kl800.com省心范文网

高一数学必修1复习各章知识点总结2(人教)

高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念(2)
一、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数.记作:y=f (x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x)| x∈A }叫 做函数的值域. 注意:2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (4)指数为零底不可以等于零 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都 有意义的 x 的值组成的集合. (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ◆相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法;(2)配方法;(3)代换法 4.函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C, 叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数 关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y)均在 C 上. 5.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间 (2)区间的数轴表示 6.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中 的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f: ? B A 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 7.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数; (2)各部分的自变量的取值情况; (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f (u)(u∈M),u=g (x)(x∈A),则 y=f [g (x)]=F(x)(x∈A)称为 f、g 的复合函数。 二、函数的性质 1.函数的单调性(局部性质)
第 1 页

(1)增函数 设函数 y=f (x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的 单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质 (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下 降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 y=f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同 增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成 其并集. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函 数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (4)利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 3.函数的解析表达式
第 2 页

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求 出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: ①凑配法;②待定系数法;③换元法;④消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p30 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处 有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处 有最小值 f(b) 例题讲解: 1.求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1 ? ? x ? 1?

2

? x ? 2, x ? ?1 ? 2.函数 f ( x) ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2 ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x, x ? 2 ?
3.求下列函数的值域: ⑴ y ? x ? 2 x ? 3( x ? R)
2

⑵ y ? x ? 2 x ? 3( x ? ?1, 2?)
2

(3) y ? x ? 1 ? 2 x

(4) y ?

? x2 ? 4 x ? 5

第 3 页

4.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? 5.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2 x ? 3

3

x ) ,则当 x ? 0 时 f ( x) =

⑶ y ? x ? 6 x ?1
2

6.判断函数 f ( x) ? ? x ? 1 的单调性并证明你的结论.
3

7.设函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 ,判断它的奇偶性,并且求证: f ( ) ? ? f ( x) . 2 1? x x

第 4 页