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极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略


极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略
【考纲要求】 (1)坐标系 ①了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ②了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和 直角坐标的互化。表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的 区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。 ③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 ④了解参数方程,了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较 这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义。 ⑤能选择适当的参数写出直线,圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表 示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解他 们的区别。 (2)参数方程 ①了解参数方程,了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出他们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨 迹中的作用。 【热门考点】 高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程, 极坐标与直角坐标的互化, 直线、 圆和圆锥曲线的参数方程,参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的 互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程 化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,摆线在实际 中的应用,摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化 及简单应用。多以选做题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般 属于中档题。 【常见题型】

知识块 十八、 坐标系 与参数 方程

能力层次 理解 理解

知识点 54.坐标系 55.参数方程

11 年 23 23

12 年 23 23

13 年 23 23

14 年 23 23

备注

一.极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 1. ( 2011 新课标 1 ,第 23 题)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

??? ? ???? ? ? x ? 2cos a ( ? 为参数) M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹 ? ? y ? 2 ? 2sin a
为曲线 C 2 。 (1)求 C 2 的方程;[来源:学科网 ZXXK] (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C 2 的异于极点的交点为 B ,求 AB . 【解析】 :(1)设 P( x, y) ,则由条件知 M ( , ) .

?
3

与 C1 的异于极点的

x y 2 2

?x ? 2 cos a, ? ? x ? 4cos a, ?2 由于 M 点在 C1 上,所以 ? 即? ? y ? 2 ? 2 sin a, ? y ? 4 ? 4sin a, ? ?2
从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos a, ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin a,

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? 。射线

??

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4 sin

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C 2 的交点 B 的极径为

? ? 2 ? 8 sin ,所以 AB ? ?1 ? ? 2 ? 2 3 。
3

例 2. ( 2013 新课标 1, 第 23 题) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数), ? y ? 5 ? 5sin t

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为

? ? 2 sin? 。
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C 2 交点的极坐标( t ? 0,0 ? ? ? ? ). 【解析】 (1)将 ?

? x ? 4 ? 5 cost 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 , ? y ? 4 ? 5 sin t

即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 。将 ?

? ? x ? ? co s 代入上式得 C1 的极坐标方程: ? y ? ? sin?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 。
(2)C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 。 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ?x ? 1 得:? 2 2 x ? y ? 2y ? 0 ?y ? 1 ?

或?

?x ? 0 ? ? 。所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 , ), (2, ) 。 4 2 ?y ? 2
二.参数方程与直角坐标方程的互化

例 3.(2010 新课标 1 第 23 题)已知直线 C1 : ?

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数),圆 C 2 : ? y ? t sin ?

? x ? cos ? ( ? 为参数). ? ? y ? sin ?
(1)当 ? =

? 时,求 C1 与 C 2 的交点坐标; 3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线. 【 解析 】 (1)当 ? =

? 时, C1 的 普通 方 程为 y ? 3( x ?1) , C2 的 普通 方 程为 3

? y ? 3( x ? 1) 1 3 ? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ( ,? )。 x2 ? y 2 ? 1。联立方程组 ? 2 2 2 2 x ? y ? 1 ? ?

2 (2)C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,

?

?

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为: ? ??为参数 ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2
P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 4

1 1 ?1 ? 。 故 P 点轨迹是以 ? , 半径为 的 0 ? 为圆心, 16 4 ?4 ?

圆。 例 4.(2014 课标 1,第 23 题)已知曲线 C1 :

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参 4 9 ? y ? 2 ? 2t ,

数).(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最 小值. 【解析】 (1)曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , (?为参数) ? y ? 3 sin ?

直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ( 2 ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 P(2 cos? ,3 sin ? ) 到 直 线 l 的 距 离 为

d?

5 d 2 5 4 cos? ? 3 sin ? ? 6 ,则 PA ? ? 5 sin(? ? ? ) ? 6 ,其中 ? 是锐 ? 5 5 sin 30
4 22 5 。当 sin( ? ? ? ) ? ?1 时, PA 取得最大值 ,当 sin( ? ? ? ) ? 1 时, 3 5

角,且 tan ? ?

PA 取得最小值

2 5 5

例 5.(2012 新课标 1,第 23 题)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x=2cos?, ( ? 为参数),以 ? y=3sin?,

坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 . 正 方形 ABCD 的顶点在 C2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列, 点 A 的极坐标为(2, ). (1)求点 A, B, C , D 的直角坐 标;

π 3

(2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB 【解析】 (1) 点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,

2

2

? PC ? PD 的取值范围.

2

2

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ), 则点 A, B, C , D 6 3 6

的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) 。 (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ,则 ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40 ? 5 6 ? 2 0 s2i? n?
【应试策略】

[56, 76]

极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一 步深化,所以必须掌握好与以上相关内容。由于高考评分参考答案标准较为简捷,因而 书写只需说清问题即可,即“问什么,就回答什么”。高考是在第(22)、(23)、(24) 三题中任选一题做答,如果你掌握极坐标参数方程内容,建议你选择“极坐标与参数方 程”,因为该题较容易得满分。同时,由于极坐标与参数方程近三年考题的难易程度都 差不多,因而预计 2015 年的考题的难易程度也不会有太大的变动。


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