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江西省抚州市2011届高三模拟联考数学(理)试题


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高三数学(理)试题
一、选择题: (每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,10 小题,共计 50 分) 1.已知复数 z ? (2 ? i )i ,则复数 z 的实部与虚部的积是( ) 。 A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 2 4 6 8 则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 必过点 ( ) 。 A.(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D. (1.5,5) 3.已知:全集为实数集 R ,集合 A ? ? x | 值为( ) 。 A.2 B. ?2

? ?

1 ? ? x ?1 ? ? 0? ,集合 ? A ? ? y | y ? x 3 , x ? ? ?1,8?? ,则实数 m 的 U x?m ? ? ?

C.1
x

D. ?1

4.已知命题 p :函数 f
x x

? x? ? ? ?

1? ? 1? ? ? log1 x在 区 间 ? 0, 3 ? 内 存 在 零 点 , 命 题 q : 存 在 负 数 x 使 得 ? ? ?2? 3

? 1? ?1? ? ? ? ? ? ,给出下列四个命题① p 或 q ,② p 且 q ,③ p 的否定,④q 的否定, ? 2? ? 3?
真命题的个数是( ) 。 A.1 B.2 C.3 D.4
2

5. 如图,设 T 是直线 x ? ?1 , x ? 2 与函数 y ? x 的图像在 x 轴上方围成的直角梯
2 形区域, S 是 T 内函数 y ? x 图像下方的点构成的区域 (图中阴影部分) 向 T 中 。

随机投一点,则该点落入 S 中的概率为(

?1 O 2 x 1 1 C. D. 3 2 6.已知“整数对”按如下规律排成一列: 1 , 1? , 1 , 2? ,? 2 , 1? , 1 , 3? ,? 2 , 2? ,?3 , 1? , 1 , 4? , 2 , 3? , ? ? ? ? ?

) 。

1 A. 5

2 B. 5

?3 , 2? , ? 4 , 1? ,……,则第 70 个数对是( A. ? 2 , 11? B. ?11 , 2 ?
[来源:学科网]

) 。 C.

? 4 , 9?

D.

? 9 , 4?

7.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为( ) 。 A. 16 ? 3 8.在二项式 ( x ? B.
19 12

?

C.

19 3

?

D. 4 ? 3

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的
)。

项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A.

1 1 1 5 B. C. D. 6 4 3 12 2 2 x y ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆的周长为 ? ,A、B 两点的坐 9. 椭圆 25 16 标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为( ) 。
A. 5 3 B. 10 3 C. 5 6
41 D. 5 41

第 9 题换题为(第 5 套模拟试题第 11 题)

1

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2 10.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ,若 1 ? a ? b 且 f ? a ? ? f ?b ? ,则 b ? a 的取值

范围是( A. 0, 2 ? 2

?

?

) 。

B. 0, 2

?

?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0,3? 开始

二、填空题: (请填上正确答案,每小题 5 分,5 小题,共计 25 分)

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 11.已知 OA =(cos?, sin?),OB =(2cos?, 2sin?), OA · 若 OB
=-1,则 cos(?-?)的值为_____________。

输入 x

12.在一个算法的流程图中(图中 x ∈ N ? ),若当输入 x 的值 为 10 时,输出的结果为_____________。 说明:题中及图中均有修改,答案改为:1 y=lg(1+3+5+…+2x-1) 13. 已知奇函数 f ? x ? 对任意实数 x 满足 f ? 2 ? x? ? f ? x?
x

是 N

x<10 否 Y y=lg(x2-90)

且当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x ? 4 ,则在区间 ? 0,8? 上,不等式

输出 y

f ? x ? ? 1 的解是_________________。
14.若 {bn } 是等 比数列 , m, n, p 是互不相等的正整数,则有 正确的结论: ( 第 12 题 结束

bp bn

)m ? (

bm n bn p ) ? ) ? 1 。类比上述性质,相应 ( bp bm

地,若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,则有正确的结论: 15. 选做题: (从所给的 A,B 两题中任选一题作答. 若做两题,则按第一题 A 给分,共 5 分. ) A.在极坐标系 ( ? ,? ),(0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的交点坐标为_________ __。 B.已知 x, y, z ? R ,有下列不等式: ( 1 ) x ? y ? z ? 3 ? 2? x ? y ? z ? ; 2 ) (
2 2 2

x? y ? xy ; 3 ) x ? y ? x ? 2 ? y ? 2 ; 4 ) ( ( 2

x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx 。其中一定成立的不等式的序号是________________。
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。其中(16)~(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答 应写出文字说明,正明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

s i (Ⅱ) 设△ ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c , c ? 3, f (C) ? 3 , 2 且 若 n 的值. 说明:删去题中的红色字“与垂直”
2

