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河南省商丘名校2016-2017学年高二下期4月联考试题 数学(理) Word版含答案


商丘名校 2016-2017 学年高二下期联考理科数学试题
一.选择题(每小题 5 分,其中只有一个选项是正确的,共 60 分) : x 1.已知函数 f(x)= x (e 是对自然对数的底数) ,则其导函数 f / ( x) =( e 1? x 1? x A. x B. x C.1+x D.1﹣x e e



2.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数 字不能相邻出现,这样的四位数有( ) A.6 个 B.9 个 C.18 个 D.36 个
x 3 x ?6 3.大于 3 的正整数 x 满足 C18 ? C18 ,x=

A.6

B.4

C.8

D.9

4.设 i 是虚数单位,若复数 A. ?
1 2

B.0

a ?i 为纯虚数,则实数 a 的值是 1 ? 2i 1 C. D.2 2

5.用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实数根”时,要做的 假设是 A.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 B.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根 C.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 6. 若 a,b 为 非 零 实 数 , 且 下 列 四 个 命 题 都 成 立 : ① 若 ab 2 ? 1 , 则 a ? ② a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ;③ a ?
1 ; b2

1 ? 0 ;④若 a ? b ,则 a ? ?b .则对于任意非零复 a

数 a , b ,上述命题仍成立的序号是 A.② B.①② C.③④ D.①③④ 7、满足 f ? x ? ? f ? ? x ? 的一个函数是 A. f ? x ? ? 1 ? x B. f ? x ? ? x C. f ? x ? ? ex D. f ? x ? ? 1

-1-

8.曲线 y ? 2x2 ? x 在点 (0, 0) 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0

1 9、函数 y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 9 的零点个数为 3 A.0 B.1 C.2 D.3

10. 已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? m) 相切,则 m 的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2

11. 设函数 f ? x ? ? ex (sin x ? cos x)(0 ? x ? 4? ) ,则函数 f ? x ? 的所有极大值之和为 A. e? B. e? ? e2? C. e? ? e3? D. e? ? e3? )

12.若函数 f(x)=sin2x+4cosx+ax 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?3) B. (??, ?3] C. (﹣∞,6] D. (﹣∞,6)

二.解答题(每小题 5 分,共 20 分) : 13.定积分 ?
2

?2

4 ? x 2 dx 的值为

.

14.用 0,1,2,3,4,5,6 可以组成________个无重复数字的四位偶数

15.已知点 P 在曲线 f ( x) ? ex( e 是自然对数的底数) 上, 点 Q 在曲线 g ( x) ? ln x 上, 则 PQ 的最小值为 .

16. 曲线 y=

x 在点(1,1)处的切线为 l, 则 l 上的点到圆 x2+y2+4x+ 2x-1

3=0 上的点的最近距离是________.

-2-

三.解答题: 17.已知 f ? x ? ? x3 ? 3ax2 ? bx ? a2 (a ? 1) 在 x ? ?1 处的极值为 0. (1)求常数 a , b 的值; (2)求 f ? x ? 的单调区间.

18.复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,满足 z ? 2, z 2 的虚部是 2, z 对应的点 A 在第 一象限.(1)求 z ; (2)若 z, z 2 , z ? z 2 在复平面上对应点分别为 A, B, C , 求 cos ?ABC .

19.设函数 f ( x) ? ax ? ? 2 ln x . (1)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的极大值; (2)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

a x

-3-

20.已知 a1 ? , an ? an ?1 ? 2? n ( n ? 2 ) (1)计算这个数列前 4 项,并归纳该数列一个通项公式。 (2)用数学归纳法证明上述归纳的通项公式

1 4

1 2

21. 直线 y ? kx 将抛物线 y ? x ? x2 与 x 轴所围成图形分为面积相等两部 分 (1)求 k 值(2)从 8(k ?
3

4 ) 人中任选 3 人去两个学校任教,每个学校 2

至少一人,一共有多少种分配方案

22. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 为奇函数,且 x=-1 处取得极大 值 2. (1)求 f(x)的解析式; (2)过点 A(1,t) (t ? ?2) 可作函数 f(x)图像的三条 切线,求实数 t 的取值范围; (3)若 f ( x) ? (m ? 2) x ? x2 (ex ? 1) 对于任意的 x ? [0, ??) 恒成立,求实数 m 取值范围.

-4-

1-6.BCADBA

7-12.CDCBDB 13. 2?
/

14.420

15. 2
/

16.

2 2 ?1

17.(1)设函数 f(x)的导数为 f ( x) ,依题意, f (?1) ? 0, f (?1) ? 0 ……1 分 故可得方程组 ?

