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【优化方案】高考数学总复习 第3章第7课时正弦定理和余弦定理课件 理 新人教B版_图文

第7课时 正弦定理和余弦定理 双基研习?面对高考 第7课时 考点探究?挑战高考 考向瞭望?把脉高考 双基研习?面对高考 基础梳理 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a b c = = ______________ sinA sinB sinC a2=_______________ b2+c2-2bccosA; 内容 =2R (R 为△ABC 外 接圆半径) b2=_______________ c2+a2-2cacosB; c2=________________. a2+b2-2abcosC 定 理 正弦定理 余弦定理 变 形 形 式 2RsinB , cosA= 2RsinA ,b=________ a=________ 2RsinC ; c=_________ b2+c2-a2 a b 2bc ; ________ 2R ,sinB=_____ 2R , cosB= sinA=______ c c2+a2-b2 2R sinC=_________ ; _______ 2ca ; A∶sinB∶sinC; cosC= a∶b∶c=sin _______________ a+b+c a2+b2-c2 a = . 2ab sin A _______. sinA+sinB+sinC 思考感悟 在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的什 么条件? a b 提示: 充要条件. 因为 sinA>sinB? > ?a>b 2R 2R ?A>B. 课前热身 1. (教材习题改编)已知△ABC 中, a= 2, b= 3, B=60° ,那么角 A 等于( ) A.135° B.90° C.45° D.30° 答案:C 2.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等 于( ) A.60° B.45° C.120° D.30° 答案:C 3.在△ ABC 中,若 A=120° ,AB=5,BC= 7, 则△ ABC 的面积是 ( ) 3 3 A. 4 15 3 15 3 15 3 B. C. D. 2 4 8 答案:C 4.(2010 年高考广东卷 )已知 a,b,c 分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1,b= 3,A+C=2B,则 sinA=________. 1 答案: 2 5.在△ABC 中,如果 A=60° ,c= 2,a= 6, 则△ABC 的形状是________. 答案:直角三角形 考点探究?挑战高考 考点突破 正弦定理的应用 利用正弦定理可解决以下两类三角形:一是 已知两角和一角的对边,求其他边角;二是 已知两边和一边的对角,求其他边角. 例1 (1)(2010 年高考山东卷 )在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b = 2 , sin B + cos B = 2 ,则角 A 的大小为 ________. (2)满足 A=45° ,a=2,c= 6的△ABC 的个数 为________. 【思路分析】 (1)先求出角B,再利用正弦 定理求角A;(2)直接利用正弦定理求解. π ? 【解析】 (1) ∵ sinB+ cosB= 2sin ?4+ B? ?= 2, π π ? ? ∴ sin?4+ B?= 1.又 0<B<π,∴ B= . 4 2 2× 2 1 asinB 由正弦定理,得 sin A= = = . 2 2 b π 又 a<b,∴ A<B,∴ A= . 6 a c 2 6 (2)由正弦定理得 = ,故 = , sin45° sinC sinA sinC 3 即 sinC= ,∴ C= 60° 或 120° . 2 当 C= 60° 时,可得 B= 75° ;当 C= 120° 时,可 得 B= 15° . 显然这两解均符合题意,故这样的三角形有 2 个. 【答案】 π (1) 6 (2)2 【方法总结】 已知三角形的两边和其中一 边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边, 但要注意对角的情况进行判断,这类问题往 往有一解、两解、无解三种情况. 余弦定理的应用 利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边 和它们的夹角,求其他边角;二是已知三边求 其他边角.由于这两种情况下的三角形是惟一 确定的,所以其解也是惟一的. 例2 在△ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边 π 长分别是 a, b, c,已知 c= 2, C= . 3 (1)若△ ABC 的面积等于 3,求 a, b 的值; (2)若 sinB= 2sinA,求△ ABC 的面积. 【思路分析】 由正、余弦定理及面积公式 列关于a,b的方程组. 【解】 (1)由余弦定理得 a +b - ab=4, 又因为△ ABC 的面积等于 3, 1 所以 absinC= 3,得 ab= 4. 2 ? ?a + b - ab= 4, 联立方程组? 解得 a= 2, ? ?ab= 4, 2 2 2 2 b=2. (2)由正弦定理,已知条件可化为 b=2a, 2 2 ? ?a + b - ab= 4, 联立方程组? ? ?b= 2a, 2 3 4 3 解得 a= , b= . 3 3 1 2 3 所以△ ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 【规律小结】 余弦定理揭示了三角形边角之 间的关系,是解三角形的重要工具,在能够确 定三边的情况下求三角形的面积,只要再求得 三角形的一个角就可以了. 三角形形状的判定 判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关 系进行思考,主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角 三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等 腰三角形或直角三角形”的区别. 例3 (2010年高考辽宁卷)在△ABC中,a,b,c 分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+ c)sin B+