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2018年高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和实战演练理


2018 年高考数学一轮复习 第五章 数列 第 30 讲 等比数列及其前 n 项和实战演练 理

1.(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任 意的正整数 n,a2n-1+a2n<0”的( C ) A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若对任意的正整数 n,a2n-1+a2n<0,则 a1+a2<0,又 a1>0,所以 a2<0,所以 q=

a2 a1

<0.若 q<0, 可取 q=-1, a1=1, 则 a1+a2=1-1=0, 不满足对任意的正整数 n, a2n-1+a2n<0. 所以“q<0”是“对任意的正整数 n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件,故选 C. 2.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2?an 的最大值 为 64. 解析:设{an}的公比为 q,于是 a1(1+q )=10①,a1(q+q )=5②,联立①②得 a1=8,
2 3

q= ,∴an=24-n,∴a1a2?an=23+2+1+?+(4-n)=2- n2+ n=2- (n- )2+ ≤26=64,∴ a1a2?an 的最大值为 64.
3.(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=qSn+1, 其中 q>0,n∈N . (1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列{an}的通项公式;
*

1 2

1 2

7 2

1 2

7 2

49 8

y 5 4 -3 2 (2)设双曲线 x - 2=1 的离心率为 en,且 e2= ,证明:e1+e2+?+en> n-1 . an 3 3
解析:(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到 an+2=qan+1,n≥1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan 对所有 n≥1 都成立. 所以,数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an=q
n-1

2

n

n

.

由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得 2a3=3a2+2, 即 2q =3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故 q=2.所以 an=2 (2)由(1)可知,an=q
2 2

n-1

(n∈N ).

*

n-1

.
2 2?n-1?

所以双曲线 x - 2=1 的离心率 en= 1+an= 1+q

y2 an

.

1

5 4 2 由 e2= 1+q = ,解得 q= . 3 3 因为 1+q
2(k-1)

>q

2(k-1)

,所以 1+q

2?k-1?

>q

k-1

(k∈N ).

*

于是 e1+e2+?+en>1+q+?+q 4 -3 故 e1+e2+?+en> n-1 . 3
n n

n-1



qn-1 , q-1

4.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λ an,其中 λ ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; 31 (2)若 S5= ,求 λ . 32 解析:(1)由题意得 a1=S1=1+λ a1,故 λ ≠1,a1= 1 ,a1≠0. 1-λ

由 Sn=1+λ an,Sn+1=1+λ an+1 得 an+1=λ an+1-λ an,即 an+1(λ -1)=λ an.由 a1≠0, λ ≠0 得 an≠0,所以

an+1 λ = . an λ -1

1 λ 因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 1-λ λ -1 1 ? λ ?n-1 于是 an= ? ? . 1-λ ?λ -1? (2)由(1)得 Sn=1-? 即?

? λ ?n,由 S =31得 1-? λ ?5=31, ? 5 ?λ -1? 32 32 ?λ -1? ? ?

? λ ?5= 1 ,解得 λ =-1. ? ?λ -1? 32

2


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