A? n s i

B 与垂直, a , b 求

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17. (本小题满分 12 分)某工厂有 120 名工人,其年龄 都在 20~60 岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40), [40,50),[50,60]分组,其频率分布直方图如下图所示. 工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备,要求每个 工人都要参加 A、B 两项培 训,培训结束后进行结业考 试,已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如 下表所示.假设两项培训是相互独立的,结业考试也互不 影响。 年龄分组 [20,30)
网] [来源:学科

A 项培训成绩优秀人数 30

B 项培训成绩优秀人数 18

[30,40) [40,50) [50,60]

36 12 4

24 9 3

(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 40 的样本,求各年龄段应分别抽取的人数,并估计全 厂工人的平均年龄; (2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取 1 人,设这两人中 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数 为 X,求 X 的分布列和数学期望。

18.(本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形, AB∥EF,∠EAB=90?,AB=2,AD=AE=EF=1,平面 ABFE⊥平面 ABCD。 (1)若点 O 为线段 AC 的中点, 求证: OF // 平面ADE ; (2)求平面 BCF 与平面 DCF 所夹的角。

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 ,

n ? an?1 ? Sn ? n ? n ? 1? 。
3

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(1)令 bn ? ( ) ? S n ,是否存在正整数 m ,使得对一切正整数 n ,总有 bn ? m ,若存在,求出 m 的最小值;
n

2 3

若不存在,说明理由。 (2)令 Cn ?

4 n (n ? N ? ) , ?Cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: Tn ? 3 2 an

n? N? 。

[来源:学科网]

20. (本小题满分 13 分)过抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点
p B M ( 2 , p ) 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于 A、 两点。

(1)求证:直线 AB 的斜率为定值;

(2)已知 A, B 两点均在抛物线 C : y2 ? 2 px ? y ? 0? 上,若△

MAB 的面积的最大值为 6,求抛物线的方程。

21. (本小题满分 1 4 分)已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ax ?1 ( a 是不为零的常数且 a ? R ) 。
x

(2)当 a ? ?1 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ??1,1? 上有两个解,求实数 t 的取值范围;

(1)讨论函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调性; ( 3 ) 是 否 存 在 正 整 数

N , 使 得 当 n? N? 且 n ? N 时 , 不 等 式 1 ? 1? ? ? ? ?1 恒成立, 找出一个满足条件的 N , 并证明; f ? ?1? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? f ? ? ? ? n ? 2 0 1 1 若存在, ? 2? ? 3? ? n?
若不存在,说明理由。

4

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高三数学(理)试题 参考答案
一.选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A B B C 提示: 3.∵ CU A ? [?1,2] ,∴ A ? (??,1) ? (2,?? ) ,∴ m ? 2 . 7 C 8 D 9 C 10 C

4.∵ y ? log 1 x 在 x ? (0, ) 为减函数,且 log 1 x ? 1 , y ? ( ) x 在 x ? (0, ) 为减函数,且 ( ) x ? 1 ,∴
3 3

1 3

1 2

1 3

1 2

1 1 1 f ( x) ? ( ) x ? log1 x 在 x ? (0, ) 恒有 f ( x) ? 0 ,即 f (x) 在 x ? (0, ) 不存在零点,命题 P 错误.当 x ? 0 时, 2 3 3 3

1 1 “q ( ) x ? ( ) x ,即命题 q 错误.∴只有“p 的否的”是对的, 的否定”是对的. 2 3

S 3 2 1 3 2 ? . x | ?1 ? 3 , p ? 阴影 ? ?1 S 梯形 1 5 3 (1 ? 4) 3 ? 2 0 1 1 1 2 8 展 开式这的前三项系数分别是 C n , C n , C n ,且成等差数列,所以得 n=8,则展开式中有 9 项,其中第 2 4 A6 A3 5 1,5,9 项分别为有理项,所以有理项不相邻的概率为 P ? 6 9 7 ? 12 A9
5. S阴影 ?

?

2

x 2 dx ?

9

y

10.作出函数的图像,如图, 由于 0 ? a ? b ,可知 2 ? 1 ? b ? 3

2

1 ? a ? 2 ? 1 ,所以 0?b?a?2 二.填空题:

1 1 3 9 11 ; 12. 1; 13. ( , ) ? ( , ) ; 2 2 2 2 2 14. m(ap ? an ) ? n(am ? ap ) ? p(an ? am ) ? 0
11. - 15.A: ( 2, 提示:

O

1

2 ?1 3 x

3? ) 4

B: (3)(4) (1)

12. 当 x=10 时,不满足条件 x<10,所以为“否” ,得 y ? lg(x 2 ? 90) ? lg(10 2 ? 90) ? 1,所以输出 1.

