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广东省珠海市2014-2015学年高一下学期期末考试数学(A卷)试题


珠海市 2014~2015 学年度第二学期期末学生学业质量监测

高一数学试题(A 卷)
试卷满分为 150 分,考试用时 120 分钟.考试内容:必修三、必修四. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上. )CDABA BACDCDA 1.某学校有高中学生 900 人,其中高一有 400 人,高二 300 人,高三 200 人,采用分层抽样 的方法抽取一个容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为 A.30、10、5 B.25、15、5 C. 20、15、10 D.15、15、15 C

2.从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是 0.4,摸出的 球是黑球的概率是 0.25,那么摸出的球是白球或黑球的概率是 D A.0.35 B.0.65 C.0.1 D.0.6 INPUT x 3.当输入 x ? ?1 , y ? 20 时,右图中程序运行后输出的结果为 A.3; 43 B. 43;3 C.-18;16 A
INPUT y IF x<0 THEN x=y+3 ELSE y=y-3 END IF PRINT x-y ,y+x END

D. 16;-18

4.将二进制数 11100 ( 2) 转化为四进制数,正确的是 B A. 120( 4 ) B. 130( 4 ) C. 200( 4) D. 202( 4)

5.从 2010 名学生中选 50 人组成参观团,先用简单随机抽样方法剔除 10 人,再将其余 2000 人从 0 到 1999 编号,按等距系统抽样方法选取,若第一组采用抽签法抽到的号码是 30, 则最后一组 入选的号码是 A A.1990 B.1991 C.1989 D.1988

6. 已知 x ,y 的值如右表所示: 如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 y ? bx ? 3.4 , 则b ? B A. 1 . 2 C. 3 . 2 B. 2 .2 D. 4 .2

x

1 5

2 9

3 10

4 11

5 15

y

? 7.已知矩形 ABCD , AB ? 5 , BC ? 7 ,在矩形 ABCD 中随机取一点 P ,则 ?APB ? 90

出现的概率为 A.

A B.

5? 56

5 56

C.

5? 28

D.

5 28

8.如图是在一次全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图,去掉

一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6

C 7 7 8 44647 9 3

D. 85,4

9.已知 tan(? ? A. 1

?
5

) ? 2 , tan( ? ?
5 7
C.

4? ) ? ?3 ,则 tan(? ? ? ) ? D 5
D. ?1

B. ?

5 7

10.下列关系式中正确的是
0 0

C
0

A. sin11 ? cos10 ? sin168 C
0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

0


0

sin110 ? sin1680 ? cos100
0

开始 s=0,n=1

D. sin168 ? cos10 ? sin11

11.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 D A. ? 3 B.
1? 3 2

C.

1? 3 2

D.

3 2

n<=25? 是



? ? ? ? 2 12. 设 a ?b ? 4 , 若 a 在 b 方向上的投影为 , 且 b 在 a 方 3 ? ? 向上的投影为 3,则 a 和 b 的夹角等于 A ? ? 2? ? 2? A. B. C. D. 或 3 6 3 3 3

s=s+sin

n? 3

输出 s

n=n+1

结束

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

3) 在角 ? 的终边上,则 2 cos(? ? 13.已知点 P(?4 ,

?
4

)?

.?

7 5
.3/10 .0 .

14.从二男三女 6 名学生中任选 2 名,则 2 名都是女学生的概率等于 15.求值: sin (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin (
3 2

?
2

? ? ) ? cos(

3? ??) ? 2

| b |? 1 , | a ? 2b |? 2 3 , 16. 已知平面向量 a , b , 则 a , b 的夹角大小为 a ? ( 3,1) ,

? 3

17.将函数 f ( x) ? sin 2 x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所
D F E A B C

得图像向左平移

? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.则 g ( x) ? 4

sin( x ?

?
4

)



18 . 如 图 , 在 边 长 为 3 的 正 方 形 ABCD 中 , AC 与 BD 交 于 F , AE ?

1 AD , 则 3

??? ? ??? ? E F ? B D?

.?3

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.) 19 .如图:已知扇形 MON 所在圆半径为 1 , ?MON ?

?
2

, 扇形内接矩形 ABOC ,设
M

?AON ? ? .
(1)将矩形面积 S 表示为 ? 的函数,并指出 ? 的取值范围; (2)当 ? 取何值时,矩形面积 S 最大,并求 S 的最大值. 解:(1)由条件 OA ? 1 , ?AON ? ? ? OC ? cos ? , AC ? sin ? ??2 分

B

A

1 ? S ? sin ? cos ? ? sin 2? 2
其中 0 ? ? ?

??4 分 ??6 分

O

C

N

?

2

(2) ? 0 ? ? ?

,? 0 ? 2? ? ? ??8 分 2 ? ? 故当 2? ? ,即 ? ? 时,??10 分 2 4 1 S max ? . ??12 分 2

?

