kl800.com省心范文网

抛物线习题精选精讲


www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

抛物线? (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合?其离心率 ???,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中?由于这个美好的?,既使它享尽和谐之美,又生出多少华 丽的篇章?? 【例?】?为抛物线

y 2 ? 2 px 上任一点,?为焦点,则以??为直径的圆与?轴(????)?

A. 相交????????????? B. 相切?????????????? C. 相离????????????? D. 位置由?确定?
【解析】如图,抛物线的焦点为 F ?

?p ? , 0 ? ,准线是? ?2 ?
PF ? PH
,?

Y H Q N

P M X

l:x??


p 2

?作??⊥ l 于?,交?轴于?,那么

QH ? OF ?

中位线,

p ?作??⊥?轴于?则??是梯形????的? 2 1 1 1 MN ? ? OF ? PQ ? ? PH ? PF ?故以? 2 2 2

O F ( p ,0)
2
l :x=p 2

??为直径的圆与?轴相切,选??? 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则? 分别是相离或相交的?? ? (2)焦点弦——常考常新的亮点弦?

y2 = 2 px

有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关?理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的?? 【例?】?过抛物线

y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点?作直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,求证:?

(?)

AB ? x1 ? x2 ? p ??????????(?)

1 1 2 ? ? AF BF p

?

【证明】(?)如图设抛物线的准线为 l ,作?

AA1 ? l A1 , BB1 ? l于B1,则 AF ? AA1 ? x1 ?

p ,? 2

Y A1

p BF ? BB1 ? x2 ? ?两式相加即得:? 2
AB ? x1 ? x2 ? p ?
(?)当??⊥?轴时,有?

A(x,y) 1 1 X

AF ? BF ? p, ?

1 1 2 ? ? 成立;? AF BF p

F B 1 B(x,y) 2 2 l

当 AB 与 ? 轴 不 垂 直 时 , 设 焦 点 弦 ?? 的 方 程 为 :

p? ? y ? k ? x ? ? ?代入抛物线方程:? 2? ?
p? p2 2 ? k 2 ? x ? ? ? 2 px ?化简得: k 2 x 2 ? p ? k 2 ? 2 ? x ? k ?0 2? 4 ?
2

?1? ?

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

k2 ∵方程(?)之二根为??,??,∴ x ? x2 ? 1 4

??

x1 ? x2 ? p 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? p p2 AF BF AA1 BB1 x ? p x ? p x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 2 2 2 2 4

?

?

x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p 2 ? ? .? 2 p p p p ? x1 ? x2 ? p ? p ? ? x1 ? x2 ? ? 2 4 2 4
2

故不论弦??与?轴是否垂直,恒有

1 1 2 ? ? AF BF p

成立??

? (3)切线——抛物线与函数有缘? 有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关?理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功?? 【例?】证明:过抛物线

y 2 ? 2 px 上一点?(??,??)的切线方程是:?????(????)?

【证明】对方程

y 2 ? 2 px 两边取导数: 2 y ? y? ? 2 p, y? ? ?

p .切线的斜率 ? y

k ? y?

x ? x0

?

p y0

.由点斜式方程:

y ? y0 ?

p ? x ? x0 ? ? y0 y ? px ? px0 ? y02 y0

?1? ?

2 ? y0 ? 2 px0,代入()即得: ????(????)? 1 ??

? (4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获. 例如:1.一动圆的圆心在抛物线 (????????)

y 2 ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过定点??????????????????????

A. ? 4,0 ?

B. ? 2,0 ?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0, ?2 ? ?

显然?本题是例?的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选??? ??抛物线

y 2 ? 2 px 的通径长为??;? y 2 ? 2 px 过焦点的弦两端分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,那么: y1 y2 ? ? p 2 ?

??设抛物线

以下再举一例? 【例?】设抛物线

y 2 ? 2 px 的焦点弦??在其准线上的射影是????,证明:以????为直径的圆必过一定点?

