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2015-2016学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学(理)试题


广东仲元中学高二期中考试数学试题(2015.11)

一.选择题 1.已知集合 A ? ?1, a? , B ? ?1, 2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则( A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

3.已知 x 可以在区间[-t,4t](t>0)上任意取值,则 x∈[- A.

1 t,t]的概率是( 2

).

1 3 1 1 B. C. D. 6 10 2 3 4.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 5.某中学高三年级从甲、 乙两个班级各选出 7 名学生参加数 学竞赛,他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图 l,其 中甲班学生的平均分是 85, 乙班学生成绩的中位数是 83. 则 x ? y 的值为( )
A.7 C .9 B.8 D.10

6.已知双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,

则实数 m 的值是( A. 4

)

B.

1 4

C. ?

1 4

D.-4
等于( ).

x2 y 2 ? ? 1 上一点, | PF1 |? 6 ,则 7. P 是以 F 1 、 F2 为焦点的双曲线 16 9

A. 14 B. 2 C . 2 或 14 D. 4 8.某小组有 3 名男生和 2 名女生, 从中任选 2 名同学参加演讲比赛, 那么互斥但不对立的两 个事件是( ) A.至少有 1 名男生与全是女生 B.至少有 1 名男生与全是男生 C.至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D.恰有 1 名男生与恰有 2 名女生

第 1 页 共 10 页

9.按照程序框图(如右图)执行,第 3 个输出的数是( A.3 B.4 C.5 D.6

).

10. 如图是根据 x , y 的观测数据 ?xi , yi ? (i=1,2,…,10)得到的散点图,由这些散点图 可以判断变量 x , y 具有线性相关关系的图是 ( y y y ) y

o
① A.①②

x

o
② B.①④

x

o
③ C.②③

x

o
④ D.③④

x

11.设 F1 , F2 是椭圆 E : 右焦点,P 为直线 x ?

x2 y 2 =1( a > b >0)的左、 ? a 2 b2

3a 0 上一点, △ F2 PF1 是底角为 30 的 2
2 3
C.

等腰三角形,则 E 的离心率为

A.

1 2

B.

3 4

D.

4 5

12.直线

x y x2 y2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于 A, B 两点, 4 3 16 9
)个

该椭圆上点 P 使得 ?PAB 面积为 2,这样的点 P 共有( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题 13.若“ ?x ? [0,

?
4

], tan x ? m ”是真命题,则实数 m 的最小值为



14.一工厂生产了某种产品 16800 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,为检查这批产品 的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成 一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品. 15.假设要抽查某种品牌的 850 颗种子的发芽率,抽取 60 粒进行实验.利用随机数表抽取

第 2 页 共 10 页

种子时,先将 850 颗种子按 001,002,?,850 进行编号,如果从随机数表第 8 行第 7 列 的 数 7 开 始 向 右 读 , 请 你 依 次 写 出 最 先 检 测 的 号 , , , . 4 颗 种 子 的 编

(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 16. 椭圆 C 1 方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ,C 1 ,C 2 的离心率之积为 ,双曲线 的方程为 C 2 a 2 b2 a 2 b2
.

3 ,则 C 2 的渐近线方程为 2
三.解答题 17. (本小题满分 12 分)

给定两个命题 P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;
2

Q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;
(1) “ a ? 0 ”是 P 的什么条件? (2)如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分10分) 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如 下统计数据表:(单位:万元) 收入 x 支出 y 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ? ? 0.76, a ? ; ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx (2 ) 请根据上表数据求回归直线方程 y
(3 ) 试根据(2)求出的线性回归方程,预测该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为多少?
y(万元)

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 8 10 12 第 3 页 共 10 页

x(万元)

19. (本小题满分12分) 某校从高二年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们 的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ?40,50? , ?50,60? ,?,

a
0.025 0.020

频率 组距

?90,100? 后得到如图 4 的频率分布直方图.
(1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高二年级共有学生 640 人,试估计该校高二 年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内 的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之 差的绝对值不大于 10 的概率. 20. (本小题满分12分) 已知双曲线 C :

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 F ( 3,0) ,实轴长为 2 ,经过 a 2 b2

点 M (2,1) 作直线 l 交双曲线 C 于 A, B 两点,且 M 为 AB 中点. (1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 21. (本小题满分12分) 已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若 EM ? FN ? 0 求 MN 的最小值. 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过 A ? ?2,0 ? 、B ? 2,0? 、 C ?1, ? 三点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l : y ? k ? x ?1? ( k ? 0 )与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与 直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上.

