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惠州市2013届高三第三次(1月)调研考试数学文试题(WORD版)


惠州市 2013 届高三第三次调研考试
数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求.) 1. i 是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则 z 等于( A.1 B.
3 2


2 2

C.

D.

1 2

2.已知集合 A ? ? ? 1 ,? , B ? ? x a x ? 1 ? 0 ? ,若 B ? A ,则实数 a 所有可能取值的集合为( 1 A. ? ? 1? B. ?1?
2



C. ? ? 1 ,? 1

D. ? ? 1 , ,? 0 1 D.既不充分又不必要 D. y ? ln )
x ?1
2

3.若 a ? R ,则“ a ? 3 ”是“ a ? 9 ”的( )条件 A.充分且不必要 B.必要且不充分 C.充分且必要 4.下列函数是偶函数的是( ) A. y ? s in x B. y ? x
3

C. y ? e

x

5.已知向量 p ? ? 2 , 3 ? , q ? ? x , ? ,且 p / / q ,则 p ? q 的值为( ? 6 A. 5 A.120 7.已知双曲线
x a
2

B. 1 3 B. 105
2 2

C. 5 C. 90
2

D.1 3 ) D.75
10 3

6.设{ a n } 是公差为正数的等差数列,若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 5 ,且 a 1 a 2 a 3 ? 8 0 ,则 a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 等于(
y b
2 2

?

? 1 的一个焦点与抛物线 y

且双曲线的离心率等于 ? 4 10 x 的焦点重合,

, 则

该双曲线的方程为( A. x ?
2

) C.
x
2

y

?1

2 2 B. x ? y ? 1 5

? y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

9

9

9

9

8.已知 m , n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有( ? ?
n 则 A. 若 m ‖ ? , ‖ ? , m ‖ n ;
m 则 C. 若 m ‖ ? , ‖ ? , ? ‖ ? ;



? 则 B. 若 ? ? ? , ? ? , ? ‖ ? ;
n 则 D. 若 m ? ? , ? ? , m ‖ n .
1 2 , 2 2 ) ,则 lo g 4 f ( 2 ) 的值为(

9.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( A.
1 4

) y P d l A x

B.-

1 4

C.2

D.-2

10.如图, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方 向旋转一周,点 P 所转过的弧 A P 的长为 l ,弦 A P 的长度为 d ,则函 数 d ? f ( l ) 的图像大致是( )

O

d

d

d

d

2
O
?
2?

2 l O
?
2?

2 l
O
?
2?

2 l
O
?
2?

l

A.

B.

C.

D.

1

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 11. s in ( ? ?
?
4 ) ? 2 4

开始
, 则 sin 2 ? =

. 输入 n

?2x ? 3 y ? 6 ? 12.已知 ? x ? y ? 0 则 z ? 3 x ? y 的最大值为_____. ?y ? 0 ?

k ? 0
=3

13.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为_____. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的, 只计第 14 题的分。) k=k+1 14.(坐标系与参数方程)直线 2 ? c o s ? ? 1 与圆 ? ? 2 c o s ? 相交的 弦长为 . 否 15.(几何证明选讲选做题)如图,已知 A B 和 A C 是圆的两条弦,过 点 B 作圆的切线与 A C 的延长线相交于 D .过点 C 作 B D 的平行线与圆交于点 E , 与 A B 相交于点 F , A F ? 3 , F B ? 1 ,
EF ? 3 2

n ? 3n ? 1

n ? 150 ?

是 输出 k ,n

,则线段 C D 的长为



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答 结束 须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 某地区有小学 2 1 所,中学 1 4 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生 进行视力调查。 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s in x c o s ? ? c o s x s in ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ). (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ? 2 x ?
? ?

? ?

对称,求 ? 的值. ? 的图像关于直线 x ? 4 ? 6

?

2

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 、 F 分别为 D D 1 、 D B 的中点. (1)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (2)求证: C F ? B 1 E ; (3)求三棱锥 V C ? B F E 的体积.
1

19.(本小题满分 14 分)
??

已知向量 p ? ( a n , 2 n ), q ? ( 2 n ? 1 , ? a n ? 1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a 1 ? 1 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若数列 ? b n ? 满足 b n ? lo g 2 a n ? 1 ,求数列 ? a n ? b n ? 的前 n 项和 S n .

?

??

?

20.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

,直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形 ABCD

的面积为 8 . (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 l : y ? x ? m ( m ? R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点
P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T ,求
| PQ | | ST |

y D O A B C x

的最大值及取

得最大值时 m 的值.