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么??????????,而????与??的距离为?,可知该圆必过抛物线的焦 点?由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点?以下我们对??的一般情形给于证明??

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

【证明】如图设焦点两端分别为 那么:

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,?

A 1

Y
1

A

y1 y2 ? ? p 2 ? CA1 ? CB1 ? y1 y2 ? p 2 . ? CF ? p. ?

M C B 1 B F X

设抛物线的准线交?轴于?,那么
2

??A1 FB1中 CF ? CA1 ? CB1 .故?A1 FB1 ? 90? ??
这就说明:以????为直径的圆必过该抛物线的焦点?? ? ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等)?? 【例?】(???四川文科卷???题)已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于( A.3 B.4 C.3 )
2

Y B

2

D.4

2
M A O X
为 :

【分析】直线??必与直线 x+y=0 垂直,且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上,因得解法如下. 【解析】∵点?、?关于直线 x+y=0 对称,∴设直线 AB 的方程

y ? ?x

. m



l? x + y = 0

? y ? x?m ? x2 ? x ? m ? 3 ? 0 ? y ? ? x2 ? 3 ?
设方程(?)之两根为??,??,则 x1 ? x2

?1?
? ?1 .?

设??的中点为?(??,??),则 x0

?

x1 ? x2 1 1 ? 1 1? ? ? ?代入?????:??? ?故有 M ? ? , ? ?? 2 2 2 ? 2 2?

从而 m ?

y ? x ? 1 ?直线??的方程为: y ? x ? 1 .方程(1)成为: x2 ? x ? 2 ? 0 .解得:

x ? ?2,1 ,从而 y ? ?1, 2 ,故得:?(??,??),?(?,?)?? AB ? 3 2 ,选???
? (2)几何法——为解析法添彩扬威? 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望 而生畏?针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法?? 【例?】(07.全国 1 卷.11 题)抛物线 y 方的部分相交于点 A. 4
2

? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上


A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △AKF 的面积(
B. 3

3

C. 4

3
K

Y A

D. 8

【解析】如图直线??的斜率为

3 时∠AFX=60°??
60° M O F(1,0) L:x=-1 X

= Y 2px
2

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

△???为正三角形?设准线 l 交?轴于?,则

FM ? p ? 2, ?

且∠??????°,∴

KF ? 4, S?AKF ?

3 2 ? 4 ? 4 3 ?选??? 4

【评注】(?)平面几何知识:边长为?的正三角形的?

面积用公式 S ?

?

3 2 a 计算?? 4

?????(?)本题如果用解析法,需先列方程组求点?的坐标,,再计算正三角形的边长和面积?虽不是很难,但决没有如上的 几何法简单?? ? (3)定义法——追本求真的简单一着? 许多解析几何习题咋看起来很难?但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单?? 【例?】(???湖北卷.7 题)双曲线

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ;抛物线 C2 的线为 l ,焦点为 a 2 b2
F1 F2 MF1 ? MF1 MF2
等于( )

F2;C1 与 C2 的一个交点为 M ,则
A. ?1 B. 1

C. ?

1 2

D.

1 2

【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去 寻找出路吧. 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距 c,离心率为 e,作

MH ? l于H ,令
y

MF1 ? r1 , MF2 ? r2 .∵点 M 在抛物线上,
H

r2
O a2 c

M(x,y)

? MH ? MF2 ? r2 , 故

MF1 MH

?

MF1 MF2

?

r1 ? e, r2

r1
F 1 ( -c , 0)
l :x = -

r2
F 2 (c,0)
x

这就是说:

| MF1 | 的实质是离心率 e. | MF2 |

其次,

| F1 F2 | 与离心率 e 有什么关系?注意到: | MF1 |
? 2c e ? 2a e ? r1 ? r2 ? ? 1? ? ? ? e ?1 ? ? ? e ? 1 . r1 r1 r1 ? e?

F1 F2 MF1

这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于 ?

| F1 F2 | | MF1 | ? ? ? e ? 1? ? e ? ?1 .∴选 | MF1 | | MF2 |

A..

