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2016初中中考数学真题难题 汇编 一次函数与反比例函数


第四章 一次函数与反比例函数

第一节 一次函数 1. (2016 广州)若一次函数 总是成立的是() A、 a [难易] [考点] [解析]
2

y = ax + b 的图像经过第一、二、四象限,则下列不等式中

+b>0

B、 a - b > 0

C、

a2 + b > 0 D、 a + b > 0

较易 一次函数,不等式 因为一次函数

y = ax + b 的图像经过第一、二、四象限,所以 a < 0,b > 0 ,所以

a < 0,b > 0 ,A 错; a - b < 0,B 错; a2 > 0 ,所以 a2 + b > 0 ,所以 C 正确; a + b 的大小不
能确定 [参考答案] C 2.(2016 广州)如图 9 ,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=-x+3 与 x 轴交于点 C ,与直线

AD 交于点 A(

4 5 , ),点 D 的坐标为(0,1) 3 3

(1)求直线 AD 的解析式; (2)直线 AD 与 x 轴交于点 B ,若点 E 是直线 AD 上一动点(不与点 B 重合) ,当 △BOD 与 △BCE 相似时,求点 E 的坐标
y

A D x O 图9 C

【难易】 中等 【考点】 一次函数 相似 【解析】 (1)首先设出一次函数解析式,将点 A,D 代入即可求出一次函数解析式;(2)先写 出 OB,OD,BC 的长度,然后分两种情况讨论 1:△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC. 【参考答案】 (1)设直线 AD 的解析式为 y=kx+b

将点 A ( , ), D (0,1) 代入直线 y=kx+b 中得:

4 5 3 3

4 5 k+b= 3 3
b=1 解得:

k=

1 2

b=1

? 直经 AD 的解析式为: y ?

1 x ?1 2

(2)设点 E 的坐标为(m,

1 m+1) 2

令y?

1 x ? 1 ? 0 得 x=-2 2

? 点 B 的坐标为(-2,0)
令 y=-x+3=0 得 x=3

? 点 C 的坐标为(3,0) ? OB=2, OD=1, BC=5, BD= 1? 22 ? 5
1. 当△BOD∽△BCE 时,如图(1)所示,过点 C 作 CE ? BC 交直线 AB 于 E:

OB OD ? BC CE

?

2 1 ? 5 CE 5 2

? CE=

?

1 5 m+1= ,解得 m=3 2 2

5 ? 此时 E 点的坐标为(3, ) 2

2. △BOD∽△BEC 时,如图(2)所示,过点 E 作 EF ? BC 于 F 点,则:

OD BD ? CE BC

?

1 5 ? CE 5

? CE= 5 ? BE= BC2 ? CE 2 ? 25 ? 5 ? 2 5 ?
1 1 BE*CE= EF*BC 2 2

? 2 5 ? 5 ? EF ? 5 ? EF=2 ?
1 m ? 1 ? 2 解得 m=2 2

? 此时 E 点的坐标为(2,2)
5 ? 当△BOD 与△BCE 相似时,满足条件的 E 坐标(3, ) , (2,2). 2

3.(2016 茂名)15.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点 B 顺时针旋转到△A1BO1 的位 置,使点 A 的对应点 A1 落在直线 y= 置,使点 O1 的对应点 O2 落在直线 y= 点 B 的坐标是( x 上,再将△A1BO1 绕点 A1 顺时针旋转到△A1B1O2 的位 x 上,依次进行下去?,若点 A 的坐标是(0,1), +6 .

,1),则点 A8 的横坐标是 6

【考点】坐标与图形变化-旋转;一次函数图象与几何变换. 【分析】先求出点 A2,A4,A6?的横坐标,探究规律即可解决问题. 【解答】解:由题意点 A2 的横坐标 ( 点 A4 的横坐标 3( 点 A6 的横坐标 ( 点 A8 的横坐标 6( 故答案为 6 +6. +1), +1), +1). +1),

【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转,一次函数图形与几何变换等知识,解题的关键 是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型. 4.(2016 大庆)由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知 原有蓄水量 y1(万 m3)与干旱持续时间 x(天)的关系如图中线段 l1 所示,针对这种干旱情

况,从第 20 天开始向水库注水,注水量 y2(万 m )与时间 x(天)的关系如图中线段 l2 所 示(不考虑其它因素). (1)求原有蓄水量 y1(万 m3)与时间 x(天)的函数关系式,并求当 x=20 时的水库总蓄水 量. (2)求当 0≤x≤60 时,水库的总蓄水量 y(万 m )与时间 x(天)的函数关系式(注明 x 的范围),若总蓄水量不多于 900 万 m 为严重干旱,直接写出发生严重干旱时 x 的范围.
3 3

3

【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据两点的坐标求 y1(万 m )与时间 x(天)的函数关系式,并把 x=20 代入 计算; (2)分两种情况:①当 0≤x≤20 时,y=y1,②当 20<x≤60 时,y=y1+y2;并计算分段函数 中 y≤900 时对应的 x 的取值. 【解答】解:(1)设 y1=kx+b, 把(0,1200)和(60,0)代入到 y1=kx+b 得: 解得 ∴y1=﹣20x+1200 当 x=20 时,y1=﹣20?20+1200=800, (2)设 y2=kx+b, 把(20,0)和(60,1000)代入到 y2=kx+b 中得: 解得 ∴y2=25x﹣500, 当 0≤x≤20 时,y=﹣20x+1200, 当 20<x≤60 时,y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700, y≤900,则 5x+700≤900, x≤40, , ,
3

当 y1=900 时,900=﹣20x+1200, x=15, ∴发生严重干旱时 x 的范围为:15≤x≤40. 【点评】本题考查了一次函数的应用,熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式:设直 线解析式为 y=kx+b,将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组,求解;注意分段函数的 实际意义,会观察图象.

5.(2016 丹东)某片果园有果树 80 棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园 每棵果树产果 y (千克) ,增种 果树 x (棵) ,它们之间的函数关系如图所示. .. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实 6750 千克? (3)当增种果树多少棵时,果园的总产量 w (千克)最大?最大产量是多少?
y(千克) 74 66

o

12

28

x(棵)

解: (1)设函数的表达式为 y=kx+b,该一次函数过点(12,74) , (28,66) ,根据题意,得

?74 ? 12k ? b ? ?66 ? 28k ? b
解得, ?

?k ? ?0.5 ? b ? 80

y(千克) 74 66

∴该函数的表达式为 y ? ?0.5x ? 80 (2)根据题意,得, (-0.5x+80) (80+x)=6750 解这个方程得, x1=10,x2=70 ∵投入成本最低. ∴x2=70 不满足题意,舍去. ∴增种果树 10 棵时,果园可以收获果实 6750 千克.

o

12

28

x(棵)

(3)根据题意,得 w=(-0.5x +80) (80+ x) 2 =-0.5 x +40 x +6400 2 =-0.5(x-40) +7200 ∵a=-0.5<0, 则抛物线开口向下,函数有最大值 ∴当 x=40 时,w 最大值为 7200 千克. ∴当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克. 6. (2016 襄阳) 襄阳市某企业积极响应政府 “创新发展” 的号召, 研发了一种新产品. 已 知研发、 生产这种产品的成本为 30 元/件, 且年销售量 y(万件)关于售价 x(元/件)的函数 解析式为:

?? 2 x ? 140 (4 ? x ? 60), y?? ? ? x ? 80 (60 ? x ? 70) ?
(1)若企业销售该产品获得自睥利润为 W(万元),请直接写出年利润 W(万元)关于售价 (元/件)的函数解析式; (2)当该产品的售价 x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利 润是多少? (3)若企业销售该产品的年利澜不少于 750 万元, 试确定该产品的售价 x(元/件)的取值 范围. 解:(1) W ? ?

?? 2 x 2 ? 200 x ? 4200 2 ? ? x ? 110 x ? 2400 )

(40 ? x ? 60), (60 ? x ? 70).
2

(2)由(1)知,当 540≤x<60 时,W=-2(x-50) +800. ∵-2<0, ,∴当 x=50 时。W 有最大值 800. 2 当 60≤x≤70 时,W=-(x-55) +625. ∵-1<0, ∴当 60≤x≤70 时,W 随 x 的增大而减小。 ∴当 x=60 时,W 有最大值 600.

? 800 ? 600,
∴当该产品的售价定为 50 元/件时,销售该产品的年利润最大,最大利润为 800 万元. (3)当 40≤x<60 时,令 W=750,得
2 -2(x-50) +800=750,解之,得 x1 ? 45, x2 ? 55.

