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2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)

2014~2017 年极坐标与参数方程全国高考题汇总 1.【2014· 全国Ⅱ】在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 π? ? 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,θ∈?0,2? ? ? ⑴求 C 的参数方程; ⑵设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据⑴中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标. 解:⑴C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) .可得 C 的参数方程为 ? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? x ) ? ? y ? sin t , ⑵设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, tan t ? 3, t ? ? 3 .故 D 的直角坐标为 (1 ? cos ? ? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2 ? x=2+t ? x? y? 2.【2014· 全国Ⅰ】已知曲线 C: 4 + 9 =1,直线 l:? (t 为参数) ? ?y=2-2t ⑴写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; ⑵过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值 与最小值。 ? x ? 2 cos ? 【解析】 :⑴曲线 C 的参数方程为: ? ? y ? 3sin ? ( ? 为参数) , ………5 分 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ⑵ 在 曲 线 C 上 任 意 取 一 点 P (2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的 距 离 为 d? 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5 则 | PA |? 4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 sin 30 5 3 22 5 ; 5 当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为 2 5 . 5 …………10 分 3.【2015· 全国Ⅰ】在直角坐标系 xOy 中.直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求 C1,C2 的极坐标方程; π ⑵若直线 C3 的极坐标方程为 θ=4(ρ∈R), 设 C2 与 C3 的交点为 M, N, 求△C2MN 的面积。 解:⑴因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的 极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ⑵将 ? ? ……5 分 ? 4 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4? 0,解得 ?? 4 ? 0 ?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。 1 由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 。 2 ? ?x=tcosα 4.【2015· 全国Ⅱ】在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1:? (t 为参数,t ? 0)其 ? y=tsinα ? 中 0 ? α ? ? .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:p=2sinθ, C3:p=2 3cosθ。 ⑴求 C1 与 C3 交点的直角坐标; ⑵若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值。 解:⑴曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0, 曲线 C3 的直角坐标方程为 ? ? x ? y ? 2 y ? 0, x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0. 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3x ? 0. 2 2 ? x ? 0, 解得 ? ? y ? 0, ? 3 x? , ? ? 2 或? ? y ? 3, ? 2 ? ? 3 3? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 ? ? 2 ,2? ?. ? ? ⑵曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? a ? ? ? R, ? ? 0? , 其中 0 ? a ? ?. 因此 A 的极坐标为 ? 2sin a, a ? , B 的极坐标为 2 3 cos a, a . 所以 5? ?? ? 时, AB 取得最大值,最大值 AB ? 2sin a ? 2 3 cos a ? 4 sin ? a ? ? . 当 a ? 6 3? ? ? ? 为 4. π? ? 5.【15 北京理科】在极坐标系中,点?2,3?到直线 ρ(cosθ+ 3sinθ)=6 的距离为 ? ? . 【答案】1 【解析】先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3),再把直线的极坐标方程 3 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 化为直角坐标方程 x ? ? ? ? 利用点到直线距离 3y ? 6 ? 0 , 公式 d ? 1?3?6 1?3 ? 1. π 6.【15 年广东理科】已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ-4)= 2,点 A 的极坐 7π? ? 标为?2 2, 4 ?,则点 A 到直线 l 的距离为 ? ? 【答案】 5 2 . 2 。 ?? 7? ? ? ? 【 解 析 】 依 题 已 知 直 线 l : 2 ? sin ? ? ? ? ? 2 和 点 A ? 2 2 , ? 可 化 为 l : 4? 4 ? ? ? x ? y ? 1 ? 0 和 A ? 2

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