???? ? ??? ?

? 3? ? 2?

第 4 页 共 10 页

高二期中考试数学试题参考答案
一.选择题 ACACB CADBD 二.填空题 13. 1. 三.解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)“ a ? 0 ”是 P 的充分不必要条件; (答充分条件也对) (2)对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?
2

CD(12 题为期中复习题一第 12 题改编)

14. 5600

15. 785,567,199,810.

16. y ? ?

2 x 2

????2 分

?a ? 0 ?? ? 0
????5 分

? 0 ? a ? 4;
2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ; 4

????7 分

1 1 ? ? a ? 4 ; ????9 分 4 4 1 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? ? a ? 0 . ????11 分 4
如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ?4 ?
18. (本小题满分 10 分) 解: (1)散点图(略) (2) x ?

????12 分

????2 分 ????3 分 ????4 分 ????5 分 ????7 分

8.2 ? 8.6 ? 10.0 ? 11.3 ? 11.9 ? 10 (万元) 5 6.2 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.5 ? 9.8 y? ? 8 (万元) 5

? ? 8 ? 0.76 ?10 ? 0.4 ? ? y ? bx 故a
所以回归直线方程为 ? y ? 0.76x ? 0.4 (3) 当社区一户家庭年收入为 15 万元时 其年支出为 y ? 0.76 ?15 ? 0.4 ? 11.8 万元

????9 分

答:可预测该社区一户年收入为 15 万元家庭年支出为 11.8 万元 ????10 分 19. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????????1 分 解得 a ? 0.03 .?????????????????????2 分
第 5 页 共 10 页

(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为

1 ? 1 0? ( 0 . 0 ? 05

? .00. 1 8).???? 5 0 3分

由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.???????????5 分 (3)解:成绩在 ?40,50? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .??6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F .7 分 若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有 的基本事件有: ? A, B? ,? A, C ? ,? A, D ? ,? A, E ? ,? A, F ? ,? B, C ? ,? B, D ? ,? B, E ? ,

? B, F ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ?

共 15 种.?9 分

如果两名学生的数学成绩都在 ?40,50? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内, 那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ?40,50? 分数段内,另一 个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基 本事件有:

? A, B? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共 7 种.??11 分
所以所求概率为 P ? M ? ?

7 .??????????????????12 分 15

20. (本小题满分12分, 教材《选修2-1》P.80第9题改编) 解: (1)由已知: 2a ? 2, c ? 3

? a ? 1, b2 ? c2 ? a2 ? 2 ?????????????2 分
所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1????????4 分 2

(2)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 并设经过点 M 的直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2),即y ? kx ? 1 ? 2k ???5 分 把 y ? kx ? 1 ? 2k 代入双曲线 C 的方程 x ?
2

y2 ? 1, 2
2

得 (2 ? k ) x ? 2k (1 ? 2k ) x ? (1 ? 2k ) ? 2 ? 0(2 ? k ? 0) ?????? ①????6 分
2 2 2

第 6 页 共 10 页

所以 xM ?

x1 ? x2 k (1 ? 2k ) ? ? 2. ??????7 分 2 2 ? k2

解得 k ? 4 .???????8 分 当 k ? 4 时,方程①成为
2

14 x 2 ? 56 x ? 51 ? 0

根的判别式 ? ? 56 ? 56 ? 51 ? 280 ? 0 ,方程①有实数解.????10 分 所以,直线 l 的方程为 y ? 4 x ? 7. ???????????12 分

21. (本小题满分12分,教材《选修2-1》P.47例6改编) (1)解:设点 P ? x, y ? ,

依题意,有

?x ? 2?

2

? y2

x?2 2

?

2 .??????2 分 2

整理,得

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????4 分 4 2 x2 y 2 ? ? 1 .????????5 分 4 2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为

(2)解:∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, ∴点 E 的坐标为 ? 2, 0 .?????????????6 分 ∵ M 、 N 是直线 l 上的两个点,

?

?

∴可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2 (不妨设 y1 ? y2 ) . ∵ EM ? FN ? 0 , ∴ 3 2, y1 ? 2, y2 ? 0 .?????????????7 分 即 6 ? y1 y2 ? 0 .即 y2 ? ?

?

?

?

?

???? ? ??? ?

?

??

?