由函数 W=-2(x-50) +800 的性质可知, 当 45≤x≤55 时,W≥750. 当 60≤x≤70 时,W 最大值为 600<750. 所以,要使企业销售该产品的年利润不少于 750 万元,该产品的销售价 x(元/件)的取值范 围为 45≤x≤55. 7. (2016 孝感) 孝感市在创建国家级园林城市中, 绿化档次不断提升. 某校计划购进 A, B 两种树木共 100 棵进行校园绿化升级.经市场调查:购买 A 种树木 2 棵, B 种树木 5 棵, 共需 600 元;购买 A 种树木 3 棵, B 种树木 1 棵,共需 380 元. (1)求 A 种, B 种树木每棵各多少元? (2)因布局需要,购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍.学校与中标公司签订

2

的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其它因素) ,实际付款总金额按市场价九 折优惠.请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用. 解: (1)设 A 种,B 种树木每棵分别为 a 元, b 元,则
?2a ? 5b ? 600 , ? ?3a ? b ? 380
?a ? 100 解得 ? . ?b ? 80

答:A 种,B 种树木每棵分别为 100 元, 80 元. (2)设购买 A 种树木为 x 棵,则购买 B 种树木为 (100? x) 棵, 则 x ≥ 3(100? x) , ∴ x ≥ 75 . 设实际付款总金额为 y 元,则 y ? 0.9[100x ? 80(100? x)]

y ? 18x ? 7200
∵ 18 ? 0 , y 随 x 的增大而增大,∴ x ? 75 时, y 最小. 即 x ? 75 , y最小值 ? 18? 75 ? 7200? 8550(元) . ∴当购买 A 种树木 75 棵,B 种树木 25 棵时,所需费用最少,最少费用为 8550 元. 8.(2016 衡阳)为 保 障 我 国 海 外 维 和 部 队 官 兵 的 生 活 , 现 需 通 过 A 港 口 、 B 港 口 分 别 运 送 100 吨 和 5 0 吨 生 活 物 资 . 已 知 该 物 资 在 甲 仓 库 存 有 80 吨 , 乙 仓 库 存 有 70 吨 ,若 从 甲 、乙 两 仓 库 运 送 物 资 到 港 口 的 费 用( 元 / 吨 )如 表 所 示 : 运 费 ( 元 /台 ) 港口 甲库 乙库 A港 14 20 B港 10 8 ( 1) 设 从 甲 仓 库 运 送 到 A 港 口 的 物 资 为 x 吨 , 求 总 运 费 y( 元 ) 与 x( 吨 ) 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ( 2) 求 出 最 低 费 用 , 并 说 明 费 用 最 低 时 的 调 配 方 案 . 【考点】一次函数的应用. 【分析】 ( 1) 根 据 题 意 表 示 出 甲 仓 库 和 乙 仓 库 分 别 运 往 A、 B 两港口的物资数, 再由等量关系: 总 运 费 =甲 仓 库 运 往 A 港 口 的 费 用 +甲 仓 库 运 往 B 港 口 的 费 用 + 乙 仓 库 运 往 A 港 口 的 费 用 + 乙 仓 库 运 往 B 港 口 的 费 用 列 式 并 化 简 ;最 后 根 据 不

等式组

得出 x 的取值;

( 2) 因 为 所 得 的 函 数 为 一 次 函 数 , 由 增 减 性 可 知 : y 随 x 增 大 而 减 少 , 则 当 x=80 时 , y 最 小 , 并 求 出 最 小 值 , 写 出 运 输 方 案 . 【 解 答 】解( 1 )设 从 甲 仓 库 运 x 吨 往 A 港 口 ,则 从 甲 仓 库 运 往 B 港 口 的 有( 80 ﹣ x) 吨 , 从 乙 仓 库 运 往 A 港 口 的 有 吨 ,运 往 B 港 口 的 有 50 ﹣( 80 ﹣ x ) =( x ﹣ 30 )吨 , 所 以 y=14x+20+10 ( 80 ﹣ x ) +8 ( x ﹣ 30 ) = ﹣ 8x+2560 , x 的 取 值 范 围 是 30 ≤ x ≤ 80. ( 2 )由( 1 )得 y= ﹣ 8x +2560y 随 x 增 大 而 减 少 ,所 以 当 x=80 时 总 运 费 最 小 , 当 x=80 时 , y= ﹣ 8?8 0+2560=1920 , 此 时 方 案 为 :把 甲 仓 库 的 全 部 运 往 A 港 口 ,再 从 乙 仓 库 运 20 吨 往 A 港 口 ,乙 仓库的余下的全部运往 B 港口. 9.(2016 怀化)已 知 一 次 函 数 y=2x+4 ( 1) 在 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 函 数 的 图 象 ; ( 2) 求 图 象 与 x 轴 的 交 点 A 的 坐 标 , 与 y 轴 交 点 B 的 坐 标 ; ( 3 ) 在 ( 2 ) 的 条 件 下 , 求 出 △ AOB 的 面 积 ; ( 4) 利 用 图 象 直 接 写 出 : 当 y< 0 时 , x 的 取 值 范 围 .

【考点】一次函数图象与系数的关系;一次函数的图象. 【分析】 ( 1) 利 用 两 点 法 就 可 以 画 出 函 数 图 象 ; ( 2) 利 用 函 数 解 析 式 分 别 代 入 x=0 与 y=0 的 情 况 就 可 以 求 出 交 点 坐 标 ; ( 3 )通 过 交 点 坐 标 就 能 求 出 面 积 ; ( 4) 观 察 函 数 图 象 与 x 轴 的 交 点 就 可 以 得 出 结 论 . 【解答】解: ( 1 ) 当 x =0 时 y=4 , 当 y=0 时 , x= ﹣ 2 , 则 图 象 如 图 所 示

( 2) 由 上 题 可 知 A( ﹣ 2, 0) B( 0, 4) , ( 3) S△ AOB= ?2?4=4,

( 4) x< ﹣ 2. 10.(2016 娄底)甲 、 乙 两 同 学 的 家 与 学 校 的 距 离 均 为 3000 米 . 甲 同 学 先 步 行 600 米 , 然 后 乘 公 交 车 去 学 校 、 乙 同 学 骑 自 行 车 去 学 校 . 已 知 甲 步 行 速 度 是 乙骑自行车速度的 ,公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍.甲乙两同学

同时从家发去学校,结果甲同学比乙同学早到 2 分钟. ( 1) 求 乙 骑 自 行 车 的 速 度 ; ( 2) 当 甲 到 达 学 校 时 , 乙 同 学 离 学 校 还 有 多 远 ? 【考点】一元一次方程的应用. 【分析】 ( 1) 设 乙 骑 自 行 车 的 速 度 为 x 米 /分 钟 , 则甲步行速度是 公 交 车 的 速 度 是 2x 米 / 分 钟 , 根据题意列方程即可得到结论; ( 2 ) 300?2=600 米 即 可 得 到 结 果 . 【 解 答 】解 : ( 1)设 乙 骑 自 行 车 的 速 度 为 x 米 /分 钟 ,则 甲 步 行 速 度 是 分 钟 , 公 交 车 的 速 度 是 2x 米 / 分 钟 , 根据题意得 + = ﹣ 2, x 米/ x 米 /分 钟 ,

解 得 : x=300 米 / 分 钟 , 经 检 验 x=300 是 方 程 的 根 , 答 : 乙 骑 自 行 车 的 速 度 为 300 米 / 分 钟 ; ( 2 ) ∵ 300?2=600 米 , 答 : 当 甲 到 达 学 校 时 , 乙 同 学 离 学 校 还 有 6 00 米 . 11.(2016 湘西)某商店购进甲乙两种商品,甲的进货单价比乙的进货单价高 20 元,已知 20 个甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价相同.

(1)求甲、乙每个商品的进货单价; (2)若甲、乙两种商品共进货 100 件,要求两种商品的进货总价不高于 9000 元,同时甲商 品按进价提高 10%后的价格销售,乙商品按进价提高 25%后的价格销售,两种商品全部售完 后的销售总额不低于 10480 元,问有哪几种进货方案? (3)在条件(2)下,并且不再考虑其他因素,若甲乙两种商品全部售完,哪种方案利润最 大?最大利润是多少? 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)设甲每个商品的进货单价是 x 元,每个乙商品的进货单价是 y 元,根据甲的 进货单价比乙的进货单价高 20 元,已知 20 个甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价 相同即可列方程组求解; (2)设甲进货 x 件,乙进货(100﹣x)件,根据两种商品的进货总价不高于 9000 元,两种 商品全部售完后的销售总额不低于 10480 元即可列不等式组求解; (3)把利润表示出甲进的数量的函数,利用函数的性质即可求解. 【解答】解:(1)设甲每个商品的进货单价是 x 元,每个乙商品的进货单价是 y 元. 根据题意得: ,

解得:



答:甲商品的单价是每件 100 元,乙每件 80 元; (2)设甲进货 x 件,乙进货(100﹣x)件. 根据题意得: 解得:48≤x≤50. 又∵x 是正整数,则 x 的正整数值是 48 或 49 或 50,则有 3 种进货方案; (3)销售的利润 w=100?10%x+80(100﹣x)?25%,即 w=2000﹣10x, 则当 x 取得最小值 48 时,w 取得最大值,是 2000﹣10?48=1520(元). 此时,乙进的件数是 100﹣48=52(件). 答:当甲进 48 件,乙进 52 件时,最大的利润是 1520 元. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组、一次函数的性质,正确求得甲进 货的数量的范围是关键. ,

12.(2016 永州)已 知 一 次 函 数 y=kx+2k+3 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 在 y 轴 的 正 半 轴 上,且函数值 y 随 x 的增大而减小,则 k 所有可能取得的整数值为 ﹣1 . 【考点】一次函数图象与系数的关系. 【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于 k 的一元一次不等式组, 解不等式组即可得出结论. 【解答】解:由已知得: ,

解得:﹣

< k< 0.

∵k 为整数, ∴ k=﹣ 1 . 故 答 案 为 : ﹣ 1. 13.(2016 沈阳)在一条笔直的公路上有 A,B,C 三地,C 地位于 A,B 两地之间,甲,乙两 车分别从 A,B 两地出发,沿这条公路匀速行驶至 C 地停止.从甲车出发至甲车到达 C 地的 过程,甲、乙两车各自与 C 地的距离 y(km)与甲车行驶时间 t(h)之间的函数关系如图表 示,当甲车出发 h 时,两车相距 350km.

【考点】一次函数的应用. 【分析】根据图象,可得 A 与 C 的距离等于 B 与 C 的距离,根据行驶路程与时间的关系,可 得相应的速度,根据甲、乙的路程,可得方程,根据解方程,可得答案. 【解答】解:由题意,得 AC=BC=240km, 甲的速度 240÷4=6 0km/h,乙的速度 240÷30=80km/h. 设甲出发 x 小时甲乙相距 350km,由题意,得 60x+80(x﹣1)+350=240?2, 解得 x= , 答:甲车出发 h 时,两车相距 350km, 故答案为: .

【点评】本题考查了一次函数的应用,利用题意找出等量关系是解题关键.

