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2013-2014学年度江苏省邗江中学下学期高一数学期末模拟试卷(含答案)


高一第二学期数学期末考试模拟试卷
班级 姓名
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填在相应位置上) 3 1.过点 A(0,2)且倾斜角的正弦值是 的直线方程为____ _. 5 2.直线 l1:x-ky+1=0,l2:kx-y+1=0,若 l1∥l2,,则两直线的距离等于________.

?x ? 2 y ? 0 ? 3.设 z ? x ? y, 其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12 ,则 z 的最小值为________ ?0 ? y ? k ?
4.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________. 5.设关于 x 的不等式 x 2 ? x ? 2nx (n ? N *) 的解集中整数的个数为 a n ,数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n ,则 S100 = 6.若 ? ? ? 0, . .

? ?

??

? ? , cos( 4 ? ? ) ? 2 2 cos 2? ,则 sin 2? = 2?
2

7.在 ?ABC 中,已知 2CA ? CB ? c 2 ? ?a ? b? ,则 ? C ?

.

8.已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2是a2 , a4 的等差中项, 若 bn ? log 2 an?1 ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n = . 学科网

9.已知钝角三角形 ABC 的最大边长是 2,其余两边长分别是 a , b ,则集合 P ? {( x, y) | x ? a,

y ? b} 所表示的平面图形的面积是



10.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 中, a1a2 ? ?2 .则当 a3 取最大值时,数列 ?an ? 的公差

d?

.

11.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1,由直线 l : x ? y ? k ? 0 上一点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A, B,若在直线 l 上至少存在一点 P,使 ?APB ? 60 ,则 k 的取值范围是
0

.

12.在 ?ABC 中,若 a , b, c 成等比数列,则 cos 2B ? cos B ? cos(A? C) ? _________. 13. 如果圆(x-2a) +(y-a-3) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1, 则实数 a 的取值范 围是_____ ___. 14.下面的数组均由三个数组成:(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20), (5,32,37),…,( an,bn,cn ).若数列{ c n }的前 n 项和为 Sn ,则 S10 =
2 2

期末模拟试卷二第 1 页 共 8 页

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ?3x 2 ? a(5 ? a) x ? b 错误!未找到引用源。.(1)当不 等式 f ( x) ? 0 错误!未找到引用源。的解集为 (?1,3) 错误!未找到引用源。时, 求实数 a , b 错 误!未找到引用源。的值;(2)若对任意实数错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 恒成立, 求实数 b 错误!未找到引用源。的取值范围. (3)设 b 为常数,解关于 a 的不等 式 f (1) ? 0 .

1 13 , cos ? A ? B ? ? 且 B? A. 7 14 (1)求角 B 和 sin C 的值; (2)若 ?ABC 的边 AB ? 5 ,求边 AC 的长.
16.(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,已知 cos A ?

17. (本小题满分 1 5 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3an?1 ? 2Sn ? 3 (1) 求数列 ?a n ?的通项公式;(2)对任意正整数 n ,是否存在 k ? R ,使得 Sn ? k 恒成立?若存 在,求是实数 k 的最大值;若不存在,说明理由.

18. (本小题满分 16 分)图 1 是某斜拉式大桥图片,为了了解桥的一些结构情况,学校数学 兴趣小组将 大 桥 的 结 构 进 行 了 简 化 ,取 其 部 分 可 抽 象 成 图 2 所 示 的 模 型 ,其中桥塔

期末模拟试卷二第 2 页 共 8 页

AB 、 CD 与桥面 AC 垂直,通过测量得知 AB =50m , AC =50m ,当 P 为 AC 中点时,
.(1)求 CD 的长; (2)试问 P 在线段 AC 的何处时, ?BPD 达到最大. ?BPD=45。

D

B

A

图2

P

C

19. (本小题满分 1 6 分)如图,圆 C : x ? (1 ? a) x ? y ? ay ? a ? 0 . (Ⅰ)若圆 C 与 x 轴
2 2

相切,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 a ? 1 ,圆 C 与 x 轴相交于两点 M , N (点 M 在点 N 的左 侧) .过点 M 任作一条直线与圆 O : x ? y ? 4 相交于两点 A, B .问:是否存在实数 a ,
2 2

使得 ?ANM ? ?BNM ?若存在,求出实数 a 的值,若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 1 6 分)已知数列{an}成等比数列, 且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m. ①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+…+ak+1- (ak+ak-1+…+a1 )=8,k∈N*, 求 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值.

