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(课堂设计)2014-2015高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4


2.4.1

平面向量数量积的物理背景及其含义
自主学习

知识梳理 1.平面向量数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量____________叫做 a 与 b 的数量积(或 内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为______. (3)投影: 设两个非零向量 a、 b 的夹角为 θ , 则向量 a 在 b 方向的投影是______________, 向量 b 在 a 方向上的投影是__________. 2.数量积的几何意义 a?b 的几何意义是数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__________ 的乘积. 3.向量数量积的运算律 (1)a?b=________(交换律); (2)(λ a)?b=________=__________(结合律); (3)(a+b)?c=__________(分配律). 自主探究 根据向量数量积的定义,补充完整数量积的性质. 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?__________; (2)当 a 与 b 同向时,a?b=________, 当 a 与 b 反向时,a?b=________; 2 (3)a?a=__________或|a|= a?a= a ; (4)cos θ =__________; (5)|a?b|≤__________. 对点讲练 知识点一 求两向量的数量积 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b; (3)a 与 b 的夹角为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积.

回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是:①求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0°,180°]; ②分别求|a|和|b|;③求数量积,即 a?b=|a|?|b|?cos θ ,要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“?”连结,而不能用“?”连结,也不能省去. 变式训练 1 已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: → → → → → → (1)AB?AC;(2)AB?BC;(3)BC?AC.

知识点二 求向量的模长
1

例2

π 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 3

回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,要灵活应用 a 2 =|a| ,勿忘记开方. 变式训练 2 已知|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,求|3a+b|.

2

知识点三 向量的夹角或垂直问题 例3 角. 设 n 和 m 是两个单位向量, 其夹角是 60°, 求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹

回顾归纳 求向量夹角时, 应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角, 注 意向量夹角的范围是[0,π ]. 变式训练 3 已知|a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 60°,则当 k 为何值时,向量 ka-b 与 a+2b 垂直?

1 .两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正 (当 a≠0, b≠0,0°≤θ <90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ ≤180°时),还可以为 0(当 a =0 或 b=0 或 θ =90°时). 2.数量积对结合律一般不成立,因为(a?b)?c=|a||b|?cos〈a,b〉?c 是一个与 c 共线的向量,而(a?c)?b=|a|?|c|cos〈a,c〉?b 是一个与 b 共线的向量,两者一般不 同. 3.向量 b 在 a 上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于 θ 角,注意 a 在 b 方向上 的投影与 b 在 a 方向上的投影是不同的,应结合图形加以区分. 课时作业 一、选择题 1.|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,则向量 a 在向量 b 方向上的投 影等于( )
2

(

A.-3 B.-2 C.2 D.-1 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则 λ 等于( ) 3 3 3 A. B.- C.± D.1 2 2 2 → → → 3. 在边长为 1 的等边△ABC 中, 设BC=a, CA=b, AB=c, 则 a?b+b?c+c?a 等于( ) 3 3 A.- B.0 C. D.3 2 2 4.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 5.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)?(a-3b)=-72,则向量 a 的模为 ) A.2 B.4 C.6 D.12

二、填空题 6.已知向量 a,b 且|a|=5,|b|=3,|a-b|=7,则 a?b=________. 7. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且|a|=|b|=4, 那么 b?(2a+b)的值为________. 8.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b?(a-b)=0,则|b|的取值范围是 ________. 三、解答题 9.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b; (3)a 与 b 的夹角为 60°时,分别求 a 与 b 的数量积.

10.已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120°,计算向量 2a-b 在向量 a+b 方向上 的投影.

2.4.1

§2.4 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 答案

知识梳理 1.(1)|a||b|?cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ 2.|b|cos θ 3.(1)b?a (2)λ (a?b) a?(λ b) (3)a?c+b?c 自主探究 2 (1)a?b=0 (2)|a||b| -|a||b| (3)|a| (4)

a?b (5)|a||b| |a||b|

对点讲练 例 1 解 (1)a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ =0°,a?b=|a|?|b|?cos 0°=4?5 =20;若 a 与 b 反向,则 θ =180°, ∴a?b=|a|?|b|cos 180°=4?5?(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a?b=|a|?|b|cos 90°=0.
3