14.(2016 滨州)(2016?滨州)星期天,李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶,爸 爸 8:30 骑自行车先走,平均每小时骑行 20km;李玉刚同学和妈妈 9:30 乘公交车后行, 公交车平均速度是 40km/h.爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同,路程均 为 40km/h.设爸爸骑行时间为 x(h). (1) 请 分别写出爸爸的骑行路程 y1(km) 、李玉刚同学和妈妈的乘车路程 y2(km)与 x(h) 之间的函数解析式,并注明自变量的取值范围; (2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象; (3)请回答谁先到达老家. 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据速度乘以时间等于路程,可得函数关系式, (2)根据描点法,可得函数图象; (3)根据图象,可得答案. 【解答】解;(1)由题意,得 y1=20x (0≤x≤2) y2=40(x﹣1)(1≤x≤2); (2)由题意得;

(3)由图象得到达老家. 【点评】本题考查了一次函数图象,利用描点法是画函数图象的关键.

15.(2016 德州)如图,在平面直角坐标系中,函数 y=2x 和 y=﹣x 的图象分别为直线 l1, l2,过点(1,0)作 x 轴的垂线交 l2 于点 A1,过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2,过点 A2 作 x 轴的垂线交 l2 于点 A3,过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4,?依次进行下去,则点 A2017 的 坐标为 (21008,21009) .

【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【专题】规律型;一次函数及其应用. 【分析】写出部分 An 点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1((﹣2) ,2(﹣2) ) (n 为自然数)”,依此规律即可得出结论. 【解答】解:观察,发现规律:A1(1,2),A2(﹣2,2),A3(﹣2,﹣4),A4(4,﹣4), A5(4,8),?, ∴A2n+1((﹣2) ,2(﹣2) )(n 为自然数). ∵2017=1008?2+1, ∴A2017 的坐标为((﹣2)1008,2(﹣2)1008)=(21008,21009). 故答案为:(2
1008 n n n n

,2

1009

).

【点评】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化, 解题的关键是 找出变化规律“A2n+1((﹣2) ,2(﹣2) )(n 为自然数)”.本题属于基础题,难度不 大,解决该题型题目时,写出部分 An 点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键. 16.(2016 德州)某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋 的销售工作, 已知该运动鞋每双的进价为 120 元, 为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销, 试销情况如表所示: 第1天 售价 x(元/双) 150 销售量 y(双) 40 第2天 200 30 第3天 250 24 第4天 300 20
n n

(1)观察表中数据,x,y 满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;

(2)若商场计划每天的销售利润为 3000 元,则其单价应定为多少元? 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)由表中数据得出 xy=6000,即可得出结果; (2)由题意得出方程,解方程即可,注意检验. 【解答】解:(1)由表中数据得:xy=6000, ∴y= ,

∴y 是 x 的反比例函数, 故所求函数关系式为 y= ;

(2)由题意得:(x﹣120)y=3000, 把 y= 代入得:(x﹣120)? =3000,

解得:x=240; 经检验,x=240 是原方程的根; 答:若商场计划每天的销售利润为 3000 元,则其单价应定为 240 元. 【点评】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题;根据题意得出函数关系式和 列出方程是解决问题的关键. 17.(2016 济宁)已知点 P(x0,y0)和直线 y=kx+b,则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可用 公式 d= 计算.

例如:求点 P(﹣1,2)到直线 y=3x+7 的距离. 解:因为直线 y=3x+7,其中 k=3,b=7. 所以点 P (﹣1, 2) 到直线 y=3x+7 的距离为: d= = =

=



根据以上材料,解答下列问题: (1)求点 P(1,﹣1)到直线 y=x﹣1 的距离; (2)已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为(0,5) ,半径 r 为 2,判断⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关系 并说明理由; (3)已知直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行,求这两条直线之间的距离. 【考点】一次函数综合题. 【分析】 (1)根据点 P 到直线 y=kx+b 的距离公式直接计算即可; (2)先利用点到直线的距离公式计算出圆心 Q 到直线 y= x+9,然后根据切线的判定方法 可判断⊙Q 与直线 y= x+9 相切;

(3)利用两平行线间的距离定义,在直线 y=﹣2x+4 上任意取一点,然后计算这个点到直线 y=﹣2x﹣6 的距离即可. 【解答】解: (1)因为直线 y=x﹣1,其中 k=1,b=﹣1, 所以点 P(1,﹣1)到直线 y=x﹣1 的距离为:d=

= (2)⊙Q 与直线 y= 理由如下:

=

=



x+9 的位置关系为相切.

圆心 Q(0,5)到直线 y=

x+9 的距离为:d=

= =2,

而⊙O 的半径 r 为 2,即 d=r, 所以⊙Q 与直线 y= x+9 相切; (3)当 x=0 时,y=﹣2x+4=4,即点(0,4)在直线 y=﹣2x+4, 因为点(0,4)到直线 y=﹣2x﹣6 的距离为:d= 因为直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行, 所以这两条直线之间的距离为 2 . 18.(2016 枣庄)如图,点 A 的坐标为(-4,0) ,直线 y ? 3x ? n 与坐标轴交于点 B,C, 连结 AC,如 果∠ACD =90°,则 n 的值为.
y y= 3 x+n

=

=2



A

O C D

B

x

第 16 题图

【答案】 ?

4 3 . 3

考点:一次函数的性质.

第二节 反比例函数

1.(2016 兰州)如图,A、B 两点在反比例函数

? 的图像上,C、D 两点在反比例

函数

的图像上, AC 交 x 轴于点 E,BD 交 x 轴于点 F , AC=2,BD=3,EF=



【答案】 :A

【考点】 :反比例函数的性质 2.(2016 兰州)如图,在平面直角坐标系中, OA OB ,AB x 轴于点 C ,点? ?

在反比例函数 (1)求反比例函数的

? 的图像上。 ? 的表达式; ,求点 P 的坐标;

(2)在 x 轴的负半轴上存在一点 P ,使得

(3)若将△BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60?得到△BDE ,直接写出点 E 的坐标,并 判断点 E 是否在该反比例函数的图像上,说明理由。

像上。

3.(2016 茂名)如图,一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= (k 为常数,k≠0)的图象 交于点 A(﹣1,4)和点 B(a,1 ). (1)求反比例函数的表达式和 a、b 的值; (2)若 A、O 两点关于直线 l 对称,请连接 AO,并求出直线 l 与线段 AO 的交点坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解 析式. 【分析】(1)由点 A 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出 k 值,从而得 出反比例函数解析式;再将点 A、B 坐标分别代入一次函数 y=x+b 中得出关于 a、b 的二元一 次方程组,解方程组即可得出结论; (2)连接 AO,设线段 AO 与直线 l 相交于点 M.由 A、O 两点关于直线 l 对称,可得出点 M 为线段 AO 的中点,再结合点 A、O 的坐标即可得出结论. 【解答】解:(1)∵点 A(﹣1,4)在反比例函数 y= (k 为常数,k≠0)的图象上, ∴k=﹣1?4=﹣4, ∴反比例函数解析式为 y=﹣ . 把点 A(﹣1,4)、B(a,1)分别代入 y=x+b 中, 得: ,解得: .

(2)连接 AO,设线段 AO 与直线 l 相交于点 M,如图所示.

∵A、O 两点关于直线 l 对称, ∴点 M 为线段 OA 的中点, ∵点 A(﹣1,4)、O(0,0),

∴点 M 的坐标为(﹣ ,2). ∴直线 l 与线段 AO 的交点坐标为(﹣ ,2). 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元 一次方程组以及中点坐标公式,解题的关键是:(1)由点的坐标利用待定系数法求函数系 数;(2)得出点 M 为线段 AO 的中点.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,巧 妙的利用了中点坐标公式降低了难度. 4.(2016 深圳)如图,四边形 ABCO 是平行四边形, OA ? 2, AB ? 6, 点 C 在 x 轴的负半 轴上,将 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF,AD 经过点 O,点 F 恰好落在 x

轴的正半轴上.若点 D 在反比例函数 y ?

k ( x ? 0) 的图像上,则 k 的值为_________. x

解析:如图,作 DM⊥ x 轴 由题意∠BAO=∠OAF, AO=AF, AB∥OC 所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF ∴∠AOF=60°=∠DOM ∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4 ∴MO=2, MD= 2 3 ∴D(-2,- 2 3 ) ∴k=-2?( - 2 3 )= 4 3 5.(2016 大庆)9.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是反比例函数 y= 上的三 点,若 x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是( A.x1?x2<0 B.x1?x3<0 C.x2?x3<0 D.x1+x2<0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. )

【分析】根据反比例函数 y= 和 x1<x2<x3,y2<y1<y3,可得点 A,B 在第三象限,点 C 在 第一象限,得出 x1<x2<0<x3,再选择即可. 【解答】解:∵反比例函数 y= 中,2>0, ∴在每一象限内,y 随 x 的增大而减小, ∵x1<x2<x3,y2<y1<y3, ∴点 A,B 在第三象限,点 C 在第一象限, ∴x1<x2<0<x3, ∴x1?x2<0, 故选 A. 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征, 解答此题的关键是熟知反比例函数的 增减性,本题是逆用,难度有点大. 6.(2016 大庆)如图,P1、P2 是反比例函数 y= (k>0)在第一象限图象上的两点,点 A1 的坐标为(4,0).若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等腰直角三角形,其中点 P1、P2 为直角顶点. (1)求反比例函数的解析式. (2)①求 P2 的坐标. ②根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时,经过点 P1、P2 的一次函数的函数值 大于反比例函数 y= 的函数值.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;等腰直角三角形. 【分析】(1)先根据点 A1 的坐标为(4 ,0),△P1OA1 为等腰直角三角形,求得 P1 的坐标, 再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2 为等腰直角三角形,将 P2 的坐标设为(4+a, a),并代入反比例函数求得 a 的值,得到 P2 的坐标;再根据 P1 的横坐标和 P2 的横坐标,判 断 x 的取值范围. 【解答】解:(1)过点 P1 作 P1B⊥x 轴,垂足为 B ∵点 A1 的坐标为(4,0),△P1OA1 为等腰直角三角形

