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福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检数学(文)试题


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福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查

数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2013.10.8

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: 每小题 5 分,共 60 分. 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一项符 ( 合题目要求,在答题纸的相应区域内作答) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 1? ,那么 CU A 等于 A. (??, ?1) B. (?1,1) C. ? ?1,1? D. (1, ??) 2. 对任意实数 a,b,c,在下列命题中,真命题是 A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 B.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的必要条件

3.全称命题: ?x ? R, x2 ? 5x ? 4 的否定是 A. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4 C. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4 则方程 g ( f ( x)) ? x 的解集为 A. {1} C. {3} A. y ? 2|x| C. y ? 2x ? 2? x B. {2} D. ? ? B. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4 D.以上都不正确

4. 已知两个函数 f ( x) 、 g ( x) 的定义域和值域都是集合{1, 2, 3},且满足下表: x f(x) 1 2 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

5.下列函数中既不是奇函数,也不是偶函数的是 B. y ? lg( x ? x 2 ? 1) 1 D. y ? lg x ?1

6.函数 f ( x) ? ln( x ?1) ?

2 的零点所在的可能区间是 x

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A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) x 7. 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且 x∈(0,1)时, f ( x) ? 2 ? 1 ,则 f (log 2 12) 的值为

4 C. 2 3 ? ? 8.设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ,则 ? ? ? ? 4? 4? ? ?
A.
1 3

B.

D. 11

? A. y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 ? ?
4 ? B. y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 ? ? 2 ? 2?
? 2? ? 2?

4 ? D. y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 ? ? 2 ? 2? ?a, a ? b; 9.定义运算 a ? b ? ? 则函数 f ( x) ? 1? 2 x 的图象是 b, a ? b, ?

? C. y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 ? ?

10.设向量 a 与 b 的夹角为 θ, a =(2, 1), a +2 b =(4, 5), 则 cos θ 等于 4 10 3 10 A. B. C. 3 D. 10 10 5 5 11.若 1 ? 1 ? 0 , 则下列不等式:
a b 2 2 1 1 1 1 ① ? ;② | a | ?b ? 0 ;③ a- > b- ;④ lna ? lnb 中,其中正确的是 a+b ab a b

A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ x 12.定义两个实数间的一种新运算“ ? ”: x ? y ? lg 10 ? 10 y , x, y ? R .对任意实数

?

?

a, b, c ,给出如下结论:

① ?a * b ?* c ? a * ?b * c ? ; ② a *b ? b * a ; ③ ? a * b ? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ;

其中正确的个数是 A. 0 B.1 C.2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 2 -x -3x+4 13.函数 y = 的定义域为 . x D.3

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? 2sin 2 x ? 1 14. 设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 的最小值为 ? ? sin 2 x ? 2?

.
f ( x) ? f (? x) <0 的解 x

15.若函数 f ( x) 为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则 集为 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 13=1 … 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225 … 可以推测:13+23+33+…+n3= 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若 .

16.观察下列等式:

(n∈N*,用含有 n 的代数式表示).

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

c a ? ? 1 ,试问 A、B、 a?b b?c

C 是否成等差数列, 若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列, 请给出证明. 18. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 2x ? 8 y ? xy ? 0 ,求(1) xy 的最小值.

(2) x ? y 的最小值.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

? ) 在一个周期内的图象如图所示, M , N 是图 2

象与 x 轴的交点, P 是图象与 y 轴的交点, PM ? 2, PN ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及点 标; (Ⅱ) 求函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的单调
y P

7, cos ?MPN ? 7 .
14

P 的坐

递减区
x N

M O

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间. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ? x ? ?

(I)求函数 g ? x ? 的单调区间;

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? a ? 0 ? . ln x

(II)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值; 21. (本小题满分 12 分) 已知 ?an? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55,a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?an? 的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列 ?an? 和数列 ?bn? 满足等式 an = 2 +22+23+…+2n (n 为正整数),求数列 ?bn? 的 前 n 项和 Sn .
22. (本小题满分 14 分)

某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业

?1 (1 ? x ? 20, x ? N * ) ? 在经销这个产品期间第 x 个月的利润 f ( x) ? ? 1 (单位:万元) , x (21 ? x ? 60, x ? N *) ? ?10 为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当
月利润率 g ( x) ?

