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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 数列的概念与简单表示法(新人教A版)


第一节 数列的概念与简单表示法

三年2考

高考指数:★

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式); 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

1.根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和Sn求an是高考 考查的重点. 2.多在解答题中出现,属中档题目.

1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义

一定顺序 ①数列:按照_________排列的一列数.
每一个数 ②数列的项:数列中的___________.

(2)数列的分类 分类标准 类型 有穷数列 项数 满足条件 项数_____ 有限 项数_____ 无限 an+1___an > 其中 递减数列 常数列 an+1___an < an+1= an n∈N*

无穷数列
递增数列 项与项间 的大小关系

(3)数列的通项公式 序号n 如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

【即时应用】(1)思考:数列的通项公式是唯一的吗?是否每个 数列都有通项公式? 提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可以是an= (-1)n(n∈N*),也可以是
ì - 1(n为奇数) ? an = ? , 有的数列没有通 í ? 1(n为偶数) ? ?

项公式.

(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) ①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.( ) )

②数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列.( ③数列 {
n+ 1 1 } 的第k项为 1 + . n k

( )

)

④数列0,2,4,6,?可记为{2n}.(

【解析】由数列的定义可知①、②错误;数列 { n + 1} 的第k项 为
k+ 1 1 =+ , 故③正确;数列0,2,4,6,?的通项公式为an 1 k k n

=2n-2,故④错.综上知,③正确;①,②,④错误.
答案:①× ②× ③√ ④×

(3)若数列{an}的通项公式为 a n =

n , 那么这个数列是_____数 n+ 1

列.(填“递增”,“递减”,“摆动”) 【解析】方法一:令f(x)=
1 x 则f(x)= 1在(0,+∞) , x+ 1 x+ 1

上是增函数,则数列{an}是递增数列. 方法二:∵ a n+ 1 - a n =
n+ 1 n 1 = > 0, n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2)

∴an+1>an.∴数列{an}是递增数列.

答案:递增

(4)数列9,99,999,?的通项公式an=_______. 【解析】9=10-1,99=102-1,999=103-1,?, ∴an=10n-1. 答案:10n-1

2.数列的递推公式 第一项 前几项 如果已知数列{an}的________(或_______),且任何一项an与它 的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推 公式.

【即时应用】(1)已知数列{an}中,a1=1, a n+1=
_______.

an ,则a5= 2a n + 3

(2)数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,则{an}的通项公式an=
_______.

【解析】(1) a1=,a 2= 1

a1 a2 1 1 = ,a 3= = , 2a1 + 3 5 2a 2 + 3 17 a3 a4 1 1 a 4= = ,a 5= = . 2a 3 + 3 53 2a 4 + 3 161

(2)由已知,an+1-an=2n, 故an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)

=0+2+4+?+2(n-1)=n(n-1).
答案: (1)
1 161

(2)n(n-1)

3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,
ì __ (n = 1) ? S1 则 an = ? íS - S ? _______ (n ? 2) n- 1 ? n ?

【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=_______. (2)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=nan,则an=_______. 【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1] =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2.
ì ? ∴ an = ? 2 í (n = 1), (n 2). ? 2n - 1 ? ?

(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, ∴an=an-1(n≥2),又∵a1=1, ∴an=1.
ì2 ? 答案:(1) ? í ? 2n - 1 ? ? (n = 1) (n 2)

(2)1

已知数列的前几项归纳数列的通项公式 【方法点睛】求数列的通项时,要抓住以下几个特征 (1)分式中分子、分母的特征;

(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;

(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

【例1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,?
1 1 5 13 29 61 , , (3) , , - , , 2 4 8 16 32 64

【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑.

(2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,?和数列0.9,0.99,0.999,?
的关系着手. (3)分子规律不明显,从考虑分子与分母的关系着手.

【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示,后面的数的绝对值 总比前面的数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
8 (1-0.1), 8 (1-0.01), 8 (1-0.001),?, 9 9 9 8 1 ∴ a n = (1- n ). 9 10

(2)数列变为

(3)各项的分母分别为21,22,23,24,?,易看出第2,3,4

项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 21 - 3 22 - 3 23 - 3 24 - 3 原数列化为 , 2 , , 4 ,, 1 3 2 2 2 2 2n - 3 \ a n = (- 1) ? n . 2
n

2- 3 . 2

【反思·感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑:一是首项的符 号,二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入 手,是求解的关键.

2.归纳通项公式应从以下四个方面着手:
(1)观察项与项之间的关系;

(2)符号与绝对值分别考虑;
(3)分开看分子、分母,再综合看分子、分母的关系; (4)规律不明显时适当变形.

已知Sn求an 【方法点睛】已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论;

特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合“an式”,则需统

一“合写”.
(3)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1不适合“an式”,则数列
ì S1 ? 的通项公式应分段表示(“分写”),即 a n = ? í ? Sn - Sn- 1 ? ? (n = 1), (n 2).

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1. 【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式an与前n项和Sn的
ì S1 (n = 1) ? 关系,利用 a n = ? 进行求解. í ? Sn - Sn- 1 (n 2) ? ?

【规范解答】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 当n=1时,4×1+1=5=a1,∴an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.

当n=1时,2×31-1=2≠a1,
ì4 (n = 1) ? ? \ an = í . ? 2闯 n- 1 (n 2) 3 ? ?

【反思·感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n≥2 两种情况求解,而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.