∴OB=2,P1B= OA1=2 ∴P1 的坐标为(2,2) 将 P1 的坐标代入反比例函数 y= (k>0),得 k=2?2=4 ∴反比例函数的解析式为 (2)①过点 P2 作 P2C⊥x 轴,垂足为 C ∵△P2A1A2 为等腰直角三角形 ∴P2C=A1C 设 P2C=A1C=a,则 P2 的坐标为(4+a,a) 将 P2 的坐标代入反比例函数的解析式为 a= ,解得 a1= , ,a2= ) 时,一次函数的函数值大于反比例函数的值. ,得 (舍去)

∴P2 的坐标为(

②在第一象限内,当 2<x<2+

【点评】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 解决问题的关键是根据等腰直 角三角形的性质求得点 P1 和 P2 的坐标.等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三 角形和直角三角形的所有性质. 7.(2016 梅州)如图,已知在平面直角坐标系中, O 是坐 标原点,点

A (2, 5) 在反比例函数 y ?

k 的图象上. 一次函数 y ? x ? b x

的图象过点 A, 且与反比例函数图象的另一交点为 B. (1)求 k 和 b 的值; (2)设反比例函数值为 y1 ,一次函数值为 y 2 ,求 y1 ? y 2 时 x 的取值范围. 解: (1)把 A(2,5)分别代入 y ?

k 和 y ? x?b , x

?k ? ?5 得 ?2 , ? ?2 ? b ? 5
解得 k ? 10 , b ? 3 ; (2)由(1)得,直线 AB 的解析式为 y ? x ? 3 , 反比例函数的解析式为 y ?

10 . x

10 ? ?y ? ? x ? 2 ? x ? ?5 x ,解得: ? 由? . 或? y ? 5 ? y ? ?2 ? ? ?y ? x ? 3
则点 B 的坐标为 (?5,?2) . 由图象可知,当 y ? y 时,x 的取值范围是 x ? ?5 或 0 ? x ? 2 . 1 2 8.(2016 黄冈)如图,已知点 A(1, a)是反比例函数 y= - 3 的图像上一点,直线 y= - 1 x+ 1 x 2 2 与反比例函数 y= - 3 的图像在第四象限的交点为 B. x (1)求直线 AB 的解析式; (2)动点 P(x, o)在 x 轴的正半轴上运动,当线段 PA 与线段 PB 之差达到最大时,求点 P 的 坐标.

(第 21 题)

【考点】反比例函数,一次函数,最值问题. 【分析】(1)因为点 A(1, a)是反比例函数 y= - 3 的图像上一点,把 A(1, a)代入 y=- 3 x x 中, 求出 a 的值,即得点 A 的坐标;又因为直线 y= - 1 x+ 1 与反比例函数 y= - 3 的图像 2 2 x 在第四象限的交点为 B,可求出点 B 的坐标;设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,将 A,B 的坐 标代入即可求出直线 AB 的解析式; (2) 当两点位于直线的同侧时, 直接连接两点并延长与直线相交, 则两线段的差的 绝对值最大。连接 A,B,并延长与 x 轴交于点 P,即当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA -PB|最大. 【解答】解: (1)把 A(1, a)代入 y=- 3 中,得 a=-3.∴A(1, -3). x 又∵B,D 是 y= - 1 x+ 1 与 y=- 3 的两个交点, 2 2 x ∴B(3, -1). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, 由 A(1, -3),B(3, -1),解得 k=1,b=-4. ∴直线 AB 的解析式为 y=x-4. (2)当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA-PB|最大 由 y=0, 得 x=4, ∴P(4, 0).

9.(2016 十堰)如图,将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中,C 是 AB 边上的动点(不与端点 A,B 重合),作 CD⊥OB 于点 D,若点 C,D 都在双曲线 y= 上(k >0,x>0),则 k 的值为( )

A.25

B.18

C.9

D.9

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;平行线的性质;等边三角形的性质. 【分析】过点 A 作 AE⊥OB 于点 E,根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点 A、B、E 的坐标,再由 CD⊥OB,AE⊥OB 可找出 CD∥AE,即得出 ,令该比例 =n,根

据比例关系找出点 D、C 的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k、n 的二元一次方程组,解方程组即可得出结论. 【解答】解:过点 A 作 AE⊥OB 于点 E,如图所示.

∵△OAB 为边长为 10 的正三角形, ∴点 A 的坐标为(10,0)、点 B 的坐标为(5,5 ∵CD⊥OB,AE⊥OB, ∴CD∥AE, ∴ 设 . =n(0<n<1), , ),点 C 的坐标为(5+5n,5 ﹣5 n). ),点 E 的坐标为( , ).

∴点 D 的坐标为(

∵点 C、D 均在反比例函数 y= 图象上,



,解得:



故选 C.

【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、 平行线的性质以及等边三角形的性质, 解题的关键是找出点 D、C 的坐标.本题属于中档题,稍显繁琐,解决该题型题目时,巧妙 的借助了比例来表示点的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键. 10.(2016 随州)如图,直线 y=x+4 与双曲线 y= (k≠0)相交于 A(﹣1,a) 、B 两点,在 y 轴上找一点 P,当 PA+PB 的值最小时,点 P 的坐标为 (0, ) .

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;轴对称-最短路线问题. 【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式求出点 A、B 的坐标,然后作出点 A 关于 y 轴 的对称点 C,连接 BC,与 y 轴的交点即为点 P,然后求出直线 BC 的解析式,求出点 P 的坐 标. 【解答】解:把点 A 坐标代入 y=x+4 得, ﹣1+4=a, a=3, 即 A(﹣1,3) , 把点 A 坐标代入双曲线的解析式:3=﹣k, 解得:k=﹣3, 联立两函数解析式得: ,

解得:





即点 B 坐标为: (﹣3,1) , 作出点 A 关于 y 轴的对称点 C,连接 BC,与 y 轴的交点即为点 P,使得 PA+PB 的值最小, 则点 C 坐标为: (1,3) , 设直线 BC 的解析式为:y=ax+b, 把 B、C 的坐标代入得: ,

解得:



函数解析式为:y= x+ , 则与 y 轴的交点为: (0, ) .

故答案为: (0, ) .

11.(2016 咸宁)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=2x 与反比例函数 y= k 在第一象限内 x 的图像交于点 A(m,2) ,将直线 y=2x 向下平移后与反比例函数 y= k 在第一象限内的图像交 x 于点 P,且△POA 的面积为 2. (1)求 k 的值; (2)求平移后的直线的函数解析式.

【考点】反比例函数与一次函数的综合题,平移. 【分析】(1)将点 A(m,2)代入 y=2x,可求得 m 的值,得出 A 点的坐标,再代入反比例函 数 y= k ,即可求出 k 的值; x (2)设平移后的直线与 y 轴交于点 B,连接 AB,则 S△AOB=S△POA=2 【解答】解:(1)∵点 A(m,2)在直线 y =2x 上, ∴2=2m, ∴m=1, ∴点 A(1,2) 。 又∵点 A(1,2)在反比例函数 y= k 的图像上, x ∴k=2. (2)设平移后的直线与 y 轴交于点 B,连接 AB,则 S△AOB=S△POA=2

过点 A 作 y 轴的垂线 AC,垂足为点 C,则 AC=1. ∴1 OB?AC=2, 2 ∴OB=4. ∴平移后的直线的解析式为 y=2x-4. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题,平移. 要注意,在图像上的点的坐标 满足这个图像的解析式;问题(2)中,设平移后的直线与 y 轴交于点 B,得出 S△AOB=S△POA=2 工过点 A 作 y 轴的垂线 AC 是解题的关键. 12.(2016 襄阳)如图,直线 y =ax+b 与反比例函数 y=

m (x>0)的图象交于 A(1,4), x

B(4,m)两点,与 x 轴,y 轴分别交干 C,D 两点. (1)m=,n=;若 M(xl,y1),N(x2,y2)是反比例函数图象 上两点,且 0<xl<x2,则 yl(填“<”或“=”或“>”); (2)若线段 CD 上的点 P 到 x 轴,y 轴的距离相等.求点 P 的坐标.
(1)m=4 n=lyl>y2 (2)解:∵直线 y=ax+b 经过点 A(l,4),B(4,1),

?a ? b ? 4, 解之,得 a ? ?1, b ? 5. ? y ? ? x ? 5. ?? ?4a ? b ? 1.
当 x=y 时,x=-x+5,解之,得 x ?

5 5 5 ? 所以, P ( , ) ? 2 2 2

13.(2016 常德)如 图 , 直 线 AB 与 坐 标 轴 分 别 交 于 A ( ﹣ 2 , 0 ) , B( 0, 1) 两 点 , 与 反 比 例 函 数 的 图 象 在 第 一 象 限 交 于 点 C( 4, n) ,求一次函数和反比例 函数的解析式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【 分 析 】 设 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=kx+b , 把 A ( ﹣ 2 , 0 ) , B( 0, 1) 代 入 得 出 方 程 组 ,解 方 程 组 即 可 ;求 出 点 C 的 坐 标 ,设 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 把 C( 4, 3) 代 入 y= 求 出 m 即 可 . 【 解 答 】 解 : 设 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y= kx+ b , ,

把 A( ﹣ 2, 0) , B( 0, 1) 代 入 得 :



解得:



∴ 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y= x+1 ; 设 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= , 把 C ( 4 , n ) 代 入 得 : n=3 , ∴ C( 4 , 3 ) , 把 C ( 4 , 3 ) 代 入 y = 得 : m=3?4=12, ∴ 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= .