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

(4)三角法——本身也是一种解析? 三角学蕴藏着丰富的解题资源?利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然 后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的?? 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算??

A
【例?】(???重庆文科???题)如图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线

y 2 ? 8x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。?
(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。 【解析】(Ⅰ)焦点 F(2,0),准线 l ; x (Ⅱ)直线 AB:

M

? ?2 .

y ? tan ? ? x ? 2 ?

?1? . ? 2? ?

y2 x? 8

代入(1),整理得:

y 2 tan ? ? 8 y ? 16 tan ? ? 0

8 ? ? y1 ? y2 ? 设方程(?)之二根为??,??,则 ? tan ? ? y1 ? y2 ? ?16 ?

??

y1 ? y2 4 ? ? ? 4 cot ? ? y0 ? 设??中点为 M ? x0 , y0 ? , 则 ? ? 2 tan ? 2 ? x0 ? cot ? ? y0 ? 2 ? 4 cot ? ? 2 ?
??的垂直平分线方程是: 令???,则 x 故

y ? 4 cot ? ? ? cot ? ? x ? 4 cot 2 ? ? 2 ? ??

? 4 cot 2 ? ? 6,有P ? 4 cot 2 ? ? 6,0 ? ?

FP ? OP ? OF ? 4 cot 2 ? ? 6 ? 2 ? 4 ? cot 2 ? ? 1? ? 4 cos 2 ? ?
2

于是|FP|-|FP|cos2a= 4 csc ?

? ?1 ? cos 2? ? ? 4 csc2 ? ? 2sin2 ? ? 8 ,故为定值.?

(5)消去法——合理减负的常用方法.? 避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题?其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上 所说的“不战而屈人之兵”?? 【例?】?是否存在同时满足下列两条件的直线 l :(?) l 与抛物线

y 2 ? 8 x 有两个不同的交点?和?;(?)线段??

被直线 l1 :????????垂直平分?若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方程?? 【解析】假定在抛物线

y 2 ? 8 x 上存在这样的两点 A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? .则有: ?

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

? y12 ? 8 x1 ? y ? y2 ? ? 8 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? ? k AB ? 1 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? ? y2 ? 8 x2
∵线段??被直线 l1 :????????垂直平分,且 kl

1

8 1 ?5 ? ? , k AB ? 5,即 ? 5 ? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ?

8 .? 5

设线段??的中点为 M

? x0,y0 ?,则y0 ?

y1 ? y2 4 ? ?代入????????得????于是:? 2 5

??中点为 M

? 4? ?1, ? ?故存在符合题设条件的直线,其方程为:? ? 5?

????

y?
?

4 ? 5 ? x ? 1?,即: x ? 5 y ? 21 ? 0 ? 25 5

(6)探索法——奔向数学方法的高深层次? 有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”?这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想—— 证明——再猜想——再证明?终于发现“无限风光在险峰”?? 【例??】(???安徽卷???题)如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记 为 P1,P2,?,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,?,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△ Q1OP1, △Q2P1P2,?, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 【解析】∵ OA ? 1 ?图中每个直角三角形的底边长均为 , . ?

1 n

设 OA 上第 k 个分点为 P k

k2 ?k ? ,? .代入y ? ? x 2 ? 1:y ? 1 ? 2 . 0 ? n ?n ?

第 k 个三角形的面积为: ak

1 1? k ? ? ? ?1 ? 2 ? . 2 n? n ?
2

12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? 1 ? ? Sn?1 ? ?? n ? 1? ? 2n ? n2 ?
故这些三角形的面积之和的极限 S

? ? n ? 1?? 4n ? 1? . ?? 12n2 ? ?
2

? lim
n ??

? n ? 1?? 4n ? 1? ?
12n

1 1? 1 ? 1 ?? lim ?1 ? ?? 4 ? ? ? ? 12 n?? ? n ?? n? 3

抛物线定义的妙用? 对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题思路,提高思维能力。现举例说明如 下。? 一、求轨迹(或方程)? 例???已知动点?的坐标满足方程 ???椭圆????双曲线????抛物线????以上都不对? ,则动点?的轨迹是(?)?