6 .?????????????8 分 y1

由于 y1 ? y2 ,则 y1 ? 0 , y2 ? 0 . ∴ MN ? y1 ? y2 ? y1 ?

6 6 ≥2 y1 ? ? 2 6 .???????????10 分 y1 y1

当且仅当 y1 ? 6 , y2 ? ? 6 时,等号成立.???????????11 分 故 MN 的最小值为 2 6 .?????????????12 分
第 7 页 共 10 页

22. (1)解法一:当椭圆 E 的焦点在 x 轴上时,设其方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

则 a ? 2 ,又点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,得

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1 .解得 b2 ? 3 . 2 2 4b

∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

x2 y 2 当椭圆 E 的焦点在 y 轴上时,设其方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , b a
则 b ? 2 ,又点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,得
2 解得 a ? 3 ,这与 a ? b 矛盾.

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1. 2 2 4a

综上可知,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??4 分

解法二:设椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 ( m ? 0, n ? 0 ) , 将 A ? ?2,0 ? 、 B ? 2,0? 、 C ?1, ? 代入椭圆 E 的方程,得

? 3? ? 2?

?4m ? 1, 1 1 ? 解得 m ? , n ? . ? 9 3 4 m ? n ? 1. ? ? 4
∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??4 分

( 2 ) 证 法 一 : 将 直 线 l : y ? k ? x ?1? 代 入 椭 圆 E 的 方 程

x2 y 2 ? ?1 并整理,得 4 3
??5 分

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4 ? k 2 ? 3 ? ? 0 ,

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 ? k 2 ? 3? 8k 2 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
直线 AM 的方程为: y ?

??7 分

? 6y ? y1 ? x ? 2 ? ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 P ? 4, 1 ? , x1 ? 2 ? x1 ? 2 ?
第 8 页 共 10 页

同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q ? 4,

? ?

2 y2 ? ?. x2 ? 2 ?

??9 分

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等: ∵ y1 ? k ? x1 ?1? , y2 ? k ? x2 ?1? , ∴

6k ? x1 ? 1?? x2 ? 2 ? ? 2k ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? 6 y1 2 y2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

? 8 ? k 2 ? 3? 40k 2 ? 2k ? ? ? 8 ? 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k 2k ? 2 x x ? 5 x ? x ? 8 ? ? ? ? ? 1 2 1 2 ?? ? ? ? ? ?0. ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?
因此结论成立. 综上可知,直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. 证法二:将直线 l : y ? k ? x ?1? ,代入椭圆 E 的方程
2 2 2 2 得 3 ? 4 k x ? 8k x ? 4 k ? 3 ? 0 ,

??12 分

x2 y 2 ? ? 1 并整理, 4 3
??5 分

?

?

?

?

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 ? k 2 ? 3? 8k 2 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
直线 AM 的方程为: y ?

??7 分

k ? x ? 1? y1 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 ? x ? 2? . x1 ? 2 x1 ? 2 k ? x ? 1? y2 ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 ? x ? 2? . x2 ? 2 x2 ? 2
??9 分

直线 BN 的方程为: y ?

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得

x?

2 x1 x2 ? 3 ? x1 ? x2 ? ? 4 x2 ? 2 ? 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ? x1 ? 3x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 2 x2 ? 4

? 8 ? k 2 ? 3? 24k 2 ? 2 2? ? ? 4 x2 ? 4 ? ? 4k ? 6 ? x ? 2 2 ? 2? 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 4. ? ? 2 2 8k 4k ? 6 ? 4 ? 2 x2 ? ? x2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. ??12 分

第 9 页 共 10 页

证法三:将直线 l : y ? k ? x ?1? ,代入椭圆方程
2 2 2 2 得 3 ? 4 k x ? 8k x ? 4 k ? 3 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1 并整理, 4 3
??5 分

?

?

?

?

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 ? k 2 ? 3? 8k 2 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
消去 k 得, 2x1x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 .
2

??7 分

直线 AM 的方程为: y ?

k ? x ? 1? y1 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 ? x ? 2? . x1 ? 2 x1 ? 2 k ? x ? 1? y2 ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 ? x ? 2? .??9 分 x2 ? 2 x2 ? 2

直线 BN 的方程为: y ?

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y 得,

x?

5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ? 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ? ? ? 4. ? ? x1 ? 3 x2 ? 4 x1 ? 3 x2 ? 4
??12 分

∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上.

第 10 页 共 10 页


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