14.(2016 衡阳)如 图 , 已 知 A , B 是 反 比 例 函 数 y= ( k > 0 , x > 0 ) 图 象 上 的 两 点 , BC∥ x 轴 , 交 y 轴 于 点 C , 动 点 P 从 坐 标 原 点 O 出 发 , 沿 O→ A→ B→ C ( 图 中 “ → ” 所 示 路 线 )匀 速 运 动 ,终 点 为 C ,过 P 作 PM ⊥ x 轴 ,垂 足 为 M .设 三 角 形 OMP 的 面 积 为 S , P 点 运 动 时 间 为 t, 则 S 关于 x 的函数图象大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【 分 析 】 结 合 点 P 的 运 动 , 将 点 P 的 运 动 路 线 分 成 O→ A、 A→ B 、 B→ C 三 段 位 置 来 进 行 分 析 三 角 形 O MP 面 积 的 计 算 方 式 , 通 过 图 形 的 特 点 分 析 出 面 积 变 化 的趋势,从而得到答案. 【 解 答 】 解 : 设 ∠ A OM = α , 点 P 运 动 的 速 度 为 a , 当 点 P 从 点 O 运 动 到 点 A 的 过 程 中 , S=
2 2

=

a ?cos α ?sin α ? t , 由 于 α 及 a 均 为 常 量 ,从 而 可 知 图 象 本 段 应 为 抛 物 线 ,且 S 随 着 t 的 增 大 而 增大;

当 点 P 从 A 运 动 到 B 时 , 由 反 比 例 函 数 性 质 可 知 △ OPM 的 面 积 为

k, 保 持 不

变, 故本段图象应为与横轴平行的线段; 当 点 P 从 B 运 动 到 C 过 程 中 , OM 的 长 在 减 少 , △ OPM 的 高 与 在 B 点 时 相 同 , 故本段图象应该为一段下降的线段; 故 选 : A.

15.(2016 湘西)如图,已知反比例函数 y= 的图象与直线 y=﹣x+b 都经过点 A(1,4), 且该直线与 x 轴的交点为 B. (1)求反比例函数和直线的解析式; (2)求△AOB 的面积.

【考点】反比 例函数与一次函数的交点问题. 【专题】计算题. 【分析】(1)把 A 点坐标分别代入 y= 和 y=﹣x+b 中分别求出 k 和 b 即可得到两函数解析 式; (2)利用一次函数解析式求出 B 点坐标,然后根据三角形面积公式求解. 【解答】解:(1)把 A(1,4)代入 y= 得 k= 1?4=4, 所以 反比例函数的解析式为 y= ; 把 A(1,4)代入 y=﹣x+b 得﹣1+b=4,解得 b=5, 所以直线解析式为 y=﹣x+5; (2)当 y=0 时,﹣x+5=0,解得 x=5,则 B(5,0), 所以△AOB 的面积= ?5?4=10. 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题: 反比例函数与一次函数的交点问题 (1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程 组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点

16.(2016 岳阳)如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)和反比例函数 y= (x >0) 的图象交于 A、 B 两点, 利用函数图象直接写出不等式 <kx+b 的解集是 1<x<4 .

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】先根据图形得出 A、B 的坐标,根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可. 【解答】解:∵由图象可知:A(1,4) ,B(4,1) ,x>0, ∴不等式 <kx+b 的解集为 1<x<4, 故答案为:1<x<4.

17.(2016 泰州)如图,点 A(m,4) ,B(﹣4,n)在反比例函数 y= (k>0)的图象上, 经过点 A、B 的直线与 x 轴相交于点 C,与 y 轴相交于点 D. (1)若 m=2,求 n 的值; (2)求 m+n 的值; (3)连接 OA、OB,若 tan∠AOD+tan∠BOC=1,求直线 AB 的函数关系式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1) 先把 A 点坐标代入 y= 求出 k 的值得到反比例函数解析式为 y= , 然后把 B (﹣ 4,n)代入 y= 可求出 n 的值; (2)利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 4m=k,﹣4n=k,然后把两式相减消去 k 即可 得到 m+n 的值;

(3) 作 AE⊥y 轴于 E, BF⊥x 轴于 F, 如图, 利用正切的定义得到 tan∠AOE= = ,则 +

= , tan∠BOF=

=1,加上 m+n=0,于是可解得 m=2,n=﹣2,从而得到 A(2,4) ,B(﹣4,

﹣2) ,然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式. 【解答】解: ( 1)当 m=2,则 A(2,4) , 把 A(2,4)代入 y= 得 k=2?4=8, 所以反比例函数解析式为 y= , 把 B(﹣4,n)代入 y= 得﹣4n=8,解得 n=﹣2; (2)因为点 A(m,4) ,B(﹣4,n)在反比例函数 y= (k>0)的图象上, 所以 4m=k,﹣4n=k, 所以 4m+4n=0,即 m+n=0; (3)作 AE⊥y 轴于 E,BF⊥x 轴于 F,如图, 在 Rt△AOE 中,tan∠AOE= 在 Rt△BOF 中,tan∠BOF= 而 tan∠AOD+tan∠BOC=1, 所以 + =1, = , = ,

而 m+n=0,解得 m=2,n=﹣2, 则 A(2,4) ,B(﹣4,﹣2) , 设直线 AB 的解析式为 y=px+q, 把 A(2,4) ,B(﹣4,﹣2)代入得 所以直线 AB 的解析式为 y=x+2. ,解得 ,

18.(2016 沈阳)如图,在平面直角坐标系中,点 P 是反比例函数 y= (x>0)图象上的一 点,分别过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B.若四边形 OAPB 的面积为 3,则 k 的值 为( )

A.3 B.﹣3 C.

D.﹣

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】 因为过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线, 所得矩形面积 S 是个定值, 即 S=|k|. 再 由函数图象所在的象限确定 k 的值即可. 【解答】解:∵点 P 是反比例函数 y= (x>0)图象上的一点,分别过点 P 作 PA⊥x 轴于 点 A,PB⊥y 轴于点 B.若四边形 OAPB 的面积为 3, ∴矩形 OAPB 的面积 S=|k|=3, 解得 k=±3. 又∵反比例函数的图象在第一象限, ∴k=3. 故选 A. 【点评】 本题主要 考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义, 即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想, 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义. 18. (2016 呼和浩特) 已知反比例函数 y= 的图象在二四象限, 一次函数为 y=kx+b (b>0) , 直线 x=1 与 x 轴交于点 B, 与直线 y=kx+b 交于点 A, 直线 x=3 与 x 轴交于点 C, 与直线 y=kx+b 交于点 D. (1)若点 A,D 都在第一象限,求证:b>﹣3k; (2)在(1)的条件下,设直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 E 与 y 轴交于点 F,当 的面积等于 = 且△OFE

时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式 >kx+b 的解集.

【考点】反比例函数综合题.

【分析】 (1) 由反比例函数 y= 的图象在二四象限, 得到 k<0, 于是得到一次函数为 y=kx+b 随 x 的增大而减小,根据 A,D 都在第一象限,得到不等式即可得到结论; (2)根据题意得到 ,由三角形的面积公式得到 S△OEF= ?(﹣ )?b= 联立方

程组解得 k=﹣ ,b=3,即可得到结论. 【解答】解: (1)证明:∵反比例函数 y= 的图象在二四象限, ∴k<0, ∴一次函数为 y=kx+b 随 x 的增大而减小, ∵A,D 都在第一象限, ∴3k+b>0, ∴b>﹣3k;

(2)由题意知: ∴ ①,



∵E(﹣ ,0) ,F(0,b) , ∴S△OEF= ?(﹣ )?b= ②,

由①②联立方程组解得:k=﹣ ,b=3, ∴这个一次函数的解析式为 y=﹣ x+3, 解﹣ =﹣ x+3 得 x1= ,x2= , 或 . ,

∴直线 y=kx+b 与反比例函数 y= 的交点坐标的横坐标是 ∴不等式 >kx+b 的解集为 <x<0 或 x>

19.(2016 宁夏)正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= 其中点 B 的横坐标为﹣2,当 y1<y2 时,x 的取值范围是(

的图象相交于 A,B 两点, )

A.x<﹣2 或 x>2 B.x<﹣2 或 0<x<2 C.﹣2<x<0 或 0<x<2 D.﹣2<x<0 或 x>2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】由正、反比例函数的对称性结合点 B 的横坐标,即可得出点 A 的横坐标,再根据两 函数图象的上下关系结合交点的横坐标,即可得出结论. 【解答】解:∵正比例和反比例均关于原点 O 对称,且点 B 的横坐标为﹣2, ∴点 A 的横坐标为 2. 观察函数图象,发现: 当 x<﹣2 或 0<x<2 时,一次函数图象在反比例函数图象的下方, ∴当 y1<y2 时,x 的取值范围是 x<﹣2 或 0<x<2. 故选 B. 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、 反比例函数的性质以及正比例函数 的性质,解题的关键是求出点 A 的横坐标.本题属于基础题,难度不大,根据正、反比例的 对称性求出点 A 的横坐标, 再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解 集. 20. (2016 宁夏) 如图, Rt△ABO 的顶点 O 在坐标原点, 点 B 在 x 轴上, ∠ABO=90°, ∠AOB=30°, OB=2 ,反比例函数 y= (x>0)的图象经过 OA 的中点 C,交 AB 于点 D.

