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高中数学(人教版必修5)配套练习:3.1 不等关系与不等式 第2课时


第三章

3.1

第 2 课时

一、选择题 1.若 x>1>y,下列不等式不成立的是( A.x-1>1-y C.x-y>1-y [答案] A [解析] 特殊值法.令 x=2,y=-1,则 x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故 A 不正确. 2.设 a=100.1, b=0.110,c=lg0.1,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b>a>c [答案] B [解析] ∵100.1>100,∴100.1>1. 又∵0.110<0.10,∴0<0.110<1. ∵lg0.1<lg1,∴lg0.1<0. ∴a>1,0<b<1,c<0,∴a>b>c,选 B. 3.设 a+b<0,且 a>0,则( A.a2<-ab<b2 C.a2<b2<-ab [答案] A [解析] ∵a+b<0,且 a>0,∴0<a<-b, ∴a2<-ab<b2. 4.已知 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a >a>-a >-a C.-a>a >a>-a [答案] B [解析] ∵a2+a<0,∴0<a2<-a,∴0>-a2>a, ∴a<-a2<a2<-a,故选 B. 1 1 1 [点评] 可取特值检验,∵a2+a<0,即 a(a+1)<0,令 a=- ,则 a2= ,-a2=- ,- 2 4 4 1 1 1 1 1 a= ,∴ > >- >- ,即-a>a2>-a2>a,排除 A、C、D,选 B. 2 2 4 4 2 5.设 a,b∈R,则(a-b)· a2<0 是 a<b 的( A.充分非必要条件 ) B.必要非充分条件
2 2 2 2 2 2

) B.x-1>y-1 D.1-x>y-x

)

B.a>b>c D.c>a>b

) B.b2<-ab<a2 D.ab<b2<a2

)

B.-a>a >-a >a D.a2>-a>a>-a2

C.充要条件 [答案] A

D.既不充分也不必要条件

[解析] 由(a-b)· a2<0 得 a≠0 且 a<b;反之,由 a<b,不能推出(a-b)· a2<0.即(a-b)· a2<0 是 a<b 的充分非必要条件. 6.如果 a>0,且 a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),那么( A.M>N C.M=N [答案] A [解析] a3+1 a3+1 M-N=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga 2 ,若 a>1,则 a3>a2,∴ 2 >1,∴ a +1 a +1 B.M<N D.M、N 的大小无法确定 )

a3+1 a3+1 a3+1 loga 2 >0, ∴M>N, 若 0<a<1, 则 0<a3<a2, ∴0<a3+1<a2+1, ∴0< 2 <1, ∴loga 2 >0, a +1 a +1 a +1 ∴M>N,故选 A. 二、填空题 7.已知 a>b>0,且 c>d>0,则 [答案] a > d b c a 与 d b 的大小关系是________. c

1 1 [解析] ∵c>d>0,∴ > >0, d c a b ∵a>b>0,∴ > >0, d c ∴ a > d b . c

a c 8. 若 a、 b、 c、 d 均为实数, 使不等式 > >0 和 ad<bc 都成立的一组值(a, b, c, d)是________(只 b d 要举出适合条件的一组值即可). [答案] (2,1,-1,-2) a c a c ad-bc [解析] 由 > >0 知,a、b 同号,c、d 同号,且 - = >0. b d b d bd 由 ad<bc,得 ad-bc<0,所以 bd<0. 所以在取(a,b,c,d)时只需满足以下条件即可: ①a、b 同号,c、d 同号,b、d 异号; ②ad<bc. 令 a>0,b>0,c<0,d<0, 不妨取 a=2,b=1,c=-1, bc 1 则 d< =- , a 2

取 d=-2, 则(2,1,-1,-2)满足要求. 三、解答题 9.已知 a>0,b>0,a≠b,n∈N 且 n≥2,比较 an+bn 与 an 1b+abn
- - - - - - -1

的大小.


[解析] (an+bn)-(an 1b+abn 1)=an 1(a-b)+bn 1(b-a)=(a-b)(an 1-bn 1), (1)当 a>b>0 时,an 1>bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

(2)当 0<a<b 时,an 1<bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

∴对任意 a>0,b>0,a≠b,总有(a-b)(an 1-bn 1)>0.∴an+bn>an 1b+abn 1.
- - - -

x 10.如果 30<x<42,16<y<24.分别求 x+y、x-2y 及 的取值范围. y [解析] 46<x+y<66;-48<-2y<-32, ∴-18<x-2y<10; 1 1 1 30 x 42 ∵30<x<42, < < ,∴ < < , 24 y 16 24 y 16 5 x 21 即 < < . 4 y 8