由递推公式求数列的通项公式 【方法点睛】1.“累加法”求an 已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即an-an-1 =f(n),an-1-an-2=f(n-1),?,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2). 所有等式左右两边分别相加,代入a1得an.

2.“累乘法”求an

已知a1且
a n- 1 a n- 2

a an = f (n)(n 2), 可以用“累乘法”,即 n = f (n), a n- 1 a n- 1 a a = f (n - 1),? , 3 f (3), 2 = f (2), 所有等式左右两边分别相 a2 a1

乘,代入a1得an. 【提醒】在求解出通项公式后,记得验证a1是否满足公式.

【例3】根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
(1)a1 = 2,a n+ 1 = a n + ln(1 + (2)a1 = 1, na n+ 1 = (n + 1)a n . 1 ); n

【解题指南】(1)求an-an-1,累加求和并验证n=1的情形. (2)求
an ,累乘求积并验证n=1的情形. a n- 1

1 a n+ 1 = a n + ln(1+ ), 【规范解答】(1)∵ n

1 n \ a n - a n- 1 = ln(1 + ) = ln (n 2), n- 1 n- 1 \ a n = (a n - a n- 1 ) + (a n- 1 - a n- 2 ) + 鬃 (a 2 - a1 ) + a1 ? n n- 1 3 + ln + 鬃 ln + ln2 + 2 ? n- 1 n- 2 2 n n- 1 3 = 2 + ln( ? ? ? ?2) 2 + lnn(n 2). 鬃? n- 1 n- 2 2 又a1 = 2适合上式,故a n = 2 + lnn(n N * ). = ln

(2)? a1 = 1, na n+ 1 = (n + 1)a n , \
\ an n = (n a n- 1 n - 1 2).

a n+ 1 n + 1 = , an n

a3 a2 a n a n- 1 \ an = ? ? ? ? ?a1 鬃 a n- 1 a n- 2 a 2 a1 = n n- 1 3 2 ? ? ? ? ? n(n 2), 鬃? 1 n- 1 n- 2 2 1 又a1 = 1适合上式, 故a n = n(n N* ).

【反思·感悟】解答此类题目应注意两个方面的问题:一是何 时应用“累加”或“累乘”法,可从所给递推公式的结构上分

析.二是如何“累加”或“累乘”,这是求通项公式an的关键,
应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.

【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误

【典例】(2012·大连模拟)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=
2n,则 a n 的最小值为______.
n

【解题指南】先用“累加法”求出an,再根据
最小值.

an 的单调性求 n

【规范解答】∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+?+2+33=n2-n+33(n≥2), 又a1=33适合上式,
\ a n = n 2 - n + 33, \ an 33 = n+ - 1. n n

令f(x)=x+

33 33 -1(x>0),则f′(x)= 1- 2 , x x

令f′(x)=0得 x = 33.

∴当0<x<

33 时,f′(x)<0,

当x> 33 时,f′(x)>0, 即f(x)在区间(0, 33 )上递减;在区间( 33 ,+∞)上递增.又 5< 33 <6,
33 53 33 21 且 f (5) = 5 + - 1 = ,f (6) = 6 + - 1 = , 5 5 6 2 a ∴f(5)>f(6),∴当n=6时, n 有最小值 21 . n 2 答案:21 2

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 误区警示和备考建议: 在解答本题时,以下几点容易出错: 误 区 警

(1)an求错;
(2)求
an n

的最小值时,直接使用基本不等式,忽视了等号

成立的条件;



(3)求 a n 的最小值时,误认为是n=5时的值最小.
n

备 考 建 议

解决此类数列问题时,以下几点在备考时要高度关注: (1)用“累加法”求an时,不要忘记加上a1;

(2)在用基本不等式求 a n 的最小值时,由于等号成立的条
n

件(n=? 33 ? N*)不满足,故不能使用基本不等式求最小值, 而应借助函数的单调性求解.

1.(2012·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7的

值为(
(A)13

)
(B)14 (C)15 (D)16

【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.

2 4 6 8 2.(2012·中山模拟)数列 , , , ? 的第10项是( ) 3 5 7 9 16 18 20 22 (A) (B) (C) (D) 17 19 21 23 【解析】选C.由已知得数列的通项公式 a n = 2n , \ a10 = 20 . 2n + 1 21

3.(2012·杭州模拟)已知数列{an},若a1=b(b>0), a n+ 1 = (n∈N*),则能使an=b成立的n的值可能是( (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 )

1 an + 1

【解析】选C. ? a 2 = -

1 1 1 1 ,a 3 = = - 1- ,a 4 = = b, b+ 1 a2 + 1 b a3 + 1

故数列{an}是以3为周期的数列. ∴a16=a1=b.

4.(2011·浙江高考)若数列{n(n+4)( 2 )n}中的最大项是第k项, 则k=_______.
3

ì a k ? a k+ 1 ? 【解析】由题意得不等式组 ? , í ? a k ? a k- 1 ? ? ì 2 2 ? ? k (k + 4)( ) k ? (k 1)(k + 5)( ) k + 1 ? 3 3 即? , í ? ? k (k + 4)( 2 ) k ? (k 1)(k + 3)( 2 ) k- 1 ? ? 3 3 ? ? ì 2 ? ? k(k + 4) ? (k 1)(k + 5)? ? 3 即? , í ? ? k(k + 4)?2 ? (k 1)(k + 3) ? ? 3 ? ?

解得 10 #k

10 + 1, 故k=4.

答案:4


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