(1)求反比例函数的关系式; (2)连接 CD,求四边形 CDBO 的面积.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】(1)解直角三 角形求得 AB,作 CE⊥OB 于 E,根据平行线分线段成比例定理和三 角形中位线的性质求得 C 的坐标,然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式; (2)求得 D 的坐标,进而求得 AD 的长,得出△ACD 的面积,然后根据 S 四边形 CDBO=S△AOB﹣S△ACD 即可求得. 【解答】解:(1)∵∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=2 ∴AB= OB=2, ,

作 CE⊥OB 于 E, ∵∠ABO=90°, ∴CE∥AB, ∴OC=AC, ∴OE=BE= OB= ∴C( ,1), ,CE= AB=1,

∵反比例函数 y= (x>0)的图象经过 OA 的中点 C, ∴1= ∴k= , , ;

∴反比例函数的关系式为 y= (2)∵OB=2 , ,

∴D 的横坐标为 2 代入 y= ∴D(2

得,y= , , ),

∴BD= , ∵AB=2, ∴AD= , ∴S△ACD= AD?BE= ? ? = , = ?2 ?2﹣ = .

∴S 四边形 CDBO=S△AOB﹣S△A CD= OB?AB﹣

【点评】 本题考查待定系数法求反比例函数的解析式, 解决本题的关键是明确反比例函数图 象上点的坐标特征. 21.(2016 滨州)如图,已知点 A、C 在反比例函数 y= 的图象上,点 B,D 在反比例函数 y= 的图象上,a>b>0,AB∥CD∥x 轴,AB,CD 在 x 轴的两侧,AB= ,CD= ,AB 与 CD 间的距 离为 6,则 a﹣b 的值是 3 .

【考点】反比例函数的性质. 【分析】设点 A、B 的纵坐标为 y1,点 C、D 的纵坐标为 y2,分别表示出来 A、B、C、D 四点 的坐标,根据线段 AB、CD 的长度结合 AB 与 CD 间的距离,即可得出 y1、y2 的值,连接 OA、 OB,延长 AB 交 y 轴于点 E,通过计算三角形的面积结合反比例函数系数 k 的几何意义即可 得出结论. 【解答】解:设点 A、B 的纵坐标为 y1,点 C、D 的纵坐标为 y2,

则点 A(

,y1),点 B(

,y1),点 C(

,y2),点 D(

,y2).

∵AB= ,CD= ,

∴2?|

|=|

|,

∴|y1|=2|y2|. ∵|y1|+|y2|=6, ∴y1=4,y2=﹣2. 连接 OA、OB,延长 AB 交 y 轴于点 E,如图所示.

S△OAB=S△OAE﹣S△OBE= (a﹣b)= AB?OE= ? ?4= , ∴a﹣b=2S△OAB=3. 故答案为:3. 【点评】 本题考查了反比例函数系数 k 的结合意义以及反比例函数的性质, 解题的关键是找 出 a﹣b=2S△OAB.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,利用反比例函数系数 k 的几何意义结合三角形的面积求出反比例函数系数 k 是关键. 22.(2016 菏泽)如图,△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例 函数 y= 在第一象限的图象经过点 B,则△OAC 与△BAD 的面积之差 S△OAC﹣S△BAD 为( )

A.36

B.12

C.6

D.3

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义;等腰直角三角形.

【分析】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b,结合等腰直角三角形的性质及图象可得 出点 B 的坐标, 根据三角形的面积公式结合反比例函数系数 k 的几何意义以及点 B 的坐标即 可得出结论. 【解答】解:设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b, 则点 B 的坐标为(a+b,a﹣b). ∵点 B 在反比例函数 y= 的第一象限图象上, ∴(a+b)?(a﹣b)=a2﹣b2=6. ∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣ b2= (a2﹣b2)= ?6=3. 故选 D. 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式,解题 的关键是找出 a ﹣b 的值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,设出等腰直角 三角形的直角边,用其表示出反比例函数上点的坐标是关键.
2 2

23. (2016 菏泽) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 y= 与直线 y=﹣2x+2 交于点 A (﹣ 1,a). (1)求 a,m 的值; (2)求该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)将 A 坐标代入一次函数解析式中即可求得 a 的值,将 A(﹣1,4)坐标代入 反比例解析式中即可求得 m 的值;

(2)解方程组

,即可解答.

【解答】解:(1)∵点 A 的坐标是(﹣1,a),在直线 y=﹣2x+2 上, ∴a=﹣2?(﹣1)+2=4, ∴点 A 的坐标是(﹣1,4),代入反比例函数 y= , ∴m=﹣4.

(2)解方程组

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y= 与直线 y=﹣2x+2

交于点 A(﹣1,a). (1)求 a,m 的值; (2)求该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)将 A 坐标代入一次函数解析式中即可求得 a 的值,将 A(﹣1,4)坐标代入 反比例解析式中即可求得 m 的值;

(2)解方程组

,即可解答.

【解答】解:(1)∵点 A 的坐标是(﹣1,a),在直线 y=﹣2x+2 上, ∴a=﹣2?(﹣1)+2=4, ∴点 A 的坐标是(﹣1,4),代入反比例函数 y= , ∴m=﹣4.

(2)解方程组

解得:





∴该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标为(2,﹣2). 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:反比例函数的图象 上点的坐标特征,待定系数法确定函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

解得:





∴该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标为(2,﹣2). 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:反比例函数的图象 上点的坐标特征,待定系数法确定函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 24. (2016 济宁) 如图, O 为坐标原点, 四边形 OACB 是菱形, OB 在 x 轴的正半轴上, sin∠AOB= , 反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A, 与 BC 交于点 F, 则△AOF 的面积等于 ( )

A.60 B.80 C.30 D.40 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N,设 OA=a,BF=b,通过解直角 三角形分别找出点 A、F 的坐标,结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a、b 的值, 通过分割图形求面积,最终找出△AOF 的面积等于梯形 AMNF 的面积,利用梯形的面积公式 即可得出结论. 【解答】解:过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M,过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N,如图所示.

设 OA=a,BF=b, 在 Rt△OAM 中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠ AOB= ,

∴AM=OA?sin∠AOB= a,OM= ∴点 A 的坐标为( a, ∵点 A 在反比例函数 y= ∴ a? a= =48, a) . 的图象上,

= a,

解得:a=10,或 a=﹣10(舍去) . ∴AM=8,OM=6. ∵四边形 OACB 是菱形, ∴OA=OB=10,BC∥OA, ∴∠FBN=∠AOB. 在 Rt△BNF 中,BF=b,sin∠FBN= ,∠BNF=90°, ∴FN=BF?sin∠FBN= b,BN= ∴点 F 的坐标为(10+ b, ∵点 B 在反比例函数 y= ∴(10+ b)? b=48, 解得:b= ∴FN= ,或 b= ,BN= (舍去) . ﹣5,MN=OB+BN﹣OM= ﹣1. )?( ﹣1)= b) . = b,

的图象上,

S△AOF=S△AOM+S 梯形 AMNF﹣S△OFN=S 梯形 AMNF= (AM+FN)?MN= (8+ ?( +1)?( 故选 D. ﹣1)=40.

25.(2016 聊城)如图,在直角坐标系中,直线 y=﹣ x 与反比例函数 y= 的图象交于关于 原点对称的 A,B 两点,已知 A 点的纵坐标是 3. (1)求反比例函数的表达式; (2)将直线 y=﹣ x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C,如果△ABC 的面积为 48,求平移后的直线的函数表达式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)将 y=3 代入一次函数解析式中,求出 x 的值,即可得出点 A 的坐标,再利用 反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式; (2)根据 A、B 点关于原点对称,可求出点 B 的坐标以及线段 AB 的长度,设出平移后的直 线的函数表达式, 根据平行线间的距离公式结合三角形的面积即可得出关于 b 的一元一次方 程,解方程即可得出结论 . 【解答】解:(1)令一次函数 y=﹣ x 中 y=3,则 3=﹣ x, 解得:x=﹣6,即点 A 的坐标为(﹣6,3). ∵点 A(﹣6,3)在反比例函数 y= 的图象上, ∴k=﹣6?3=﹣18, ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ (2)∵A、B 两点关于原点对称, ∴点 B 的坐标为(6,﹣3), ∴AB= =6 . .

设平移后的直线的函数表达式为 y=﹣ x+b(b>0),即 x+2y﹣2b=0, 直线 y=﹣ x 可变形为 x+2y=0,

∴两直线间的距离 d=

=

b.

∴S△ABC= AB?d= ?6 解得:b=8.

?

b=48,

∴平移后的直线的函数表达式为 y=﹣ x+8.

【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、 反比例函数图象上点的坐标特征. 三 角形的面积公式以及平行线间的距离公式,解题的关键是:(1)求出点 A 的坐标;(2)找 出关于 b 的一元一次方程.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,利用平行线间 的距离公式要比通过解直角三角形简洁不少. 26.(2016 泰安)如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,点 C 的坐标为 (0, 3) , 点 A 在 x 轴的负半轴上, 点 D、 M 分别在边 AB、 OA 上, 且 AD=2DB, AM=2MO, 一次函数 y=kx+b 的图象过点 D 和 M,反比例函数 y= 的图象经过点 D,与 BC 的交点为 N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)若点 P 在直线 DM 上,且使△OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等,求点 P 的坐标.

【分析】 (1)由正方形 OABC 的顶点 C 坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据 AD=2DB, 求出 AD 的长,确定出 D 坐标,代入反比例解析式求出 m 的值,再由 AM=2MO,确定出 MO 的 长,即 M 坐标,将 M 与 D 坐标代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值,即可确定出一次函数解 析式; (2)把 y=3 代入反比例解析式求出 x 的值,确定出 N 坐标,得到 NC 的长,设 P(x,y) , 根据△OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等,求出 y 的值,进而得到 x 的值,确定出 P 坐 标即可. 【解答】解: (1)∵正方形 OABC 的顶点 C(0,3) , ∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°, ∵AD=2DB, ∴AD= AB=2, ∴D(﹣3,2) , 把 D 坐标代入 y= 得:m=﹣6, ∴反比例解析式为 y=﹣ , ∵AM=2MO, ∴MO= OA=1,即 M(﹣1,0) ,

把 M 与 D 坐标代入 y=kx+b 中得:



解得:k=b=﹣1, 则直线 DM 解析式为 y=﹣x﹣1; (2)把 y=3 代入 y=﹣ 得:x=﹣2, ∴N(﹣2,3) ,即 NC=2, 设 P(x,y) , ∵△OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等, ∴ (OM+NC)OC= OM|y|,即|y|=9, 解得:y=±9, 当 y=9 时,x=﹣10,当 y=﹣9 时,x=8, 则 P 坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9) . 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定一 次函数、反比例函数解析式,坐标与图形性质,正方形的性质,以及三角形面积计算,熟练 掌握待定系数法是解本题的关键.