1 ? x ? 1 ,由于 f (2 ? x) ? f ( x) ,知函数关于直线 x ? 1 对 2 3 1 3 称, 所以函数在 x ? [1,2] 时, f ? x ? ? 1 可解得 1 ? x ? , 即在 x ? [0,2] 时, 满足 f ? x ? ? 1 的解为 ( , ) , 2 2 2 又 函 数 为 奇 函 数 , f ( x ) ? ? f ( ? x) , 所 以 得 f ( 2 ? x ) ? ? f ( ? x ) , 可 知 函 数 的 周 期 为 4 , 所 以 当 1 3 9 11 x ? ( ? 4, ? 4) 即 x ? ( , ) 也满足 f ? x ? ? 1 2 2 2 2
13. 由 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ? 4 ? 1 ,解得
x

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三.解答题:

[来源:Zxxk.Com]

17.解: (1)由频率分布直方图知,年龄段 ?20,30?, ?,30,40?, ?,40,50?, ?,50,60? 的人数的频率分别为

0.35,; ;0.15, 0.1 0.40 , ; ;
0.4 0.15 0.1 因为 0.35 ? 40 ? 14; ? 40 ? 16; ? 40 ? 6; ? 40 ? 4
所以年龄段 ?20,30?, ?,30,40?, ?,40,50?, ?,50,60? 应取的人数分别为 14;16;6;4;??????????????????3 分

0.40 ,0.15,; ; 0.1 因为各年龄组的中点值分别为 25;35;45;55;对应的频率分别为 0.35,; ;
则 X ? 25 ? 0.35 ? 35 ? 0.4 ? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.1 ? 35 由此估计全厂工人的平均年龄为 35 岁. ???????????????6 分 (2)因为年龄段 ?20,30? 的工人数为 120 ? 0.35 ? 42 人,从该年龄段任取 1 人, 由表知,此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率 B 项培训结业考试成绩优秀的概率

30 5 ? ; 42 7

18 3 ? 42 7 15 。?????????8 分 49

所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为

因为年龄段 ?30,40? 的工人数为 120 ? 0.4 ? 48 人,从该年龄段任取 1 人,由表知,此人 A 项培训结

6

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36 3 24 1 ? ; 项培训结业考试成绩优秀的概率 ? 。 B 48 4 48 2 3 考试成绩都优秀的概率为 。??????10 分 8
业考试成绩优秀的概率 由题设X 的可能取值为 0,1,2;

所以 A,B 两项培训结业

P( X ? 0) ? (1 ?

15 3 170 15 5 34 3 177 )(1 ? ) ? ; P( X ? 1) ? ? ? ? ? 49 8 392 49 8 49 8 392 267 3 15 45 P ( X ? 2) ? ? ? , E( X ) ? 。?????????????? 12 分 392 8 49 392

19.解: (1)令 n ? 1 , 1? a2 ? a1 ? 1? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 由?

?n ? an ?1 ? Sn ? n ? n ? 1? ? ?? n ? 1? ? an ? Sn ?1 ? n ? n ? 1? ?

[来源:学科网 ZXXK]

? n ? an?1 ? ? n ?1? an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2 ? n ? 2?
* ∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ?1 ? an ? 2 n ? N ,

?

?

7

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即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列, ∴ an ? 2n ???????2 分 ∴ Sn ? n(n ? 1) ,

2 2 bn ? ( ) n ? S n ? ( ) n ? n(n ? 1) 3 3

?

bn ?1 2 2 ? ( )(1 ? ) ? 1,解得 n≤4, ??????????????????4 分 bn 3 n

∴ b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? b7 ? …… ? bn ? …… ∴ b4 ? b5 ?

320 320 最大,∴m≥ , ∴m 的最小值为 4 . ???????????6 分 81 81

(2)∵ Cn ?

4 n 4 n n ? ? 2 2 2 an (2n) n
n n k 1 ?? 2 ak k ?1 k3

?Tn ? c1 ? c2 ?……cn ? ?
k ?1

? 1? ?
k ?2

n

n 1 2 ? 1? ? (k ? 1)k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 1) ? (k ? 1) ? (k ? 1) k ?2 n 2 k ?1 ? k ?1 ? 1? ? ??????9 分. (k ? 1)(k ? 1) ? ( k ? 1 ? k ? 1) (k ? 1)(k ? 1) k ?2

? 1? ?
k ?2

n

? 1? ? (
k ?2

n

1 1 2 1 1 2 ? ) ? 1 ? (1 ? ? ? ) ? 2? ? 3. 2 2 k ?1 k ?1 n n ?1

∴ Tn ? 3 ?????????????????????????? 12 分. 另解?Tn ? c1 ? c2 ? ……cn ?

