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高考数学综合能力题30讲第24讲 信息迁移型综合问题

数学高考综合能力题选讲 24

信息迁移型综合问题
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
一般来说, 信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题, 而需要从所给材 料中获取信息,并用于新问题解决的一类问题.这一类问题,往往出现在一个较新的背景之 下,题型新颖,形式多样,融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.可以较好的考查学 生的学习能力,阅读理解能力,数学思维能力等.由于突出体现了“考能力”这一特色,所 以,在近几年的高考中,备受命题者的青睐.

梁丽平

范例选讲 例 1. 据报道,我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.左 下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的 变化情况.由图中的相关信息,可将上述有关年代中,我国年平均土地沙化面积 在右下图中图示为:

讲解:本题考察读图的能力. 从 1950 年到 2000 年的土地沙化总面积为一条 折线,说明这一段的土地沙化总面积不是匀速增 长的.但相应于这条折线的每一段线段,都代表 其对应年份的土地沙化总面积匀速增长,即这一 段的年平均土地沙化面积为定值.因此,分三段 计算,不难得出结论,如图. 点评:函数三种表示法(解析式、列表、图像表示法)中,学生较为熟悉的 是解析式表示法.然而,由于另外两种表示法具有直观、形象的特点,在实际应

用中较为常见.因此,学会读图非常重要. 例 2.这是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值为 x ? 1, y ? 1, z ? 0, n ? 0 ; (2) n ? n ? 1 (将当前 n ? 1的值赋予新的 n ); (3) x ? x ? 2 (将当前 x ? 2 的值赋予新的 x ); (4) y ? 2 y (将当前 2 y 的值赋予新的 y ); (5) z ? z ? xy (将当前 z ? xy 的值赋予新的 z ); (6)如果 z ? 7000 ,则执行语句(7),否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n, z ; (8)程序终止. 由语句(7)打印出的数值为_____________,_____________ . 请写出计算过程: 讲解:不难看出,这是一个循环、迭代的过程.所谓程序,就是一步一步的 操作.因此,为了更好的理解题意,我们不妨按照这个程序操作几次: n 0 1 2 3 X 1 3 5 7 y 1 2 4 8 z 0 5 25 81 ?? 判断 z<7000, 返回(2) z<7000, 返回(2) z<7000, 返回(2) z<7000, 返回(2)

初始值 一轮操作 二轮操作 三轮操作 ??

就此操作下去,并不难得出答案,这也是本题的一种计算方法. 从另一个角度考虑,本题中我们比较难以理解的是这样的语句:“ n ? n ? 1 ; x ? x ? 2 ;??”,虽然题目中已经给出很好的解释,但是,按照我们通常的认 识, 应该用不同的符号来分别表达新值与旧值,如何从数学上较好的体现新值与 旧值之间的不同,以及它们之间的联系? 注意到在整个计算的过程中,一方面,n 的值似乎只起到一个计算第几轮的 作用,另一方面,随着 n 的变化, x, y, z 的值随之变化.从这一个角度,不难想 到,数列是一种较好的表示方法. 设 n ? i 时, x, y, z 的值分别为 xi , yi , zi . 依题意, x0 ? 1, xn ? xn?1 ? 2 .所以,数列 ? xn ? 是等差数列,且 xn ? 2n ? 1 .
y0 ? 1, yn ? 2 yn?1 .所以,数列 ? yn ? 是等比数列,且 yn ? 2n .

z0 ? 0, zn ? zn ?1 ? xn yn .

所以, zn ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n . 所以, 2 zn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 . 以上两式相减,得 zn ? ?3 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1
? ?2n ? 2 ? 2 ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? 2

依题意,程序终止时, zn ? 7000, zn?1 ? 7000 ,

?? 2n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ? 7000 ? 即? ,可求得: n ? 8, z ? 7682 . n ?? 2n ? 3? ? 2 ? 2 ? 7000 ?
点评:从简单的做起,试一试;抓住关键点,把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题,都是解决问题的途径. 例 3.根据指令 (r ,? ) (r ? 0, ? 180? ? ? ? 180? ) ,机器人在平面上能完成下列 动作:先原地旋转角度 ? ( ? 为正时,按逆时针方向旋转 ? , ? 为负时,按顺时 针方向旋转- ? ),再朝其面对的方向沿直线行走距离 r . (1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对 x 轴正方向,试给机器人下 一个指令,使其移动到点(4,4). (2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点 作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器 人直线行走速度的 2 倍,若忽略机器人原地旋 转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小 球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果 精确到小数点后两位). 讲解:(1) r ? 4 2 ,? ? 45 ? ,得指令为 (4

2, 45? ) .

(2)机器人最快截住小球时,机器人和小球应该同时到达相遇点,另外, 机器人所走的应该是一条直线. 根据以上分析,可设机器人最快在点 P(x,0) 处截住小球,则因为小球速度是 机器人速度的 2 倍,所以在相同时间内有 |17 ? x |? 2 ( x ? 4) 2 ? (0 ? 4) 2 ,
23 或x ?7, 3 ∵ 要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动 距离最短,? x ? 7 ,

即 3x 2 ? 2 x ? 161 ? 0 ,得 x ? ?

故机器人最快可在点 P(7,0) 处截住小球,所给的指令为 (5,?98.13 ? ) . 点评:通过阅读,正确理解和运用新定义,是解决问题的关键.

高考真题 1.(2002 年上海高考题)一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一 定的关系.图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温,图(2)表示某家庭在 这年 12 个月中每月的用电量. 根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间 关系的叙述中,正确的是:( )

(A) 气温最高时,用电量最多. (B) 气温最低时,用电量最少. (C) 当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加. (D) 当气温小于某一值时,用电量随气温降低而增加. 2.(2002 年北京高考题) 在研究并行计算的基本算法时,有以下简单模型问题: 用计算机求 n 个不同的数 v1 , v2 ,? , vn 的和 ? vi ? v1 ? v2 ? ? ? vn .计算开始
i ?1 n

前,n 个数存贮在 n 台由网络连接的计算机中,每台机器存一个数.计算开始 后,在一个单位时间内,每台机器至多到一台其它机器中读数据,并与自己原 有的数据相加得到新的数据,各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少 的单位时间, 使各台机器都得到这 n 个数的和, 需要设计一种读和加的方法. 比 如 n=2 时,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示:
机 器 号
1 2

初 始 时

第一单位时间 被读机号 2 1 结 果

第二单位时间 被读机号 结 果

第三单位时间 被读机号 结 果

v1

v1 ? v2 v2 ? v1

v2

(Ⅰ) n=4 时, 当 至少需要多少个单位时间可完成计算?把你设计的方法填入 下表.

机 器 号
1 2 3 4

初 始 时

第一单位时间 被读机号 结 果

第二单位时间 被读机号 结 果

第三单位时间 被读机号 结 果

v1

v2 v3 v4
n

(Ⅱ)当 n=128 时,要使所有机器都得到 ? vi ,至少需要多少个单位时间可
i ?1

完成计算?(结论不要求证明). [答案与提示:1. C.
机 器 号
1 2 3 4

2.(Ⅰ)如下图;(Ⅱ)7]
第二单位时间 果 被读机号 3 4 1 2 结 果 第三单位时间 被读机号 结 果

初 始 时

第一单位时间 被 读 机 号 2 1 4 3 结

v1

v1 ? v2 v1 ? v2 v3 ? v4 v3 ? v4

v1 ? v2 ? v3 ? v4 v1 ? v2 ? v3 ? v4 v1 ? v2 ? v3 ? v4 v1 ? v2 ? v3 ? v4

v2 v3 v4


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