27.(2016 烟台)反比例函数 y= 的积为负数,则 t 的取值范围是( A.t< B.t> C.t≤ D.t≥

的图象与直线 y=﹣x+2 有两个交点,且两交点横坐标 )

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中,整理得出关于 x 的一元二次方程, 由两函数图象有两个交点, 且两交点横坐标的积为负数, 结合根的判别式以及根与系数的关 系即可得出关于 k 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论. 【解答】解:将 y=﹣x+2 代入到反比例函数 y= 得:﹣x+2= , 中,

整理,得:x2﹣2x+1﹣6t=0. ∵反比例函数 y= 的图象与直线 y=﹣x+2 有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,

∴ 故选 B.

,解得:t> .

26.(2016 淄博)反比例函数 y= (a>0,a 为常数)和 y= 在第一象限内的图象如图所示, 点 M 在 y= 的图象上,MC⊥x 轴于 点 C,交 y= 的图象于点 A;MD⊥y 轴于点 D,交 y= 的图 象于点 B,当点 M 在 y= 的图象上运动时,以下结论: ①S△ODB=S△OCA;

②四边形 OAMB 的面积不变; ③当点 A 是 MC 的中点时,则点 B 是 MD 的中点. 其中正确结论的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案; ②由四边形 OAMB 的面积=矩形 OCMD 面积﹣ (三角形 ODB 面积+面积三角形 OCA) , 解答可知; ③连接 OM,点 A 是 MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等,根据△ODM 的面积=△OCM 的 面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得. 【解答】解:①由于 A、B 在同一反比例函数 y= 图象上,则△ODB 与△OCA 的面积相等,都 为 ?2=1,正确; ②由于矩形 OCMD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值,则四边形 MAOB 的面积不会发生变化, 正确; ③连接 OM,点 A 是 MC 的中点,

则△OAM 和△OAC 的面积相等, ∵△ODM 的面积=△OCM 的面积= ,△ODB 与△OCA 的面积相等, ∴△OBM 与△OAM 的面积相等, ∴△OBD 和△OBM 面积相等, ∴点 B 一定是 MD 的中点.正确; 故选:D. 【点评】本题考查了反比例函数 y= (k≠0)中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思 想,做此类题一定要正确理解 k 的几何意义.

27(2016 巴中)已知,如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,k≠0)的图象与 x 轴、y 轴 分别交于 A、 B 两点, 且与反比例函数 y= (n 为常数且 n≠0) 的图象在第二象限交于点 C. CD⊥x 轴,垂直为 D,若 OB=2OA=3OD=6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)求两函数图象的另一个交点坐标; (3)直接写出不等式;kx+b≤ 的解集.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)先求出 A、B、C 坐标,再利用待定系数法确定函数解析式. (2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题. (3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号. 【解答】解: (1)∵OB=2OA=3OD=6, ∴OB=6,OA=3,OD=2, ∵CD⊥OA, ∴DC∥OB, ∴ ∴ = ,

= ,

∴CD=10, ∴点 C 坐标(﹣2,10) ,B(0,6) ,A(3,0) , ∴ 解得 ,

∴一次函数为 y=﹣2x+6. ∵反比例函数 y= 经过点 C(﹣2,10) , ∴n=﹣20, ∴反比例函数解析式为 y= ﹣ .

(2)由

解得





故另一个交点坐标为(5,﹣4) . (3)由图象可知 kx+b≤ 的解集:﹣2≤x<0 或 x≥5.

28.(2016 成都)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数 y ? kx 的图象与反比例函数

y?

m 的图象都经过点 A(2,2) . x

(1)分别求这两个函数的表达式; (2)将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B,与反比例函数图 象在第四象限的 交点为 C,连接 AB、AC,求点 C 的坐标及△ABC 的面积.

【答案】 (1)y=-x , y ? ?

4 ; (2)点 C 的坐标为(4,-1),6. x

解法二:如图 2,连接 OC.∵ OA∥BC,∴S△ABC =S△BOC=

1 1 OBxc= ?3?4=6. 2 2 m 的图象都经过点 A(2, x

试题解析: (1) ∵ 正比例 函数 y ? kx 的图象与反比例函数直线 y ?

?2k ? ?2 4 ?k ? ?1 ? -2). ,∴ ? m 解得: ? ∴ y=-x , y ? ? ; x ? ?2 ?m ? ?4 ? ?2
(2) ∵ 直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得,∴ B (0,3) ,kbc= koa=-1,∴ 设直

4 ? ? x1 ? 4 ? x2 ? ?1 ?y ? ? 线 BC 的表达式为 y=-x+3, 由 ? ,? .∵ 因为点 x ,解得 ? y ? ? 1 y ? 4 ? 1 ? 2 ? ? y ? ?x ? 3
C 在第四象限 ∴ 点 C 的坐标为(4,-1).

考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 29.(2016 达州)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB:BC=3:2,点 A(3,0) , B(0,6)分别在 x 轴,y 轴上,反比例函数 y= (x>0)的图象经过点 D,且与边 BC 交于 点 E,则点 E 的坐标为 (2,7) .

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,易证得△AOB∽△DFA,然后由相似三角形的对应边 成比例,求得点 D 的坐标,即可求得反比例函数的解析式,再利用平移的性质求得点 C 的坐 标,继而求得直线 BC 的解析式,则可求得点 E 的坐标. 【解答】解:过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,则∠AOB=∠DFA=90°, ∴∠OAB+∠ABO=90°, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°,AD=BC, ∴∠OAB+∠DAF=90°, ∴∠ABO=∠DAF, ∴△AOB∽△DFA, ∴OA:DF=OB:AF=AB:AD, ∵AB:BC=3:2,点 A(3,0) ,B(0,6) ,

∴AB:AD=3:2,OA=3,OB=6, ∴DF=2,AF=4, ∴OF=OA+AF=7, ∴点 D 的坐标为: (7,2) , ∴反比例函数的解析式为:y= ①,点 C 的坐标为: (4,8) ,

设直线 BC 的解析式为:y=kx+b, 则 ,

解得:



∴直线 BC 的解析式为:y= x+6②,

联立①②得:



(舍去) ,

∴点 E 的坐标为: (2,7) . 故答案为: (2,7) .

30(2016 广安)如图,一次函数 y1=kx+b(k≠0)和反比例函数 y2= (m≠0)的图象交于点 A(﹣1,6) ,B(a,﹣2) . (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)根据图象直接写出 y1>y2 时,x 的取值范围.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)把点 A 坐标代入反比例函数求出 k 的值,也就求出了反比例函数解析式,再把 点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 a 的值, 得到点 B 的坐标, 然后利用待定系数法即可 求出一次函数解析式;

(2)找出直线在一次函数图形的上方的自变量 x 的取值即可. 【解答】解: (1)把点 A(﹣1,6)代入反比例函数 y2= (m≠0)得: m=﹣1?6=﹣6, ∴ . 得:

将 B(a,﹣2)代入 ﹣2= ,

a=3, ∴B(3,﹣2) , 将 A(﹣1,6) ,B(3,﹣2)代入一次函数 y1=kx+b 得:

∴ ∴y1=﹣2x+4. (2)由函数图象可得:x<﹣1 或 0<x<3.

30.(2016 眉山) .如图,已知点 A 是双曲线 y ?

6 在第三象限分支上的一个动点,连结 x

AO 并延长交另一 分支于点 B,以 AB 为边作等边三角形 ABC,点 C 在第四象限内,且随着点 A 的运动,点 C 的位置也在不断变化,但点 C 始终在双曲线 y ?

k 上运动,则 k 的值是。 x

解:∵双曲线 y ?

6 的图象关于原点对称,∴点 A 与点 B 关于原点对称.∴OA=OB.连接 x

OC , 如 图 所 示 . ∵ △ ABC 是 等 边 三 角 形 , OA = OB , ∴ OC ⊥ AB . ∠ BAC = 60 ° . ∴

tan?OAC ?

OC ? 3 .∴, OC ? 3OA ,过点 A 作 AE⊥y 轴,垂足为 E,过点 C 作 CF OA

⊥y 轴,垂足为 F,∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,∴∠AEO=∠OFC,∠ AOE=90°-∠FOC=∠OCF.∴△OFC∽△AEO.相似比

OC ? 3 ,∴ OA

面积比

S? OFC ? 3 .∵点 A 在第一象限,设点 A 坐标为(a,b) ,∵点 A S? AEO

在双曲线 y ?

6 6 3 6 1 1 上,∴S△AEO= ab= ,∴S△OFC= FC ? OF ? .∴设点 C 坐标为 x 2 2 2 2
k 上,∴k=xy∵点 C 在第四象限,∴FC=x,OF=-y.∴FC x

(x,y) ,∵点 C 在双曲线 y ?

?OF=x? (-y)=-xy=- 3 6 6.∴xy=- 3 6 . .故答案 为:- 3 6 . 31.(2016 资阳)如 图 , 在 平 行 四 边 形 A B C D 中 , 点 A 、 B 、 C 的 坐 标 分 别 是 ( 1 , 0) 、 ( 3, 1) 、 ( 3, 3) , 双 曲 线 y= ( k≠ 0, x > 0 ) 过 点 D .

( 1) 求 双 曲 线 的 解 析 式 ; ( 2 ) 作 直 线 AC 交 y 轴 于 点 E , 连 结 DE , 求 △ CDE 的 面 积 .