3

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ( a ? R )
3

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的极小值; (2)若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x ) ? | f ( x ) |, x ? [ ? 1,1] ,求 g ( x ) 的最大值 F ( a ) 的解析式.

4

惠州市 2013 届高三第三次调研考试数学 文科数学答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C
i i?1

2 D
?

3 A
i(1 - i) (i ? 1)(1 ? i )

4 D
? 1? i 2

5 B , z ?

6 B
2 2

7 C 选C
? ?

8 D

9 A

10 C

1. 【解析】 z ?

2.【解析】 a ? 0 时, B ? ? x 1 ? 0 ? ? ? ? A , a ? 0 时, B ? ? x x ? ? 选 a ? 0 或 a ? 1 或-1,选 D.

1? 1 1 ? ? 1, ? ? 1 ,故 ? ? A ,? a? a a

3. 【解析】 a ? 3 ? a ? 9 , a ? 9 ? a ? ? 3, 故为充分非必要条件,选 A。
2 2

4. 【解析】 y ? s in x , y ? x 为奇函数, y ? e 为非奇非偶函数, y ? ln
3 x

x ? 1 为偶函数,选 D
2

5.【解析】 2 ? 6 ? 3 x ? 0 ? x ? ? 4 ? p ? q ? ( 2 , 3) ? ( ? 4 , ) ? ( ? 2 ,3) ? ? 6 故选 B.

13 .

6.【解析】 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 5 ? a 2 ? 5 , a 1 a 2 a 3 ? 8 0 ? a 1 a 3 ? ? 5 ? d ? ? 5 ? d ? ? 2 5 ? d 2 ? 1 6 ,
? d ? 3 ? a 1 ? 2 , a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ? 3 a 1 ? 3 3 d ? 6 ? 9 9 ? 1 0 5 .故选 B.
2 2 2 0 7.【解析】抛线线 y 2 ? 4 10 x 的焦点 ( 10 , ) , ? c ? a ? b ? 1 0 . e ?

10 a

?

10 3



? a ? 3, b ? 1 ,

x

2

? y

2

? 1 .选 C

9

8.【解析】 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故 A 不正确;“墙角”三面互相垂直,说明 B 错 n n 误; ? ? ? ? l ,只需 m / / l ,便有 m / / ? , m / / ? ,故 C 错误; m ? ? , n ? ? 则同垂直于一个平面的 两条直线平行,D 正确 。 9.【解析】由设 f ( x ) ? x ,图象过点 (
( 1 2 )
?
?

1 2



2 2

d
)得
1 2 1

2
1 4

?

2 2

? (

1 2

1

)

2

? ? ?

1 2

lo , g 4 f ( 2 ) ? lo g 4 2 ? lo g 4 4 4 ?

. 故选 A.

10. 【解析】点 P 是单位圆上的动点,点 P 所转过的角度设为 ? ,则 ? = l , 当? ?
?
2

O

?
2

?

2?

l

C.

,弦 AP 的长度 d ?

2 ? 1 ,由选项的图可知,选 C。

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11. ?
3 4

12. 9

13. 3
?
4 )? 2 2
2

14.
s in ? ?

3
2 2

15.
cos ? ?

4 3
2 4 , ? s in ? ? c o s ? ? 1 2

11. 【解析】 s in ( ? ?
2


3 4

(s in ? ? c o s ? ) ? s in ? ? c o s ? ? 2 s in ? c o s ? ? 1 ? s in 2 ? ?
2

1 4

,故 s in 2 ? ? ?

12.【解析】做出可行域可知 z ? 3 x ? y 过点 ( 3 , 0 ) 时,Z 最大值为 9 。
k k k k 13.【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 1 6 , ? 1 ? n ? 4 9, ? 2 ? n ? 1 4 8 , ? 3 .答案:3. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分。)
2 2 14.【解析】直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 的普通方程为 2 x ? 1 和 ( x ? 1 ) ? y ? 1 ,圆心到直线的距

离为 1 ?

1 2

?

1 2

,所以弦长为 2 1 ? ( ) ?
2

1

3
5

2

15.【解析】由相交弦定理, A F ? F B ? E F ? F C 故 F C ? 2 ,又 C F / / B D ,故 由切割线定理, B D 2 ? C D ? A D ? C D ? 4 C D ? 4 C D 2 ,故 C D ?
4 3

AF AB

?

CF BD

,故 B D ?

