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人教A版高中数学选修2-1习题:第一章1.4-1.4.2存在量词

第一章 1.4 常用逻辑用语 全称量词与存在量词 1.4.1 1.4.2 全称量词 存在量词 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下列命题中,不是全称命题的是( A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析:D 选项是特称命题. 答案:D 2.下列命题中特称命题的个数是( (1)至少有一个偶数是质数. (2)? x0∈R,log2x0>0. (3)有的实数大于零. A.0 B. 1 C.2 D.3 ) ) 解析:(1)中含有存在量词“至少”,所以是特称命题. (2)中含有存在量词符号“? ” ,所以是特称命题. (3)中含有存在量词“有的”,所以是特称命题. 答案:D 3.下列命题不是“? x0∈R,x20>3”的表述方法的是( A.有一个 x0∈R,使 x20>3 B.对有些 x0∈R,使 x20>3 C.任选一个 x0∈R,使 x20>3 D.至少有一个 x0∈R,使 x20>3 解析:选项 C 中“任选一个”是全称量词,没有“? ”的含义. 答案:C 4.下列特称命题中,假命题是( A.? x0∈R,x20-2x0-3=0 B.至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 -1- ) ) D.? x0∈{x|x 是无理数},x20 是有理数 解析:垂直于同一直线的两个平面是平行的,所以找不到两个相交平面垂直于同一直线. 答案:C 5.若存在 x0∈R,使 ax0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是( A.a<1 C.-1<a<1 答案:A 二、填空题 6.若命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”为真命题,则 a 的取值范围是________. 解析:因为函数 y=e 在[0,1]上为增函数, 所以 1≤y≤e, 若 p 为真,则 a≥(e )max=e. 答案:[e,+∞) 7.给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;③存在实 数 x,x>0;④对于任意实数 x,2x+1 是奇数.其中特称命题为________(填序号). 答案:②③ 8.若? x∈R,f(x)=(a -1) 是单调减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:依题意有: ? ?a -1>0, ?a<-1或a>1, 0<a -1<1?? 2 ?? ? ?a -1<1, ?- 2<a< 2, ? 2 2 2 2 ) B.a≤1 D.-1<a≤1 x x x x - 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 三、解答题 9.首先判断下列命题是全称命题还是特称命题,然后写出命题的否定,并判断其真假. (1)有些素数是奇数; (2)所有的矩形都是平行四边形; (3)不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根; (4)? x0∈R,x20+2x0+5>0. 解:(1)是特称命题,其否定为:所有的素数都不是奇数,假命题. (2)是全称命题,其否定为:存在一个矩形,不是平行四边形,假命题. (3)是全称命题,其否定为:存在实数 m,使得 x2+2x-m=0 没有实数根, 因为 Δ =4+4m<0,即当 m<-1 时,一元二次方程没有实根,所以其否定是真命题. (4)是特称命题,其否定为:? x∈R,x2+2x+5≤0,因为 x2+2x+5=(x+1)2+4≥4, 所以命题的否定是假命题. -2- 10.关于 x 的函数 y=x2-(a+1)x+2a 对于任意 a∈[-1,1]的值都有 y>0,求实数 x 的取值范围. 解: 设 f(a)=x2-(a+1)x+2a, 则有 f(a)=(2-x)a+x2-x, a∈[-1, 1], 因为 a∈[- 1,1]时,y=f(a)>0 恒成立,则 (1)当 x=2 时,f(a)=2>0 显然成立; (2)当 x≠2 时,由 f(a)>0 在 a∈[-1,1]上恒成立,得? 解得 x> 2或 x<- 2. 综上可得:x> 2或 x<- 2. B 级 能力提升 1.四个命题:①? x∈R,x -3x+2>0 恒成立;②? x∈Q,x =2;③? x∈R,x +1=0; ④? x∈R,4x >2x-1+3x .其中真命题的个数为( A.0 个 C.2 个 答案:A 2 .若命题“ ? x ∈ R ,使得 x + (1 - a)x + 1 <0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 ______________. 解析:由题意可知,Δ =(1-a) -4>0, 解得 a<-1 或 a>3. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 3. 若? x∈R, 函数 f(x)=mx +x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点, 求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 m=0 时,f(x)=x-a 与 x 轴恒相交, 所以 a∈R. (2)当 m≠0 时,二次函数 f(x)=mx +x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是Δ =1+4m(m+a)≥0 恒成立,即 4m +4am+1≥0 恒成立. 又 4m +4am+1≥0 是一个关于 m 的二次不等式, 恒成立的充要条件是Δ =(4a) -16≤0, 解得-1≤a≤1. 综上所述,当 m=0 时,a∈R; 当 m≠0,a∈[-1,1]. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?f(-1)>0, ? ?f(1)>0, ? 即? ?x2-2>0, ? ?x2-2x+2>0, ? ) B.1 个 D.3 个 -3-

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