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质. 【分析】 ( 1 ) 根 据 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 点 A 、 B 、 C 的 坐 标 分 别 是 ( 1 , 0 ) 、 ( 3, 1) 、 ( 3, 3) , 可 以 求 得 点 D 的 坐 标 , 又 因 为 双 曲 线 y= ( k≠ 0, x> 0)

过 点 D, 从 而 可 以 求 得 k 的 值 , 从 而 可 以 求 得 双 曲 线 的 解 析 式 ; ( 2 ) 由 图 可 知 三 角 形 CDE 的 面 积 等 于 三 角 形 E D A 与 三 角 形 A D C 的 面 积 之 和 , 从而可以解答本题. 【 解 答 】解 : ( 1 )∵ 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,点 A 、B 、C 的 坐 标 分 别 是( 1 ,0 ) 、 ( 3, 1) 、 ( 3, 3) , ∴ 点 D 的 坐 标 是 ( 1, 2) , ∵ 双 曲 线 y= ( k≠ 0, x > 0 ) 过 点 D , ∴ 2= , 得 k=2 , 即 双 曲 线 的 解 析 式 是 : y= ; ( 2 ) ∵ 直 线 AC 交 y 轴 于 点 E , ∴ S △ C D E =S △ E D A +S △ A D C = 即 △ CDE 的 面 积 是 3 . ,

32.(2016 新疆)如 图 , 直 线 y=2x+3 与 y 轴 交 于 A 点 , 与 反 比 例 函 数 y= ( x > 0) 的 图 象 交 于 点 B, 过 点 B 作 BC⊥ x 轴 于 点 C, 且 C 点 的 坐 标 为 ( 1, 0) . ( 1) 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ; ( 2 ) 点 D ( a , 1 ) 是 反 比 例 函 数 y= ( x > 0 ) 图 象 上 的 点 , 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 P , 使 得 PB+P D 最 小 ? 若 存 在 , 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由.

【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ; 轴 对 称 -最 短 路 线 问 题 . 【分析】 ( 1 )先 根 据 直 线 y=2x+3 求 出 点 B 坐 标 ,再 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 反 比例函数解析式; ( 2 )先 根 据 反 比 例 函 数 解 析 式 求 出 点 D 的 坐 标 ,若 要 在 x 轴 上 找 一 点 P ,使 PB+PD 最 小 , 可 作 点 D 关 于 x 的 轴 的 对 称 点 D ′ , 连 接 BD′ , 直 线 BD′ 与 x 轴 的 交 点 即 为 所 求 点 P. 【解答】解: ( 1 ) ∵ B C⊥ x 轴 于 点 C , 且 C 点 的 坐 标 为 ( 1 , 0 ) , ∴ 在 直 线 y=2x+3 中 , 当 x=1 时 , y=2+3=5 , ∴ 点 B 的 坐 标 为 ( 1, 5) , 又 ∵ 点 B ( 1 , 5 ) 在 反 比 例 函 数 y= ∴ k=1?5=5, ∴ 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 : y= ( 2 ) 将 点 D ( a , 1 ) 代 入 y= ; , 得 : a=5 , 上,

∴ 点 D 坐 标 为 ( 5, 1) 设 点 D ( 5 , 1 ) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 D′ ( 5 , ﹣ 1 ) , 过 点 B( 1, 5) 、 点 D ′ ( 5 , ﹣ 1 ) 的 直 线 解 析 式 为 : y=kx+b , 可得: ,

解得:



∴ 直 线 BD′ 的 解 析 式 为 : y= ﹣

x+



根 据 题 意 知 , 直 线 BD ′ 与 x 轴 的 交 点 即 为 所 求 点 P , 当 y=0 时 , 得 : ﹣ 故点 P 的坐标为( x+ =0 , 解 得 : x= ,

, 0) . x﹣ 与 x,y 轴分别交于点 A,B,与反比例函数 y= (k

33.(2016 金华)如图,直线 y=

>0)图象交于点 C,D,过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E. (1)求点 A 的坐标. (2)若 AE=AC. ①求 k 的值. ②试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称?并说明理由.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)令一次函数中 y=0,解关于 x 的一元一次方程,即可得出结论; (2)①过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F,设 AE=AC=t,由此表示出点 E 的坐标,利用特殊角的三角 形函数值, 通过计算可得出点 C 的坐标, 再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于 t 的一元二次方程,解方程即可得出结论; ②根据点在直线上设出点 D 的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点 D 横坐标的一元二次方程,解方程即可得出点 D 的坐标,结合①中点 E 的坐标即可得出结论. 【解答】解:(1)当 y=0 时,得 0= ∴点 A 的坐标为(3,0).: (2)①过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F,如图所示. x﹣ ,解得:x=3.

设 AE=AC=t,点 E 的坐标是(3,t), 在 Rt△AOB 中,tan∠OAB= ∴∠OAB=30°. 在 Rt△ACF 中,∠CAF=30°, ∴CF= t,AF=AC?cos30°= ∴点 C 的坐标是(3+ ∴(3+ t, t, t). = ,

t)? t=3t, .

解得:t1=0(舍去),t2=2 ∴k=3t=6 .

②点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称,理由如下: 设点 D 的坐标是(x, ∴x( x﹣ )=6 x﹣ ),

,解得:x1=6,x2=﹣3, ). ),

∴点 D 的坐标是(﹣3,﹣2 又∵点 E 的坐标为(3,2

∴点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称. 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、 解一元二次方程以及反比例函数图 象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)令一次函数中 y=0 求出 x 的值;(2)根据反比例 函数图象上点的坐标特征得出一元二次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目 时,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出关于点的横坐标的一元二次方程是关键. 34.(2016 衢州)如图,正方形 ABCD 的顶点 A,B 在函数 y= (x>0)的图象上,点 C,D 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,当 k 的值改变时,正方形 ABCD 的大小也随之改变. (1)当 k=2 时,正方形 A′B′C′D′的边长等于 . (2)当变化的正方形 ABCD 与(1)中的正方形 A′B′C′D′有重叠部分时,k 的取值范围 是 ≤x≤18 .

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数的性质;正方形的 性质. 【分析】 (1)过点 A′作 AE⊥y 轴于点 E,过点 B′⊥x 轴于点 F,由正方形的性质可得出 “A′D′=D′C′, ∠A′D′C′=90°”, 通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′, OC′=ED′”,设 OD′=a,OC′=b,由此可表示出点 A′的坐标,同理可表示出 B′的坐标, 利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 a、b 的二元二次方程组,解方程组即可 得出 a、b 值,再由勾股定理即可得出结论; (2) 由 (1) 可知点 A′、 B′、 C′、 D′的坐标, 利用待定系数法即可求出直线 A′B′、 C′D′ 的解析式,设点 A 的坐标为(m,2m) ,点 D 坐标为(0,n) ,找出两正方形有重叠部分的临 界点,由点在直线上,即可求出 m、n 的值,从而得出点 A 的坐标,再由反比例函数图象上 点的坐标特征即可得出 k 的取值范围. 【解答】 解: (1) 如图, 过点 A′作 AE⊥y 轴于点 E, 过点 B′⊥x 轴于点 F, 则∠A′ED′=90°.

∵四边形 A′B′C′D′为正方形, ∴A′D′=D′C′,∠A′D′C′=90°, ∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°. ∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°, ∴∠ED′A′=∠OC′D′. 在△A′ED′和△D′OC′中, , ∴△A′ED′≌△D′OC′(AAS) . ∴OD′=EA′,OC′=ED′. 同理△B′FC′≌△C′OD′. 设 OD′=a,OC′=b,则 EA′=FC′=OD′=a,ED′=FB′=OC′=b, 即点 A′(a,a+b) ,点 B′(a+b,b) .

∵点 A′、B′在反比例函数 y= 的图象上,



,解得:



(舍去) .

在 Rt△C′ OD′中,∠C′OD′=90°,OD′=OC′=1, ∴C′D′= = .

故答案为: . (2)设直线 A′B′解析式为 y=k1x+b1,直线 C′D′解析式为 y=k2+b2, ∵点 A′(1,2) ,点 B′(2,1) ,点 C′(1,0) ,点 D′(0,1) , ∴有 和 ,

解得:





∴直线 A′B′解析式为 y=﹣x+3,直线 C′D′解析式为 y=﹣x+1. 设点 A 的坐标为(m,2m) ,点 D 坐标为(0,n) . 当 A 点在直线 C′D′上时,有 2m=﹣m+1,解得:m= , 此时点 A 的坐标为( , ) , ∴k= ? = ; 当点 D 在直线 A′B′上时,有 n=3, 此时点 A 的坐标为(3,6) , ∴k=3?6=18. 综上可知:当变化的正方形 ABCD 与(1)中的正方形 A′B′C′D′有重叠部分时,k 的取值 范围为 ≤x≤18. 故答案为: ≤x≤18. 35.(2016 温州)如图,点 A,B 在反比例函数 y= (k>0)的图象上,AC⊥x 轴,BD⊥x 轴, 垂足 C,D 分别在 x 轴的正、负半轴上,CD=k,已知 AB=2AC,E 是 AB 的中点,且△BCE 的面 积是△ADE 的面积的 2 倍,则 k 的值是 .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】根据三角形面积间的关系找出 2S △ABD=S△BAC,设点 A 的坐标为(m, ) ,点 B 的坐标 为(n, ) ,结合 CD=k、面积公式以及 AB=2AC 即可得出关于 m、n、k 的三元二次方程组, 解方程组即可得出结论. 【解答】解:∵E 是 AB 的中点, ∴S△ABD=2S△ADE,S△BAC=2S△BCE, 又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的 2 倍, ∴2S△ABD=S△BAC. 设点 A 的坐标为(m, ) ,点 B 的坐标为(n, ) ,

则有



解得:

,或

(舍去) .

故答案为:




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