(3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,a?b=|a|?|b|cos 30° 3 =4?5? =10 3. 2 → → 变式训练 1 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60°. 1 1 → → → → ∴AB?AC=|AB||AC|cos 60°=1?1? = . 2 2 → → (2)∵AB与BC的夹角为 120°. → → → → ∴AB?BC=|AB||BC|cos 120° 1 ? 1? =1?1??- ?=- . 2 2 ? ? → → (3)∵BC与AC的夹角为 60°, → → → → ∴BC?AC=|BC||AC|cos 60° 1 1 =1?1? = . 2 2 1 25 例 2 解 a?b=|a||b|cos θ =5?5? = . 2 2 |a+b|= ?a+b? = |a| +2a?b+|b| 25 = 25+2? +25=5 3. 2 |a-b|= ?a-b? = |a| -2a?b+|b| 25 = 25-2? +25=5. 2 变式训练 2 解 由|3a-2b|=3, 2 2 得 9|a| -12a?b+4|b| =9, 1 ∵|a|=|b|=1,∴a?b= , 3
2 2 2 2 2 2 2

2

∴|3a+b|= ?3a+b? = 9|a| +6a?b+|b| =2 3. 例 3 解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60°, 1 1 ∴m?n=|m||n|cos 60°=1?1? = . 2 2 |a|=|2m+n|= ?2m+n? = 4?1+1+4m?n 1 = 4?1+1+4? = 7, 2 |b|=|2n-3m|= ?2n-3m? = 4?1+9?1-12m?n 1 = 4?1+9?1-12? = 7, 2 a?b=(2m+n)?(2n-3m) 2 2 =m?n-6m +2n 1 7 = -6?1+2?1=- . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则
2 2

2

4

a?b 1 cos θ = = =- . |a||b| 2 7? 7 2π 2π 又 θ ∈[0,π ],∴θ = ,故 a 与 b 的夹角为 . 3 3 变式训练 3 解 要想(ka-b)⊥(a+2b), 则需(ka-b)?(a+2b)=0, 2 2 即 k|a| +(2k-1)a?b-2|b| =0, 2 2 ∴5 k+(2k-1)?5?4?cos 60°-2?4 =0, 14 14 解得 k= ,即当 k= 时,向量 ka-b 与 a+2b 垂直. 15 15 课时作业 1.D [a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ =2?cos 120° =-1.] 2.A [∵(3a+2b)?(λ a-b) 2 2 =3λ a +(2λ -3)a?b-2b 2 2 =3λ a -2b =12λ -18=0. 3 ∴λ = .] 2 → → → → 3.A [a?b=BC?CA=-CB?CA 1 → → =-|CB||CA|cos 60°=- . 2 1 1 同理 b?c=- ,c?a=- , 2 2 3 ∴a?b+b?c+c?a=- .] 2 2 2 2 2 4.B [∵a+b=c,∴|c| =|a+b| =a +2a?b+b . 2 又|a|=|b|=|c|,∴2a?b=-b , 2 即 2|a||b|cos〈a,b〉=-|b| . 1 ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉=120°.] 2 5.C [∵a?b=|a|?|b|?cos 60°=2|a|, 2 2 ∴(a+2b)?(a-3b)=|a| -6|b| -a?b 2 =|a| -2|a|-96=-72.∴|a|=6.] 15 6.- 2 2 2 2 解析 |a-b| =|a| -2a?b+|b| =49, 15 ∴a?b=- . 2 7.0 2 解析 b?(2a+b)=2a?b+|b| 2 =2?4?4?cos 120°+4 =0. 8.[0,1] 2 2 解析 b?(a-b)=a?b-|b| =|a|?|b|cos θ -|b| =0, ∵a 是单位向量,∴|a|=1, ∴|b|=|a|cos θ =cos θ (θ 为 a 与 b 的夹角),θ ∈[0,π ], ∴0≤|b|≤1. 9.解 (1)当 a∥b 时,若 a 与 b 同向,则 a 与 b 的夹角 θ =0°, ∴a?b=|a||b|?cos θ =4?3?cos 0°=12.
5

7 - 2

若 a 与 b 反向,则 a 与 b 的夹角为 θ =180°, ∴a?b=|a||b|cos 180°=4?3?(-1)=-12. (2)当 a⊥b 时,向量 a 与 b 的夹角为 90°, ∴a?b=|a||b|?cos 90°=4?3?0=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 60°时, 1 ∴a?b=|a||b|?cos 60°=4?3? =6. 2 10.解 (2a-b)?(a+b) 2 2 2 2 =2a +2a?b-a?b-b =2a +a?b-b 1 2 2 =2?1 +1?1?cos 120°-1 = . 2 |a+b|= ?a+b? = a +2a?b+b = 1+2?1?1?cos120°+1=1. ∴|2a-b|cos〈2a-b,a+b〉 ?2a-b???a+b? =|2a-b|? |2a-b|?|a+b| ?2a-b???a+b? 1 = = . |a+b| 2
2 2 2

1 ∴向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影为 . 2

6


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