一、选择题 π π 1.若- <α<β< ,则 α-β 的取值范围是( 2 2 A.(-π,π) C.(-π,0) [答案] C π π π π [解析] ∵- <β< ,∴- <-β< , 2 2 2 2 π π 又- <α< ,∴-π<α-β<π, 2 2 又 α<β,∴α-β<0,∴-π<α-β<0. 2.(2014· 天津理,7)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性. 当 a>b>0 时,a|a|-b|b|=a2-b2=(a+b)(a-b)>0 成立, 当 b<a<0 时,a|a|-b|b|=b2-a2=(b-a)(b+a)>0 成立, 当 b<0<a 时,a|a|-b|b|=a2+b2>0 成立, ) ) B.(0,π) D.{0}

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∴a>b?a|a|>b· |b|; 同理由 a|a|>b|b|?a>b.选 C. 3.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( b b+1 A. > a a+1 1 1 C.a+ >b+ b a [答案] C 1 1 1 1 [解析] 解法一:由 a>b>0?0< < ?a+ >b+ ,故选 C. a b b a 1 1 解法二:(特值法)令 a=2,b=1,排除 A、D,再令 a= ,b= ,排除 B. 2 3 1 1 b a 4.若 < <0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2.其中正确 a b a b 的有( ) B.2 个 D.4 个 )

1 1 B.a+ >b+ a b 2a+b a D. > a+2b b

A.1 个 C .3 个 [答案] B

1 1 [解析] ∵ < <0,∴a<0,b<0,a>b,故③错; a b ∴ab>0,∴a+b<0<ab,故①成立; 又 0>a>b,∴|a|<|b|.∴②错;
2 2 2 2 b a b +a ?a-b? +2ab ?a-b? ∵ + = = = +2 a b ab ab ab

b a 且 a-b<0,ab>0,∴ + >2,∴④成立. a b ∴①④正确.选 B. 二、填空题 5 .若规定 ?

?a b ? = ad - bc(a 、 b ∈ R , a≠b) ,则 ?a -b? 与 ?a -a? 的大小关系为 ? ? ? ? ? ?c d? ?b a? ?b b?

________.(填“>”“=”“<”) [答案] > [解析] ∵?

?a -b? 2 2 ?=a +b , ?b a?

?a -a? ? ?=ab-(-ab)=2ab, ?b b?
∴?

?a -b? ?a -a? 2 2 ?-? ?=a +b -2ab=(a-b)2. ?b a? ?b b?

∵a≠b,∴(a-b)2>0, ∴?

?a -b? ?a -a? ?>? ?. ?b a? ?b b?

1 1 3 6.若 a>b>c,则 + ________ (填“>”、“=”、“<”). a-b b-c a-c [答案] > [解析] ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>,a-c>0. ∴ = = = ∴ 1 1 3 + - a-b b-c a-c ?a-b+b-c??a-c?-3?a-b??b-c? ?a-b??b-c??a-c? [?a-b?+?b-c?]2-3?a-b??b-c? ?a-b??b-c??a-c? [?a-b?-?b-c?]2+?a-b??b-c? >0. ?a-b??b-c??a-c? 1 1 3 + > . a-b b-c a-c

三、解答题 t+1 1 7.设 a>0,a≠1,t>0 比较 logat 与 loga 的大小. 2 2 [解析] 1 log t=loga t, 2 a

t+1 t-2 t+1 ? t-1?2 ∵ - t= = , 2 2 2 t+1 t+1 ∴当 t=1 时, = t;当 t>0 且 t≠1 时. > t. 2 2 ∵当 a>1 时,y=logax 是增函数, t+1 1 ∴当 t>0 且 t≠1 时,loga >loga t= logat. 2 2 t+1 1 当 t=1 时,loga = logat. 2 2 ∵当 0<a<1 时,y=logax 是减函数, 1+t 1 ∴当 t>0 且 t≠1 时,loga <loga t= logat, 2 2 t+1 1 当 t=1 时,loga = logat. 2 2 1+t 1 1+t 1 综上知,当 t=1 时,loga = logat;当 t>0 且 t≠1 时,若 a>1 则 loga > logat; 2 2 2 2 1+t 1 若 0<a<1 则 loga < logat. 2 2

8.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0)满足 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. [解析] ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f(-2)=4a-2b. 又∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
?1≤a-b≤2 ? ∴? , ?3≤a+b≤4 ?

设存在实数 m、n 使得 4a-2b=m(a+b)+n(a-b), 即 4a-2b=(m+n)a+(m-n)b.
? ?m+n=4 ∴? , ?m-n=-2 ? ? ?m=1 解得? . ?n=3 ?

∴4a-2b=(a+b)+3(a-b). 又∵3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6, ∴3+3≤4a-2b≤4+6, 即 6≤f(-2)≤10.


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