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文科圆锥曲线 2

高二数学圆锥曲线测试高考题选讲(含答案)
一、选择题: x2 y2 4 1. (2006 全国 II)已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( 2 2 3 a b 5 4 5 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 4 2 )

x2 2. (2006 全国 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( (A)2 3 (B)6 ) (D)12 ) (C)4 3

3.(2006 全国卷 I)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4. (2006 广东高考卷)已知双曲线 3x2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线 的距离之比等于( A. 2 B. ) C. 2 D. 4 )

2 2 3

2 5.(2006 辽宁卷)方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为(

A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 6.(2006 辽宁卷)曲线 (A)焦距相等

B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(B) 离心率相等
2

(C)焦点相同

(D)准线相同 )

7. (2006 安徽高考卷)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ? 2 B. 2 C. ?4
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D. 4

8.(2006 辽宁卷)直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x (A)1 (B)2
2

(k ? R ,且k ? 0 ) 的公共点的个数为(
(D)4



(C)3 )

(2006 浙江卷)抛物线 y ? 8x 的准线方程是( (A) x ? ?2 (B)

x ? ?4

(C) y ? ?2

(D) y ? ?4

(2006 上海春)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为( ) (A) ( 0, 1 ) . (B) ( 1, 0 ) . (C) ( 0, 2 ) . 二、填空题:

(D) ( 2, 0 ) .

9. (2006 全国卷 I)双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
2 2



10. (2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) ,右顶
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点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? ,则求该椭圆的标准方程为 11.双曲线 2mx2 ? my2 ? 2 的一条准线是 y ? 1 ,则 m 的值是_____ 12.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线标准方程为 13. 14. 题目 答案 三 、解答题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 _____ ___。 ___。

? 1? ? 2?



15.已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,求它的标准方程。

16.求双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、虚半轴长和渐近线方程,并作出草图。 4

17.当 a 为何值时,直线 y ? ax ? 1 与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点?

18.中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴 与双曲线的半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

19.求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共焦点,且过点 (3 2 ,2) 的双曲线方程。 16 4

20.(2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶 点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

? 1? ? 2?

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高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
b 4 c 32 ? 42 5 1.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3
2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 , 所以选 C

| 4m ? 3m2 ? 8 | 2 3.设抛物线 y ? ? x 上一点为(m, -m ), 该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 , 当 m= 3 5
2
2

时,取得最小值为

4 ,选 A. 3

4.依题意可知 a ? 3, c ?

a2 ? b2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?
1 ,故选 A 2

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3

5.方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2,

6.由

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,由 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m

方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,故选 D。 7.椭圆 6 2
8.将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x
2 2 2 2 2 2 2 2

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选择答案 D。
(浙江卷)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A (上海春) (直接计算法)因为 p=2 ,所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 9.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴
2 2

.应选 B. m= ?

x2 m<0, 且双曲线方程为 ? ? y 2 ? 1 ,∴ 4

1 。 4

x2 ? y2 ? 1 10.椭圆的标准方程为 4
11. 12. 13.双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,即

c : b ? 5 : 4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是

x2 y 2 ? ?1. 9 16

14.设 △PF1F2 的内切圆分别与 PF1、PF2 切于点 A、B,与 F1F2 切于点 M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|
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=|F2M|,又点 P 在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,设 M 点坐标为(x,0) ,则由|F1M|-|F2M|=2a 可得(x+c)-(c-x)=2a 解得 x=a,显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴,故 A、D 正确。 15.解:因为抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,所以可设它的标准 方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) ,又因为点 M 在抛物线上,所以 ( 3) 2 ? ?2 p( x ? 2 3) 即p?

3 3 2 ,因此所求方程是 x ? ? y。 4 2

x2 y2 16. 把方程化为标准方程 2 ? 2 ? 1 1 2
由此可知,实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2。顶点坐标是(-1,0) , (1,0) ,

c ? a 2 ? b 2 ? 12 ? 22 ? 5
渐近线方程为

焦点的坐标是(- 5 ,0),( 5 ,0)。

x y ? ? 0 ,即 y ? ?2 x 。 1 2

17. 解:当 a ? 0 时,联立

y ? ax ? 1

y 2 ? 8x
消去 y,得 a 2 x 2 ? (2a ? 8) x ? 1 ? 0 , 当△= (2a ? 8) 2 ? 4a 2 ? 0 ,即 a=2 时直线与抛物线有一个公共点,此时直线与抛物线相切。 当 a=0 时,直线 y=1 与抛物线有一个交点。 所以,当 a=0 或 2 时,直线 y ? ax ? 1 与 y 2 ? 8x 只有一个交点。
2 x2 y2 x2 y 18.设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线得方程为 2 ? 2 ? 1 ,半焦距 c= 13 a 2 b2 a1 b1

由已知得:a1-a2=4

c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2
所以:b1 =36,b2 =4,所以两条曲线的方程分别为:
2 2

x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4 x2 y2 ? ? 1。 19.由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为 16 ? k 4 ? k
由 于 点 (3 2 ,2) 在 所 求 双 曲 线 上 , 所 以 有

18 4 ? ? 1 , 整 理 得 k 2 ? 10k ? 56 ? 0 , 解 得 : 16 ? k 4 ? k

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k ? 4, 或k ? ?14 又 16 ? k ? 0,4 ? k ? 0,所以? 4 ? k ? 16 。
所以 k ? 4 ,故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 8

20.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x= 由

x0 ? 1 2


x0=2x-1

1 y0 ? 2 y= 2

y0=2y-

1 2

由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
1 2 1 4

2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 .

(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4
),

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1
2

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1
k? 1 2

则 BC ? 4

1? k

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 .

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