?3 ? 6a ? b ? 0
2 ??1 ? 3a ? b ? a ? 0

,注意到 a>1…………………………3 分

解得 a=2,b=9……………………………………5 分 (2)由(1)知, f ( x) ? x ? 6x ? 9x ? 4 ,则 f ( x) ? 3x ? 12 x ? 9 ……6 分
3 2 / 2

令 f ( x) ? 0 得 x>-1 或 x<-3;令 f ( x) ? 0 ,得-3<x<-1;…………8 分
/ /

所以 f(x)在 (??, ?3), (?1, ??) 上递增,在(-3,-1)上递减………10 分

? x2 ? y 2 ? 2 18.(1)依题意得 ? ,结合 x>0,y>0 知,x=1,y=1……4 分 ? xy ? 1
2 2 (2)由(1)值 z=1+i, z ? 2i , z ? z ? 1 ? i …………..6 分

所以 A(1,1) ,B(0,2) ,C(1,-1)……………………. 8 分 有 AB= 2 ,AC=2,BC= 10 ……10 分 由余弦定理可得 cos∠ABC=

2 ? 10 ? 4 2 5 ……12 分 ? 5 2 ? 2 10
a 2 ? ……1 分 x2 x

/ 19.(1)依题意, f ( x ) ? a ?

由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f (2) ? 0 ……2 分
/

4 ………………………………………………..3 分, 5 2 / ( x ? 2)(2 x ? 1) …………4 分 此时 f ( x) ? 5x2 1 1 1 由 f(x)在 (0, ) 上递增,在 ( , 2) 上递减,在 (2, ??) 上递增知,当 x= ? 时,f(x)取得极大值 2 2 2 6 2 ln 2 ? ……………….6 分 5
所以 a= (2)依题意, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立……………7 分
/

也即 a ? 令 h( x ) ?

2x 2x ) max ………..9 分 在 (0, ??) 上恒成立 ? a ? ( 2 x ?1 x ?1
2

2(1 ? x)(1 ? x) 2x ( x ? 0) ,则 h / ( x) ? ( x ? 0) ,所以 h(x)在(0,1)上递增,在 x ?1 ( x 2 ? 1)2
2

-5-

(1, ??) 上递减,故当 x=1 时,f(x)取最大值 1,所以 a ? 1 ………..12 分
20.(1) a1 ?

1 3 5 7 2n ? 1 , a2 ? , a3 ? , a4 ? ,归纳 an ? n ?1 ………6 分 4 8 16 32 2 2k ? 1 1 2k ? 1 1 2(k ? 1) ? 1 ,则 ak ?1 ? ? k ?1 ? k ?1 ? …11 分 k ?1 2 2 2 2 2( k ?1)?1 2n ? 1 恒成立……12 分 2n ?1

(2)当 n=1 时,显然成立;………7 分 假设 n ? k 命题成立,即 ak ? 所以当 n=k+1 时,命题也成立 故,对任意的 n ? N ? , an ?

21.(1)直线 y ? kx 和抛物线 y ? x ? x2 的一个交点是原点,另一个交点是(1-k, k ? k 2 ),依

题意,

?

1? k

0

( x ? x 2 ? kx)dx ?

3 1 1 4 2 ( x ? x ) dx ,解得 ……6 分 k ? 1 ? ? 0 2 2

2 1 2 (2)一共有 C8 C7 A2 =392 种……………6 分

22.(1)以为 f(x)为奇函数,故 b=d=0………1 分
3 又 f / (?1) ? 0, f (?1) ? 2 ,故-a-c=2,3a+c=0,解得 a=1,x=-3,故 f(x)= x ? 3 x ……3 分

3 ? y0 ? x0 ? 3x0 ? 3 2 (2)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 ? y0 ? t ,消去 y0 得, t ? ?2x0 ? 3x0 ? 3 ……5 分 2 ? 3 x ? 3 0 ? x ?t ? 0

设 g ( x) ? ?2 x ? 3x ? 3 ,则 g ( x) ? ?6x ? 6x ? ?6x( x ?1) ,所以 g(x)在 (??,0),(1, ??) 上
3 2 / 2

递减,在(0,1)上递增,所以 g(x)的极大值为 g(1)=-2,极小值为 g(0)=-3……7 分 因为过 A 的切线有三条,所以实数 t 的取值范围是(-3,-2)……8 分 (3)依题意, (m ? 2) x ? x (e ?1) ? x ? 3x 在 [0, ??) 上恒成立
2 x 3

当 x=0 时, m ? R ; 当 x>0 时,则须 m ? x(e ? 1 ? x) ? 1 在 (0, ??) 上恒成立……9 分
x

令 h( x) ? e ? x ?1, 则 h( x) ? 0 ……10 分
x

故 x(e ?1 ? x) ? 1 ? xh( x) ? 1 ? 1 ……11 分
x

所以 m ? 1 ………12 分

-6-


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