期末模拟试卷二第 3 页 共 8 页

高一第二学期数学期末考试模拟试卷(答案)
一、填空题 1.3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0 2. 5.10100 6.

2

3.-6 8.

15 16

7.

? 3

3?2 25 4.(x+2)2+? ?y-2? = 4 9. π -2

n( n ? 3) 2

期末模拟试卷二第 4 页 共 8 页

10.-3 二、解答题

11.

[? 2 2 , 2 2 12 ] .1

13. (?

6 ,0) 5

14.2101

16.解: (1)由 cos A ?

1 13 ? ? ? 0 , cos ? A ? B ? ? ? 0 ,得 0 ? A ? 且 0 ? A ? B ? , 7 14 2 2
2

4 3 ?1? 可得 sinA ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? , 7 ?7?
2

3 3 ? 13 ? sin ? A ? B ? ? 1 ? cos 2 ? A ? B ? ? 1 ? ? ? ? , 14 ? 14 ?

2

1 13 4 3 3 3 1 ? cos ? ? A ? ? A ? B ?? ? ? cos A cos ? A ? B ? ? sin A sin ? A ? B ? ? 7 ? 14 ? 7 ? 14 ? 2 ,
0 ? B ? ? ,? B ?

?
3



在 ?ABC 中, C ? ? ? ? A ? B ? ,

? sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

4 3 1 1 3 5 3 ; ? ? ? ? 7 2 7 2 14

3 5? AB sin B AB AC 2 ? 7. ? ? (2)在 ?ABC 中,由正弦定理得: ,? AC ? sin C sin B sin C 5 3 14
17.解: (1)因 3an?1 ? 2Sn ? 3 ①

期末模拟试卷二第 5 页 共 8 页

? n ? 2 时, 3an ? 2Sn?1 ? 3



由① - ②得 3an?1 ? 3an ? 2an ? 0 ,? an ?1 ? 又 a1 ? 1,3a2 ? 2a1 ? 3 得 a2 ?

1 an (n ? 2) 3

1 1 ,? a2 ? a1 3 3
n ?1

1 ?1? 故数列 ?an ? 是首项为 1,公比 q ? 的等比数列,? an ? a1 q n ?1 ? ? ? 3 ?3?
(2)假设存在满足题设条件的实数 k ,由(1)知
n

?1? 1? ? ? n n a1 (1 ? q ) 3 ? ?1? ? 3? ? Sn ? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 1? q 2? ? ? ?3? ? 1? 3
n n ? 3 ? ?1? ? ? ?1? ? ? 由题意知,对任意正整数 n 恒有 k ? ?1 ? ? ? ? ,又数列 ?1 ? ? ? ? 单调递增, 2? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?3? ? 2 所以,当 n ? 1 时数列中的最小项为 ,则必有 k ? 1 ,即实数 k 最大值为 1. 3 h 18.解:(1)设 ?BPA ? ? , ?DPC ? ? , CD ? h ,则 tan ? ? 2 , tan ? ? , 25 h 2? 25 ? ?1,解得 CD ? h ? 75 . 由题意得, tan(? ? ? ) ? h 1? 2 ? 25 50 75 (2)设 AP ? x (0 ? x ? 50) ,则 tan ? ? , tan ? ? , x 50 ? x 50 75 ? 25( x ? 100) , ? tan ?BPD ? ? tan(? ? ? ) ? ? x 50 ? x ? 2 50 75 x ? 50 x ? 50 ? 75 1? ? x 50 ? x

x2 ? 50 x ? 50 ? 75 ? 0 ,? tan ?BPD ? 0 ,即 ?BPD 为锐角,
令 t ? x ? 100 ? (100,150) ,则 x ? t ? 100 ,

? tan ?BPD ?