8 3





三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)解:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. ????3 分 (2)解:在抽取到得 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1 , A 2 , A 3 , 2 所中学分别记为 A 4 , A 5 , 大学记为 A 6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为

? A1 , A 2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , A 4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A 6 ? , ? A 2 , A3 ? , ? A 2 , A 4 ? , ? A 2 , A5 ? , ? A 2 , A 6 ? , ? A 3 , A 4 ?
, ? A 3 , A 5 ? , ? A 3 , A 6 ? , ? A 4 , A5 ? , ? A 4 , A 6 ? , ? A 5 , A 6 ? .共 15 种。????8 分 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 A)的所有可能结果为

? A1 , A 2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A 2 , A3 ? 共 3 种,所以 P ( A )
17(本小题满分 12 分)

?

3 15

?

1 5

????12 分

(1)解:∵ f ( x ) ? sin ? x ? ? ? ,??????????????2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? .??????????????4分 (2)解:∵函数 y ? f ? 2 x ?
? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ,??????????????7分 ? ? s in ? 2 x ? 4 ? 4 ? ?

又 y ? s in x 的图像的对称轴为 x ? k ? ? 令2x ?
?
4 ? ? ? k? ? 1 1? 12

?
2

( k ? Z ),???????????9分
?
12

?
2

,将 x ?

?
6

代入,得 ? ? k ? ?

( k ? Z ).

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

.??????????????12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)连结 B D 1 ,在 ? DD 1 B 中, E 、 F 分别为 D 1 D , D B 的中点,则 ∵EF 为中位线????2 分? E F / / D 1 B 而 D1B ? 面 A B C 1 D1 , E F ? 面 A B C 1 D1
? E F / / 面 A B C 1 D 1 ????4 分

(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ? CF ? BD ①????5 分 ? 正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1
? DD
1

? 面 ABCD

, CF

? 面 ABCD

? DD

1

? CF ②????7 分
1

综合①②,且 DD
? CF ? 面 BDD
1

? BD ? D , DD 1 , BD ? 面 BDD

1

B1

B 1 ,而 B 1 E ? 面 B D D 1 B 1 ,? CF ? B 1 E ????9 分

(3)由(2)可知? C F ? 平 面 B D D 1 B 1
? C F ? 平 面 E F B 1 即 CF 为高

,C F ? BF ?
BF
2

2 ????10 分

? EF ?
B1 E ?

1 2

B D1 ?
2

3 , B1 F ?
2

? B B1 2)
2

2

?

(

2) ? 2
2

2

?

6

B1 D 1 ? D 1 E
2

?

1 ? (2
2

? 3

2 ∴ E F ? B1 F

? B1 E

2

? 即 ? E F B1 ? 9 0

6

∴ S ?B
? VB

EF

?

1 2

EF ? B 1 F ?

3 2

2

????12 分
?CF =
1 3 ? 3 2 2 ? 2 ? 1 ????14 分

1

? EFC

? VC ? B
??

1EF

?

1 3

? S ?B

1EF

n n ?1 n n ?1 19 解(1)? 向量 p 与 q 垂直? 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 , 即? 2 a n ? 1 ? 2 a n ????2 分

?

?

a n ?1 an

? 2 ? ? a n ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列????4 分
n ?1

? an ? 2



????5 分
? a n ? bn ? n ? 2
n ?1

(2)? b n ? lo g 2 a 2 ? 1 ,? b n ? n
? Sn ? 1? 2 ?2 ? 3?2 ? 4 ?2 ? ? ? n ?2
2 3
2 3 4 n

n ?1



????8 分

, ??①

? 2Sn ? 1?2 ? 2 ?2 ? 3 ?2 ? 4 ?2 ? ? ? n ?2 ,
?

??②
n

???10 分

由①—②得,
2 3 4 n ?1

?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
? S n ? 1 ? ( n ? 1) 2 ? n ? 2
n n ?1

? n?2
n

n

?

1? 2

1? 2

? n?2

n

? (1 ? n ) 2 ? 1 ??12 分
n

? 1 ? ( n ? 1) 2

???14 分

20. (本小题满分 14 分) (1) e
? c a ? 3 2 ? a
2

y C

?b a
2

2

?

3 4

??①????1 分
?8

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2 b 由①②解得: a ? 2 , b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是 (2) ?
?x
2

??②????2 分 ????3 分 . ????4 分 ,
4m
2

O A

x

x

2

? y

2

?1

4
? 4y
2

? 4,

? y ? x ? m,

? 5x

2

? 8m x ? 4m

2

? 4 ? 0

设 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 由?
? 64m
2

? x2 ? ?

8 5

m , x1 x 2 ?
5

? 4

, ???????7 分 ????????8 分

5

? 20(4 m
2

2

? 4) ? 0
2

得?

5 ? m ?