第x个月的利润 f (3) ,例如: g (3) ? 第x个月前的资金总和 81 ? f (1) ? f (2)



(Ⅰ)求 g (10) ; (Ⅱ)求第 x 个月的当月利润率 g ? x ? ; (Ⅲ)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选填题: BDCCDB ADADCD

[? 4 0? , 0 1] , ) (

3

(-2,0)∪(0,2)

n2(n+1)2

二、解答题: 17.解:A、B、C 成等差数列. 证明如下: ∵ ..............2 分

c a ? ?1, a?b b?c

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∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-ac. 在△ ABC 中,由余弦定理, 得 cos B ?

..............4 分 ..............6 分 ..............9 分 ..............10 分 ..............12 分

a2 ? c2 ? b2 ac 1 ? ? , 2ac 2ac 2

∵0° <B<180° ,∴B=60° . ∴A+C=2B=120° , ∴A、B、C 成等差数列.

18.【思路点拨】把 2x+8y-xy=0 转化为 【解析】(1)由 2x+8y-xy=0,得 又 x>0,y>0, 则1 ?

8 2 ? ? 1 即可. x y

8 2 ? ? 1 , ..............2 分 x y

8 2 8 2 8 得 ? ?2 ? ? , xy≥64,..............5 分 x y x y xy
8 2 ? ,即 x=16,y=4 时,等号成立. ..............6 分 x y

当且仅当

所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y-xy=0,得

8 2 ? ? 1, x y

则 x+y=(

2x 8y 2x 8y 8 2 ? ? 10 ? 2 ? ? 18. ..............10 分 (x+y) ? 10 ? ? )· y x y x x y

当且仅当

8 2 2x 8y ? , 且 ? ? 1 ,即 x=16,y=4 时,等号成立, x y y x
..............12 分

∴x+y 的最小值为 18.

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19.

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21.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则依题意知 d>0, 由 a2+a7=16,得 2a1+7d=16,① 由 a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55,② 由①得 2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220, 即 256-9d2=220.∴d2=4,又 d>0, ∴d=2,代入①得 a1=1, ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. b1 (2)∵当 n=1 时,a1= ,∴b1=2. 2 bn-1 bn b1 b2 b3 当 n≥2 时,an= + 2+ 3+…+ n-1+ n, 2 2 2 2 2 bn-1 b1 b2 b3 an-1= + 2+ 3+…+ n-1, 2 2 2 2 bn 两式相减得 an-an-1= n,∴bn=2n+1, 2
?2,n=1, ? ∴bn=? n+1 ? ?2 ,n≥2.

..............4 分 ..............5 分

..............8 分 ..............9 分 ..............10 分
n-1

当 n=1 时,S1=b1=2; b2?1-2 当 n≥2 时,Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+ 1-2 当 n=1 时上式也成立. 综上,当 n 为正整数时,Sn=2n 2-6.


?

=2n 2-6,..............11 分



..............12 分

22.解: (Ⅰ) 由题意得 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f (9) ? f (10) ? 1

f (10) 1 ? 81 ? f (1) ? ?? ? f (9) 90 .………………………2 分 ∴ (2)当 1 ? x ? 20 时, f (1) ? f (2) ? ?? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 g (10) ? g ( x) ?


f ( x) 1 1 ? ? 81 ? f (1) ? ?? ? f ( x ? 1) 81 ? x ? 1 x ? 80 .----------4 分

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当 21 ? x ? 60 时,

f ( x) 81 ? f (1) ? ?? ? f (20) ? f (21) ? ?? ? f ( x ? 1) 1 x 10 ? 81 ? 20 ? f (21) ? ?? ? f ( x ? 1) 1 x 2x 10 ? ? 2 ( x ? 21)( x ? 20) x ? x ? 1600 101 ? 20 ……………………7 分 g ( x) ?
∴当第 x 个月的当月利润率为

1 ? (1 ? x ? 20, x ? N * ) ? x ? 80 ? g ( x) ? ? 2x ? (21 ? x ? 60, x ? N *) 2 ? x ? x ? 1600 ? ……………………………8 分
(Ⅲ)当 1 ? x ? 20 时, 此时 g ( x) 的最大值为 当 21 ? x ? 60 时,

g ( x) ?
1 81

1 x ? 80 是减函数,
……………………… 9 分

g (1) ?

2x 2 2 2 ? ? ? x ? x ? 1600 x ? 1600 ? 1 2 1600 ? 1 79 x 2 1600 g ( x) max ? x? 79 ,…………………12 分 x 时,即 x ? 40 时, 当且仅当 g ( x) ?
2

?

2 1 2 ? g ( x) max ? 79 81 ,∴当 x ? 40 时, 79

………………………13 分

2 79 . …14 分 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为

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