20.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克) 如下: 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401, 403,406,407,410,412,415,416,422,430. 分组 频数 频率
0. 032 0. 028 0. 024 0. 020 0. 016 0. 012 0. 008 0. 004 360 370 380 390 400 410 420 430 亩产量 频率 组距

[360 , 370) [370 , 380) [380 , 390) [390 , 400) [400 , 410) [410 , 420)
[420,430] 合计

(1)求这二十五个数据的中位数; (2)以组距为 10 进行分组,完成答题卡上的品种 A 亩产量的频率分布表; (3)完成答题卡上的品种 A 亩产量的频率分布直方图. 解:(1) 这二十五个数据的中位数是 397.??4 分 (2)品种 A 亩产量的频率分布表如下:

分组 [360,370) [370,380) [380,390) [390,400) [400,410) [410,420) [420,430) 合计

频数 1 2 3 7 6 4 2 25

频率 0.04 0.08 0.12 0.28 0.24 0.16 0.08 1.00 ?????????8 分

(3)品种 A 亩产量的频率分布直方图如下:

频率 0. 032 0. 028 0. 024 0. 020 0. 016 0. 012 0. 008 0. 004 360 370 380 390 400 410 420 430 亩产量 组距

???12 分 21.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示: (1)求 ? , ? 的值; (2) 设函数 g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ? 的值域. 解:(1)由图象知: T ? 4(

x 2

? x ? [ , ] 时, ) ?1 , 当 x ?0 求函数 g ( x) 2 2 8

?

? 2? ? ) ? ? ,则: ? ? ? 2 ,????2 分 2 4 T

由 f (0) ? ?1 得: sin? ? ? 1,即: ? ? k? ?

?

2

(k ? z ) ,????? 4

分 ∵ | ? |? ? ∴

? ??

?
2



????????????6 分

(2)由(1)知: f ( x) ? sin(2 x ? ∴ g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

?
2

) ? ? cos 2 x ,????????7 分

x 2

x ? ? ) ? 1 ? 2 2( ? cos x)[ ? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

? 2 2 cos x[

2 (cos x ? sin x)] ? 1 ? 2cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 2

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,?????????10 分 4
当 x ? [0,

?

?
2

] 时, 2 x ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,则 sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 4 4 4 4 2

∴ g ( x) 的值域为 [?1, 2] 。???????????????12 分 22 . 已知 ?OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2,9) , B(6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14 ,且

??? ? ??? ? ???? ??? ? OP ? ? PB ,点 Q 是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 .

(1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ (含端点)上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB) 的取值范围. 解:(1)设 P(14, y) , 则 OP ? (14, y), PB ? (?8, ?3 ? y) , 由 OP ? ? PB , 得 (14, y) ? ? (?8, ?3 ? y) , 解得 ? ? ? ????2分

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?
??? ?

??? ?

?????1 分

??? ?

7 , y ? ?7 , 4
????3分

所以点 P(14, ?7) 。 (2)设点 Q (a, b) , 则 OQ ? (a, b) , 又 AP ? (12, ?16) , 则由 OQ ? AP ? 0 ,得 3a ? 4b ?????①

???? ??? ?

???? ??? ?

????5分

又点 Q 在边 AB 上, 所以

12 b ? 3 ? ,即 3a ? b ? 15 ? 0 ?????② ?4 a ? 6

???6分

联立①②,解得 a ? 4, b ? 3 , 所以点 Q(4,3) ????7分

(3)因为 R 为线段 OQ 上的一个动点,故设 R(4t ,3t ) ,且 0 ? t ? 1 ,????8分 则 RO ? (?4t , ?3t ) , RA ? (2 ? 4t ,9 ? 3t ) , RB ? (6 ? 4t, ?3 ? 3t ) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? RA+RB ? (8 ? 8t,6 ? 6t ) ,
则 RO ? ( RA ? RB) ? ?4t (8 ? 8t ) ? 3t (6 ? 6t ) ? 50t 2 ? 50t (0 ? t ? 1) ,????10分 在 t 的取值范围内,最大值是 0,最小值是 ? 故 RO ? ( RA ? RB) 的取值范围为 [ ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

25 2

?????11 分 ?????12分

25 , 0] 2

23.已知二次函数 f ( x ) = ax ? bx ? 1 , A ? {x | 1 ? x ? 3} , B ? {x |1 ? x ? 4} .
2

若 a 是从集合 A 中随机取的一个实数, b 是从集合 B 中随机取的一个实数,求关于 x 的方程

1 1 f ( x) =0 一根在区间 (0 , ) 内,另一根在 [0 , ] 外的概率. 2 2 1 1 解:设事件 A 为“关于 x 的方程 f ( x ) =0 一根在区间 (0 , ) 内,另一根在 [0 , ] 外” . 2 2
???1 分

1 ≤ b ≤ 4 .???2 分 试验的全部结果所构成的区域为 ? ? ( a,b) |1 ≤ a ≤ 3,

?

?

? f (0) ? 1 ? 0

???????????????3 分
1 f( )?0 2
????6 分

?若满足事件 A,须
即 即

1 1 a ? b ?1 ? 0 4 2 a ? 2b ? 4 ? 0

???????????????7 分
????8 分

? 1≤ a ≤ 3 ? ?构成事件 A 的区域为 ? 1≤ b ≤ 4 ?a ? 2b ? 4 ? 0 ?
表示的区域如图所示的阴影部分

1) , B(3 , 1) , C (3 , 4) , D(1, 4) , E (3 , 3.5) , F (1, 2.5) 其中 A(1 ,

1 3 ? 阴影部分的面积为 S A ? 2 2 ? 2 ? 2 2
区域 ? 的面积为 S? ? 2 ? 3 ? 6

???????????????9 分 ???????????????10 分 ????11 分

?事件 A 的概率为 P( A) ?

SA 2 1 ? ? S? 6 3

? f ( x) =0 一根在区间 (0 , ) 内,另一根在 [0 , ] 外的概率为 ????12 分

1 2

1 2

1 3


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