25t 25t ? 2 , (t ? 100) ? 50(t ? 100) ? 50 ? 75 t ? 250t ? 50 ? 375
2

? tan ?BPD ?

25 25 1 , ? ? 50 ? 375 50 ? 375 2 30 ? 10 t? ? 250 2 t ? ? 250 t t

期末模拟试卷二第 6 页 共 8 页

当且仅当 t ?

50 ? 375 即 t ? 25 30 ? (100,150) , t

? AP ? 25 30 ?100 时, ?BPD 最大.
19.解: (Ⅰ)圆 C : x 2 ? (1 ? a) x ? y 2 ? ay ? a ? 0 化成标准方程为:

a ? ? 1 ? a ? a2 ? 1? a ? ? x ? ? y ? ? ? ? ? ?? ? ? ?a, 2 ? ? 2? ? 2 ? 4 ?
若圆 C 与 x 轴相切,那么有:
2 ? a ? ? 1? a ? a 2 2 ? ? ?? ? ? ? a ,解得 a ? 1 ,故所求圆 C 的方程为: x ? 2x ? y ? y ? 1 ? 0 . 4 ?2? ? 2 ?
2 (Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ,

2

2

2

2

2

即 ( x ? 1)(x ? a) ? 0 假设存在实数 a ,

所以 M (1,0), N (a,0)

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入 x ? y ? 4 得, (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 从而 x1 ? x 2 ?

2k 2 k2 ?4 , x x ? 1 2 1? k 2 1? k 2

因为

y1 y2 k[(x1 ? 1)(x2 ? a) ? ( x2 ? 1)(x1 ? a)] ? ? x1 ? a x2 ? a ( x1 ? a)(x2 ? a)

而 ( x1 ? 1)(x2 ? a) ? ( x2 ? 1)(x1 ? a) ? 2 x1 x2 ? (a ? 1)(x2 ? x1 ) ? 2a

?2

2a ? 8 k2 ?4 2k 2 ? ( a ? 1 ) ? 2a ? 2 2 1? k 2 1? k 1? k
2a ? 8 y1 y2 ? 0 ,得 a ? 4 . ? ? 0 ,即 1? k 2 x1 ? a x2 ? a
故存在 a ? 4 ,使得 ?ANM ? ?BNM .

因为 ?ANM ? ?BNM ,所以

当直线 AB 与 x 轴垂直时,也成立.

20 解:设公比为 q,则由题意,得 q>0.
? ?a1q ? a1 ? 8, (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,得 ? 2 ? ?a1q ? 48.

?a ? 8(2 ? 3), ?a ? 8(2 ? 3), ? ? 解之,得 ? 1 或? 1 ? ?q ? 3 ? 3. ?q ? 3 ? 3; ?
期末模拟试卷二第 7 页 共 8 页

所以数列{an}的通项公式为 an=8(2- 3 )(3+ 3 )n-1,或 an=8(2+ 3 )(3- 3 )n-1.
? ?a1q ? a1 ? 8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于 a1 与 q 的方程组 ? 2 有唯一正数解, ? ?a1q ? m.

即方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 由△=m2-32m=0,a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式是 an=2n 2. (2)由 a2k+a2k-1+…+ak+1- (ak+ak-1+…+a1 )=8, 得 a1(qk-1)(qk 1+qk 2+…+1)=8,且 q>1. a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k(qk 1+qk 2+…+1)
- - - - +

1 8q 2 k = 8(qk ? 1 ? k ? 2) ≥32, k q ?1 q ?1 1 当且仅当 qk ? 1 ? k ,即 q= k 2 ,a1=8( k 2 -1)时, q ?1
= a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值为 32.

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