D
1

A B C1 D DD1 // CC1 , 1 1 中,

∵ EF // CC1 , ∴ EF // DD1 , --------------------------------------2 分 【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值
? S1 (n ? 1), 的综合应用.利用 an ? ? 来实现 an 与 S n 的相互转化是数列问题比较常 ? S n ? S n ?1



又∵平面 ABCD // 平面 A1 B1C1D1 , 平面 ABCD ? 平面 EFD1 D ? ED , 平面 A1 B1C1 D1 ? 平面 EFD1 D ? FD1 , ∴ ED // FD1 , ∴ 四 边 形 EFD1 D 为 平 行 四 边 形 ,

封 线

见的技巧之一,要注意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过
a1 ? S1 来求解.运用错位相减法求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由

内 不

---------------------------------------4 分 ∵侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD 内, ∴ DD1 ? DE ,∴四边形 EFD1 D 为矩形; -----------------------------5 分 (Ⅱ)证明:连结 AE ,∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? 平面 ABCD 内, ∴ DD1 ? AE , --------------------------------6 分 在

两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列. 18.解: (1)基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯,它们的时间分别为 30 秒、 5 秒和 40 秒,设它们的概率的分别为 P1,P2,P3, 所 以 不 是 红 灯 的 概 率 P=130 30 3 P1= 1 ? ? 1? ? ??????? 6 分 30 ? 5 ? 40 75 5 2b (2)∵函数 f ( x) ? ax 2 ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ? , a 要使 f ( x) ? ax 2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数, 当 且 仅 当

得 答 题

Rt ?ABE

中 ,

AB ? 2



BE ? 2

, 则

AE ? 2 2



a

>0



2b ????????????????8 分 ? 1, 即2b ? a a 若 a =1 则 b =-1, 若 a =2 则 b =-1,1;
第 7 页,共 12 页

-----------------------------------7 分 在 Rt ?CDE 中,EC ? 1 ,CD ? 1 , DE ? 2 ; -------------------------------8 则 分
第 8 页,共 12 页

在直角梯形中 ABCD , AD ? BC 2 ? ( AB ? CD ) 2 ? 10 ; ∴ AE 2 ? DE 2 ? AD2 ,即 AE ? ED , 又∵ ED ? DD1 ? D ,∴ AE ? 平面 EFD1 D ; --------------------------10 分 由(Ⅰ)可知,四边形 EFD1 D 为矩形,且 DE ? 2 , DD1 ? 1 , ∴矩形 EFD1 D 的面积为 S EFD1D ? DE ? DD1 ? 2 , ∴几何体 A ? EFD1D 的体积为 题
1 1 4 VA? EFD1D ? S EFD1D ? AE ? ? 2 ? 2 2 ? .-----------------------------12 分 3 3 3

即m??

2 4k ? 3 k

,? k ? ,? ?

1 2

3 ?m?0, 6

......11 分

当且仅当 ? 4k 时,等号成立 21.Ⅰ) f ?( x) ? a ? 1 ? ln x , 令 f ?( x) ? 0 ? x ? e ? a ?1 ,令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e ? a ?1 故 f ( x) 的极小值为 f (e? a ?1 ) ? ?e? a ?1 ? ?e?2 ,得 a ? 1. (Ⅱ)当 x ? 1 时,令 g ( x) ?

3 k

......12 分

学号

线

6分



x ? 2 ? ln x f ( x) x ? x ln x ,? g ' ( x ) ? ? 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

20 解(1) ? 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 , ? F1 是 F2 Q 的中点, Q(?3c,0) , ? AQ ? AF2 ,
?b 2 ? 3c 2 , a 2 ? 4c 2 , 过 A, Q, F2 三点的圆的圆心为 F1 (?c,0) ,半径为 2c ,

封 不 得

令 h( x) ? x ? 2 ? ln x , ? h' ( x) ? 1 ? 数

1 x ?1 ? ? 0 ,故 y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函 x x

姓名

?c ? 1 ,?



y x ? ?1 4 3

2

2

......4 分

由于 h' (3) ? 1 ? ln3 ? 0, h' (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,? 存在 x0 ? ? 3,4 ? ,使得 h' ( x0 ) ? 0 . 则 x ? ?1, x0 ? , h' ( x) ? 0 ,知 g ( x) 为减函数; x ? ? x0 , ?? ? , h' ( x) ? 0 ,知 g ( x) 为增函 数.
? g ( x) min ? g ( x0 ) ?

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0)
? y ? kx ? 2(k ? 0) 1 ? 16k ? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 ? ? ? 0 ? k ? , x1 ? x 2 ? 2 ?x y2 2 4k ? 3 ?1 ? ? 3 ?4

线

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1





班级

......6 分
PG ? PH ? ( x1 ? x 2 ? 2m, k ( x1 ? x 2 ) ? 4) GH ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ? ( x 2 ? x1 , k ( x 2 ? x1 ))

? k ? x0 , 又 x0 ? ? 3,4 ? , k ? Z ,所以 kmax =3.

12 分

学校





22.如图,AB 是 ?O 的直径,AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交 ?O 于点 D,

DE ? AC ,交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F
(1 )连接 OD,可得 ?OAD ? ?ODA ? ?DAC …… 2分 又 AE ? DE … 3分 ?OD // AE ?OD ? DE ,又 OD 是半径 ? DE 是 ?O 的切线。 ……………5 分 (2)提示:过 D 作 DH ? AB 于 H ,则有 ?DOH ? ?CAB AC 3 Cos∠DOH=cos∠CAB= ……………………6 分 ? AB 5 设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x
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由于菱形对角线垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 ,? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 2m ? 0 解得 m ? ?
2k 4k 2 ? 3

......9 分

第 9 页,共 12 页

∴AH=8x AD2=80x2 由△AED∽△ADB 可得 AD2=AE· AB=AE· 10x 又由△AEF∽△DOF ∴
AF 8 = ……10 分 DF 5

∴AE=8X…………8 分 8 可得 AF∶DF= AE∶OD = ; 5

5? ? 1 ?x | ? x ? ? . 2? ? 2

…………………………………………5 分

(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? a x ? 1 . 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? ax ? a

23 解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ? ∵点 A, B, C 在曲线 C1 上,∴ ?1 ? 4 cos? , ? 2 ? 4 cos( ? ? 则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos( ? ?
2 | OA |? 2 ?1 ? 4 2 cos?
| OB | ? | OC |? 2 | OA |

?

), ( ? 3 , ? ? ) 4 4

?

? ax ? 1 ? a ? ax ? ax ? 1 ? a ? ax ? a ? 1

?

), ? 3 ? 4 cos( ? ) ? 4 4

?

?

) ? 4 cos( ? ) ? 4 2 cos? ? 4 4

?



, ......5 分





封 线

(2)由曲线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线, 当? ? 时,B,C 点的极坐标分别为 (2, ), (2 3 ,? ) 12 3 6
?



?

?



化为直角坐标为 B(1, 3 ) , C (3,? 3 ) , ∵直线斜率为 tan? ?
? 3? 3 2? ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 ?1 3 直线 BC 的普通方程为 y ? ? 3 ( x ? m) ,

得 答

∵过点 B(1, 3 ) ,∴ 3 ? ? 3 (1 ? m) ,解得 m ? 2



...10 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 1 . 因 此 只 须 解 不 等 式

x ?1 ? x ? 2 ? 2 .

…………………………………………2 分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 综 上 , 原 不 等 式 的

当 x ? 1时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即






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