?
k ?1

n

n k 1 ?? 2 ak k ?1 k3

? 1? ?
k ?2

n

n n 1 1 2 1 2 ??? ? 1? ? ? ? 1? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 1) 2 k (k ? 1)(k ? 1) k ? 1 ? k ? 1 k ?2 k ?2

?9 分.

? 1? ? (
k ?2

n

1 1 2 1 1 2 ? ) ? 1 ? (1 ? ? ? ) ? 2? ? 3. 2 2 k ?1 k ?1 n n ?1

∴ Tn ? 3 。??????????????????????? 12 分. 20 解: (1)不妨设 A (

y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) 2p 2p

8

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kMA ? ?kMB ? y1 ? y2 ? ?2 p,? k AB ?

y2 ? y1 ? ?1 ? ????????????5 分 2 y2 y12 ? 2p 2p

(2)AB 的直线方程为: y-y1 ? ?( x ?

y12 y2 ),即x ? y ? y1 ? 1 ? 0 2p 2p
。???????????????7 分

点 M 到 AB 的距离 d ?

3 p 2 ? 2 py1 ? y12 2 2p

AB ? 2 x2 ? x1 ? 2

2 y2 y12 2 ? ? y1 ? y2 ? y2 ? y1 ? 2 2 p ? y1 ??? 9 分 2p 2p 2p

又由 y1 ? y2 ? ?2 p 且 y1, y2 ? 0, y1 ???2 p,0? , 令p ? y1 ? t,?t ??? p, p?

S ?MAB

3 p 2 ? 2 py1 ? y12 1 1 ? ? 2 2 P ? y1 ? ? 4 p 2t ? t 3 ????????? 11 分 2 2p 2 2p

2 3 设 f (t ) ? 4 p t ? t 为偶函数,故只需考虑 t ? ?0, p? ,

所以 f (t ) ? 4 p2t ? t 3 , f (t )? ? 4 p2 ? 2t 2 ? 0, f (t )在?0,p? 上递增,
3 当 t ? p 时, f (t ) max ? 3 p ? ( S?MAB ) max ?

1 3 ? 3 p3 ? p 2 2p 2
2

?

3 2 p ? 6 ? p ? 2。 2

故所求抛物线的方程为 y ? 4 x ????????13 分

21.解: (1)因为 F ? x ? ? ? ax ? 1? e ,
x

1? ? ? ,????????1 分 a? ? 1 当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 ? , a 1 1 所以 F ? x ? 在区间 ( ??, ?1 ? ) 上是减函数,在区间 ( ?1 ? , ?? ) 上是增函数;??3 分 a a 1 当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 ? , a 1 1 所以 F ? x ? 在区间 ( ??, ?1 ? ) 上是增函数,在区间 ( ?1 ? , ?? ) 上是减函数;??5 分 a a
所以 F ' ? x ? ? ae ? ? ax ? 1? e ? ae ? x ? 1 ?
x x
x

(2) a ? ?1 时, (1) 当 由 知道 F ? x ? 在区间 ? ??,0 ? 上是增函数, 在区间 ? 0, ?? ? 上是减函数, 所以当 x ? 0 时取得极大值 F ? 0? ? 1,????????7 分 又 F ? ?1? ?

2 , F ?1? ? 0 ,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ??1,1? 上有两个 解, e
9

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实数 t 的取值范围是 [ ,1) ;????????????????????9 分 (3)存在 N ? 2
4022

2 e

.由(2)知道当 a ? ?1 时, F ? ?

? 1? ? ?1即 ? n?

? 1 ?? 1 ? f ? ? ?? ? 1? ? 1 ? n ?? n ?

即 f ??

1 n 1 ? 1? ? ? 1? ????????11 分 ?? n ?1 ? n ? 1? 1 n ?1 n

所以 f ? ?1? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? f ? ? 当n ? 2
4022

? 1? ? 2?

? 1? ? 3?

1 ? ? 1? ?1 1 1 ? ? n ? ? ? ? ??? ? ?12 分 n ?1 ? ? n? ?2 3 4

时,

1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1 1 1? 1 1 ? ? 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4021 ? 4021 ? ? ? 4022 ? 2 3 4 n ?1 2 ? 3 4 ? ? 5 6 7 8 ? 2 ? ? 2 ?1 2 ? 2 1 ?1 1? ?1 1 1 1? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4022 ? 4022 ? ? ? 4022 ? ? ? 4022 ? 2011 2 ? 4 4? ?8 8 8 8? 2 2 ? 2 ?2
? 1? f ? ?1? ? f ? ? ? ? ? 2? ? 1? f ? ? ? ??? ? 3? ? 1 ? 。????????14 分 f ?? ? ? n? 2 0 1 1 ? n?

所以:

10


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