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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.1计数原理


高考一轮复习热点难点精讲精析: 11.1 计数原理 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ※相关链接※ 1.如果完成一件事有 n 类办法,这 n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中哪一 种方法都能完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理; 2.在解题时,应首先分清楚怎样才算完成这件事,有些题目在解决时需要进行分类讨论,分 类时要适当地确定分类的标准,按照分类的原则进行,做到不重不漏。 ※例题解析※ 〖例〗在 1 到 20 这 20 个整数中,任取两个相加,使其和大于 20,共有几种取法? 思路解析: 采用列举法分类,先确定一个加法,再利用“和大于 20”确定另一个加数。 解答:当一个加数是 1 时,另一个加数只能是 20,1 种取法。 当一个加数是 2 时,另一个加数可以是 19,20,2 种取法。 当 一个加数是 3 时,另一个加数可以是 18,19,20,3 种取法。 ?? 当一个加数是 10 时,另一个加数可以是 11,12,??,20,10 种取法。 当一个加数是 11 时,另一个加数可以是 12,13,??,20,9 种取法。 ?? 当一个加数是 19 时,另一个加数是 20,1 种取法。 由分类加法计数原理可得共有 1+2+3+??+10+9+8+??=100 各取法。 (二)分步乘法计数原理的应用 ※相关链接※ 1.如果完成一件事需要分成 n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这 件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原 理。 2.解题时,关键是分清楚完成这件事是分类还分步,在应用分步乘法计数原理时,各个步骤 都完成,才算完成这件事,步骤之间互不影响,即前一步用什么方法,不影响后一步采取什么方 法,运用分步乘法计数原理,要确定好次序,还要注意元素是否可以重复选取 ※例题解析※ 〖例〗某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 无。某人想先选 定吉利号 18,然后从 01 到 17 中选 3 个连续的号,从 19 到 29 中选 2 个连续的号,从 30 至 36 中 选 1 个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下,至少要花多少元钱? 思路解析:本题中要完成选彩票这件事,必须把 1 到 17 中的 3 个连续号,19 到 29 中的 2 个 连续号,30 到 36 中的 1 个号都选出才算完成这件事,所以完成这件事可分三步,用分步乘法计数 原理解决。 解答:第 1 步:从 01 到 17 中选 3 个连续号有 15 种选法; 第 2 步:从 19 到 29 中选 2 个连续号有 10 种选法; 第 3 步:从 30 到 36 中选 1 个号有 7 种选法。 由分步乘法计数原理可知:满足要求的注数共有 15×10×7=1050 注,故至少要花 1050× 2=2100 元。 (三)两个计数原理的综合应用 〖例〗用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2000 大的四位偶数。 思路解析:先根据条件把“比 2000 大的四位偶数”分类 ? 选取千位上的数字 ? 选取百位上 的数字 ? 选取十位上的数字。 解答:完成这件事有 3 类方法: 第一步是用 0 做结尾的比 2000 大的 4 位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的 数字,只有 2,3,4,5 可以选择,有 4 种选法;第二步,选取百位上的数字,除 0 和千位上已选 定的数字以外,还有 4 个数字可供选择,有

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