.
2

| P Q |?

2

4m ? 4 4 2 ? 8 ? ? ?? m? ? 4 5 5 ? 5 ?
? 1 ,当 l

5? m

.

??????10 分 ?????11 分
2 (3 ? m )

当 l 过 A 点时, m ①当 ?
| PQ | | ST | ?

过 C 点时, m

? ?1 .

5 ? m ? ? 1 时,有 S ( ? m ? 1, ? 1), T ( 2 , 2 ? m ), | S T | ?



4 5

5 ? m

2 2

(3 ? m )

?

4 5

?

4 t
2

?

6 t

?1


? 4 3 ,m ? ? 5 3 5 3 ? ? (? 5 , ? 1)

其中 t

? m ?3

,由此知当

1 t

?

3 4
5

,即 t

时,

| PQ | | ST |

取得最大值
5

2 5

5

.

②由对称性,可知若 1 ? ③当 ? 1 ?

m ?

,则当 m
| PQ | | ST | ?

时,
2

| PQ | | ST |

取得最大值

2 5

.

m ? 1 时, | S T | ? 2

2



2 5
5

5? m

, ??????13 分

由此知,当 m

? 0

时,
5 3

| PQ | | ST |

取得最大值
| PQ | | ST |

2 5

.
2 5 5

综上可知,当 m

? ?

和 0 时,

取得最大值

.??????14 分

7

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)? 当 a ? 1时 , f ( x ) ? 3 x ? 3 , 令 f ( x ) ? 0 , 得 x ? ? 1或 x ? 1 ????1 分
' 2 ' ' 当 x ? ( ? 1,1 ) 时, f ( x ) ? 0 , 当 x ? ( ?? , ? 1 ] ? [1, ?? ) 时, f ( x ) ? 0 , '

? f ( x ) 在 ( ? 1,1 ) 上单调递减

, 在 ( ?? , ? 1 ], [1, ?? ) 上单调递增

????2 分

? f ( x ) 的极小值是 f (1) ? ? 2
/ 2

???????3 分
2

(2)法 1: f ( x ) ? 3 x ? 3 a ,直线 x ? y ? m ? 0 即 y ? ? x ? m ,
2 依题意,切线斜率 k ? f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? ? 1 ,即 3 x ? 3 a ? 1 ? 0 无解?????4 分
/

? ? ? 0 ? 4 ? 3(?3 a ? 1) ? 0

? a ?

1 3
/

??????6 分
2

法 2: f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? ? 3 a ,?????4 分 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,当且仅当 ? 1 ? ? 3 a 时成立,
? a ? 1 3

??????6 分
3

(3)因 g ( x ) ? | f ( x ) | ? | x ? 3 ax | 在 [ ? 1 ,1 ] 上是偶函数 故只要求在 [ 0 ,1 ] 上的最大值. ①当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上单调递增且
/

,

????7 分
f ( 0 ) ? 0 ,? g ( x ) ? f ( x )

F ( a ) ? f (1 ) ? 1 ? 3 a .

???????9 分
2

②当 a ? 0 时, f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? 3 ( x ?
'

a )( x ?

a ),

(ⅰ)当 a ? 1 , 即 a ? 1
g ( x ) ? | f ( x ) | ? ? f ( x ),

? f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上单调递增,此时 F ( a ) ? ? f (1 ) ? 3 a ? 1 ???????10 分

(ⅱ)当 0 ?

a ? 1, 即 0 ? a ? 1

时, f ( x ) 在 [ 0 , a ] 上单调递减

,

在 [ a ,1 ] 单调递增;

1°当 f (1 ) ? 1 ? 3 a ? 0 , 即

1 3

? a ? 1 时,
a ] 上单调递增 ,在[ a ,1 ] 上单调递减 , F (a ) ? ? f ( a ) ? 2a a ;

g ( x ) ? | f ( x ) | ? ? f ( x ), ? f ( x ) 在 [ 0 ,

2°当 f (1 ) ? 1 ? 3 a ? 0 , 即 0 ? a ?

1 3

(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1 ) ? 1 ? 3 a , 即 0 ? a ? (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1 ) ? 1 ? 3 a , 即
1 ? 1 ? 3a , (a ? ) ? 4 ? 1 ? F ( x ) ? ? 2 a a , ( ? a ? 1) 4 ? ? 3 a ? 1, ( a ? 1 ) ? ?

1 4

时 , F ( a ) ? f (1 ) ? 1 ? 3 a

1 4

? a ?

1 3

时 , F (a ) ? ? f (

a ) ? 2a

a ??13 分

综上

??????14 分

8


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