解:由题意得: 即动点 到直线

? 的距离等于它到原点(?,?)的距离? 为准线的抛物线。?

由抛物线定义可知:动点?的轨迹是以原点(?,?)为焦点,以直线

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

故选?。? 二、求参数的值? 例???已知抛物线的顶点在原点,焦点在?轴上,抛物线上一点 到焦点距离为?,求?的值。?

解:设抛物线方程为 ∵点?到焦点距离与到准线距离相等?

,准线方程:

?

? 解得: ? ? 代入得: ?

∴抛物线方程为 把 三、求角?

例???过抛物线焦点?的直线与抛物线交于?、?两点,若?、?在抛物线准线上的射影分别为 ??????????。? ?????°??????°??????°???????°?

,则

图?? 解:如图?,由抛物线的定义知:? ? 则 由题意知: ? 即 ? 故选?。? 四、求三角形面积? 例???设?为抛物线的顶点,?为抛物线的焦点且??为过焦点的弦,若 解析:如图?,不妨设抛物线方程为 ,点 、点 ? ?

?

, ?

。求△???的面积。?

图?? 则由抛物线定义知: 又 ,则 ?

? ?

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

由 即

得: ?

?

又??为过焦点的弦,所以 则

? ?

所以, ? 点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是常见的基本技 能。? 五、求最值? 例???设?是抛物线 上的一个动点。? 的距离之和的最小值;?

(?)求点?到点?(??,?)的距离与点?到直线 (?)若?(?,?),求 的最小值。?

解:(?)如图?,易知抛物线的焦点为?(?,?),准线是

?

由抛物线的定义知:点?到直线 的距离等于点?到焦点?的距离。? 于是,问题转化为:在曲线上求一点?,使点?到点?(??,?)的距离与点?到?(?,?)的距离之和最小。? 显然,连结??交曲线于?点,则所求最小值为 ,即为 。?

图?? (?)如图?,自点?作??垂直准线于?交抛物线于点 ,则有 即 的最小值为?? ,则? ?

?

? 图?? 点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点间线段距离最 短”,使问题获解。? 六、证明? 例???求证:以抛物线 直 于?。? 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。?

证明:如图?,设抛物线的准线为 ,过?、?两点分别作??、??垂直于 ,垂足分别为?、?。取线段??中点?,作??垂

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

图?? 由抛物线的定义有: ∵????是直角梯形? ? ?

?

? 即 为圆的半径,而准线过半径??的外端且与半径垂直,故本题得证。? 抛物线与面积问题? 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时,要充分利用抛物线和面积的有关知识,重 点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离,得出相应的线段长或高,从而求解。? 例???如图?,二次函数 的图像与?轴交于?、?两点,其中?点坐标为(-?,?)。点?(?, ?)、点?(?,?)在抛物线上,?为抛物线的顶点。?

图?? (?)求抛物线的解析式;? (?)求△???的面积。? 解:(?)设抛物线的解析式为? ,根据题意得?

?

,解得 ∴所求的抛物线的解析式为?

?

? (?)∵?点坐标为(?,?),∴??=?? 令 ,则 ,?

解得 ? ∴?点坐标为(?,?),??=?? ∵ ∴顶点?的坐标为(?,?)? 过点?作??⊥??于点?,? 则??=?,??=?? ∴ ,?

?

?

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

例???如图?,面积为??的等腰直角三角形???的一条直角边??在?轴上,二次函数 点、?点和斜边??的中点?。?

的图像过原

图??

?

(?)求出这个二次函数的解析式和对称轴。? (?)在坐标轴上是否存一点?,使△???中??=??,如果存在,写出?点的坐标,如果不存在,说明理由。? 解:(?)∵等腰直角△???的面积为??,? ∴??=??=?? ∵?是斜边??的中点,? ∴ ? ∴点?的坐标为(?,?)? 点?的坐标为(?,?)? ∵抛物线 ?



