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3.2.1对数及其运算课件


1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取4次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺? 2.假设2009年我国国民生产总值为a亿元, 如果每年平均增长8%,那么经过多少年国 民生产总值是2009年的2倍? x 4 ?1? ?1? (2)? ? ? 0.125? x ? ? 解:1. (1)? ? ? ? ?2? ? 2?
2. a(1+8%)x=2a

?1 ? 8%?

x

?2? x ??

这是已知底数和幂的值,求指数!
你能看得出来吗?怎样求呢?

二、新课
1.对数的定义: 一般地,如果a ( a > 0 , a ≠ 1 )的b次幂等于N,

即:a ? N
b

那么就称b是以a为底N的对数,

记作: a N ? b log
? ?真数 底数

log aN=b

注:底数a的取值范围: (a ? 0且a ? 1) 真数N的取值范围 : ( N ? 0)

?a ? 2 ? 0 思考:在b ? log ( a ? 2 ) (5 ? a )中, ? 解:a ? 2 ? 1 ? 实数a的取值范围是? ?5 ? a ? 0 ?

2.指数式与对数式的互化:

指数



真数 对数

a ?N
b
底数

log a N ? b

探究:对数的性质 ⑴负数与零没有对数(在指数式中 N > 0 )

(在 log a N ? b中,a ? 0,a ? 1,N ? 0)


loga 1 ? ? 0

loga a ? 1 ?

0 a ? 0且 a ? 1 都有 a ? 1 ? loga 1 ? 0 对任意

a1 ? a ? loga a ? 1

3.两个重要对数:
(1)常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作:lgN。
log 例如: 10 5 简记作:lg5; log10 3.5 简记作:lg3.5.

(2)自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。

为了简便,N的自然对数 loge N 简记作:lnN。 例如:loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作:ln10

讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式:

25 ? 32 ? 1 ?1 (2) 2 ? ? 2 (3) 3 x ? 81 ? 1 x (4) 4 ? ? 6
(1)

log2 32 ? 5
1 log2 ? ?1 2

log3 81 ? x
1 l og4 ? x 6

练习 (1) (2)

1.把下列指数式写成对数式:

2 ?8
3

? log2 8 ? 3

1.08 ? 2 ? log1.08 2 ? x
x
? 1 3

1 (3) 27 ? 3 1 ?8 (4) 2 ? 256

1 1 ? log27 ? ? 3 3 1 ? log2 ? ?8 256

讲解范例
例2 将下列对数式写成指数式:

(1) log1 27 ? ?3 ?
3

1 (2) log5 ? ?3 ? 125
(3) ln 10 ? 2.303 ? (4) lg0.01 ? ?2 ?

?1? ? ? ? 27 ? 3? 1 ?3 5 ? 125
e 2.303 ? 10 10 ? 0.01
?2

?3

练习 (1) (2)

2 将下列对数式写成指数式:

log3 9 ? 2 ? log5 125 ? 3 ?

3 ?9
2 3

5 ? 125 1 1 ?2 2 ? (3) log2 ? ?2 ? 4 4 1 1 ?4 ? ?4 ? 3 ? (4) log3 81 81

例3计算: (1) log9 27
则 9 x ? 27,  

(3) log5 625 ( 2) log 3 81 解:)设x ? log9 27, (2)设x ? log3 81, (3)设x ? log5 625, (1
则 3 x ? 81,     3 x ? 34 ,   ?x ? 4 则 5 x ? 625,     5 x ? 54 ,   ?x ?4
  32 x ? 33 ,   3 ?x ? 2
9

变式: (1) log
x

27

(2) log 4 3 81
x 4

( 3) log 3

解:)设x ? log 9 27,(2)设x ? log4 3 81,(3)设x ? log (1
则 3 ? 34 ,   x x x 3  9 2 ? 3 ? 3 ,    ? 4   4 ?x ? 3 ? x ? 16
则   ? 27, 9

5

4

625
3

5

4

625

?5?
3 4

x

? 625 , 5

4 x 3

? 54 ,

? x?3

(探究:已知 ? 0 ,a ? 1,N ? 0 a )

2 ( 2) log a a ? 5 1 1 ?3 (3) loga a ? ? 3 (4) loga a 3 ? 3 b 注:对数恒等式 (1)  a a ? b log
2

(1) loga a ?

5

例3计算:

( 2) log 3 81 ? log3 3 ? 4 4 (3) log5 625 ? log5 5 ? 4
4

3.对数恒等式:

(1)  a a ? b log
b

证明:设 a a ? x log
b

?a ?a ,x?b
x b

? loga a ? b
b

( 2) a

loga N

?N
?x

证明:设 a

loga N

? loga x ? loga N , x ? N

?a

loga N

?N

2 例4计算: (1) log64 x ? ? 3 (2) log x 8 ? 6

(3) ? lne ? x
2

巩固练习 1.求下列各式的值 (1)

lg100 ? 2

(5) (6) (7) (8)

log3 3 ? 1

1 (2) log25 5 ? 2 1 (3) l og2 ? ?1 2 (4) log5 1 ? 0

log1 3 ? ? 1
3

loga 1 ? 0
loga a
?1

练习 (1) (2) (3) (4)

2.求下列各式的值

log0.5 1

?0
?1

log9 9

log25 625 ? 2

log 2 2
log 4 64

?2

(5)
(6)

?3

lg10000 ? 4

思考 :

已知: a 2 ? m  a 3 ? n. log , log 求:a
2m? n
m n

解 :a ? 2, a ? 3. (a ) ? a ? 12
m 2 n

小结
学 1.掌握指数式与对数式的互化. 习 2.会由指数运算求简单的对数值. 要 求 3.掌握对数恒等式及其应用.


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