,解得

?

∴解析式为

,?

对称轴为 ? (?)答:在?轴、?轴上都存在点?,使△???中??=??。? ①?点在?轴上,且满足??=??时,点?坐标为(?,?)。? ②?点在?轴上,且满足??=??时,点?坐标为(?,-?)。? 例???二次函数 ?)。? 的图像一部分如图?,已知它的顶点?在第二象限,且经过点?(?,?)和点?(?,

图?? (?)请判断实数?的取值范围,并说明理由。?

?

(?)设此二次函数的图像与?轴的另一个交点为?,当△???的面积为△???面积的 解:(?)由图象可知: 当 当 得 时,应有 ? ? ?

倍时,求?的值。? ;?

;图象过点(?,?),所以?=?;图象过点(?,?),则 ,则 代入

,即

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

所以,实数?的取值范围为 (?)此时函数

。? ,?

要使

?

,?

可求得

。? 的图象以及分别过?(?,?)、?(?,?)两点且平行

例???如图?,在同一直角坐标系内,如果?轴与一次函数 于?轴的两条直线所围成的图形????的面积为?。?

图??

?

(?)求?的值;? (?)求过?、?、?三点的抛物线的解析式;? (?)线段??上的一个动点?从点?出发,以?单位?秒的速度沿??的方向移动(点?不重合于点?),过?点作直线??⊥?? 交??于?。当?从点?出发?秒后,求四边形????的面积?与?之间的函数关系式,并确定?的取值范围。? 解:(?)∵点?、?在一次函数 ∴ 且 ∵四边形????的面积为?? ? ? 的图象上,?



?

∴ 。? (?)由?(?,?),?(?,?),?(?,?)得? ? (?)∵??=?×?=?? ∴??=?-??

∴ ?

?

? 即 抛物线 。?

x2 y2 6 ) 在椭圆 1 已知抛物线 D:y =4x 的焦点与椭圆 Q: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的右焦点 F1 重合,且点 P ( 2 , 2 a b
2

Q 上。(Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率;(Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F2,且与椭圆相 交于 A,B 两点,求△ABF1 的面积。

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

解:(Ⅰ)由题意知,抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点为(1,0)
2

∴椭圆 Q 的右焦点 F1 的坐标为(1,0)。∴ a

? b2 ? 1



6 又点 P ( 2 , ) 在椭圆 Q 上, 2
由①②,解得

( 2)2 ∴ ? a2

(

6 2 ) 2 3 2 ? 1即 2 ? 2 ? 1 2 b a 2b
x2 y2 ? ?1 4 3
∴离心离



a 2 ? 4, b 2 ? 3 ∴椭圆 Q 的方程为

e?

c b2 1 ? 1? 2 ? a 2 a


( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 F2 ( - 1 , 0 ) ∴ 直 线 l 的 方 程 为

y ? 0 ? tan 45?( x ? 1),即y ? x ? 1
8 8 7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0,? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? 7 7

A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 由 方 程 组

?y ? x ?1 ? 2 消 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4
12 2 7

y 整理,得



| AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

又点 F1 到直线 l 的距离

d?

|1?1| 1 ? (?1) 2

? 2 ∴ S ?ABF1 ?

1 1 12 2 12 | AB | d ? ? ? 2? 2 2 7 7
? 4
的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

2 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y N

?y ? x ? m 解法一 ??由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0 ??由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0 y ? 4x ?
新疆
源头学子 小屋
http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://w ww.xj ktyg.com/w xc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,解得 m<1,又-5<m <0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4

o M

B

A

x

2 2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( ) =128 ?? 3
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2(1 ? m) ??点 A 到直线 l 的距离为 d=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

5? m
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

??

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

∴S△≤8
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号 ??故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 ??
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

解法二 ??由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5 ??
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

由方程组 ?

?x ? y ? m ? y ? 4x
2

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,

∴方程①的判别式Δ =(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立,设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4,y 1·y 2=-4m, ∴ S


=

1 1 (5 ? m) | y1 ? y2 |? (5 ? m) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2



4(

5 1 ? m) 2 2

5 1 5 1 (1 ? m) =4 ( ? m)( ? m)(1 ? m) 2 2 2 2

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!

www.mathfans.net

中学数学免费网

www.mathfans.net

5 1 ? 5 1 ? ? ( 2 ? 2 m) ? ( 2 ? 2 m) ? (1 ? m) ? ?4 ? ? ? 8 2 ∴S 3 ? ? ? ?
故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 ?已知?为坐标原点,?? a,0 ?? a
????

3



≤8

2 ,当且仅当 ( ?

5 2

1 m) ? (1 ? m) 即 m=1 时取等号 ?? 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? 0 ?为 x 轴上一动点,过?作直线交抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 于?、?两点,设?



?

t ? tan ?AOB ,试问: a 为何值时,?取得最小值,并求出最小值。?
y ? k ( x ? e) ?

、解:交??与 x 轴不重叠时,设??的方程为

合?

? y ? k ( x ? a) ? y ? 2 px
2

??消?可得: k

2

x 2 ? 2(k 2 a ? p) x ? k 2 a 2 ? 0 ?

设? ( x1 ,

y1 ) ??? ( x 2 , y 2 ) ??则 x1 x2 ? a2 , y1 y 2 ? ?2Pa ?交??与?轴重叠时,上述
1 1 OA ? OB sin ?AOB ? OA ? OB con?AOB ? lin?AOB 2 2


结 论 仍 然 成 立 SO AOB ? ∴

t?

1 OA ? OB con?AOB 2

OA ? OB ? con?AOB ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2
当 a ? p 时 ??? 取 “ ? ” , ?? 综 上 ? 当

p2 1 1 2 1 2 1 2 ∴ t ? ( x1x2 ? y1 y2 ) ? (a ? 2ap) ? (a ? p) ? p ≥ ? 2 2 2 2 2
e ? p时 ? tmin ? ?
? ? ?

p2 2

?

本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有!


赞助商链接

抛物线习题精选精讲

抛物线习题精选精讲_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net 抛物线? (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆...

高二数学知抛物线习题精选精讲

高二数学知抛物线习题精选精讲 - 抛物线 (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的...

最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练_图文

最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练 - 最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练 1 如图,抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(...

专题 双曲线与抛物线经典精讲 课后练习

专题 双曲线与抛物线经典精讲 课后练习 - 双曲线与抛物线经典精讲课后练习 题一:双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是___. x2 y2 题二:设 P 是双...

高考数学(精讲 精练 精析)专题10_3 抛物线试题 文(含解析)

高考数学(精讲 精练 精析)专题10_3 抛物线试题 文(含解析)_其它课程_高中...【解析】(Ⅰ)由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x...

圆锥曲线习题精选精讲

圆锥曲线习题精选精讲 - 习题精选精讲 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义 1.圆锥曲线的两个定义: 圆锥曲线的两个定义 (1) 第一定义中要重视 括号” 内的限制...

高三数学第一轮复习:抛物线(理)人教版知识精讲.doc

高三数学第一轮复习:抛物线(理)人教版知识精讲.doc_数学_高中教育_教育专区。...0 满足题意,故 k 的取值范围是 (?1,1) [例 5] 设 A( x1 , y1 ),...

高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲

高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲_数学_高中教育_教育专区。椭圆 ...?8 。选B二、填空题 3.(2007 广东文 11)在平面直角坐标系 xOy 中,已知...

高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲 - 专题 椭圆 双曲线 抛物线 一、椭圆 定义 顶点 焦点 长轴 短轴 焦距 通经长 离心率 到两个定点的距离之和等于定值的点...

中考数学压轴题精讲精练,举一反三

中考数学压轴题精讲精练,举一反三 - 中考数学压轴题---精讲精练,举一反三 1、如图,在平面直角坐标系中,直线 点 A 在 x 轴上,点 B 的横坐标为-8. ...