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山东省济宁市兖州第一中学2015届高三4月月考数学(理)试题 Word版含答案


2015 届山东省济宁市兖州第一中学高三 4 月月考 数学(理)试题
(本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1.若 M ? ?x | ?2 ? x ? 2? , N ? ?x | y ? log2 ( x ?1)? ,则 M A. ?x | ?2 ? x ? 0? B. ?x | ?1 ? x ? 0? C. ??2,0?

N=
D. ?x |1 ? x ? 2?

2.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i = i
C. ? ? ?i D. ? ? ?i

B. ?4 ? 3i

3.执行如图所示的程序框图,若输出值 x ? (16, 25) ,则输入 x 值可以是

A. 0

B.2

C.4

D.6 )

4.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

x2 y 2 y2 x2 3 5.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 2 a b a b
( ) A. y ? ?2 x B. y ? ?

1 x 2

C. y ? ?4 x

D. y ? ?

1 x 4

-1-

6.已知 ? 、 ? 、 ? 为互不重合的三个平面,命题 p : 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ;命题 q : 若 ? 上存在不共线的三点到 ? 的距离相等,则 ? // ? .对以上两个命题,下列结论中正确的 是( ) B.命题“ p 或 ? q ”为假 D.命题“ ? p 且 ? q ”为假 展开式的常数项是( C. ? 20 ) D. ? 160

A.命题“ p 且 q ”为真 C.命题“ p 或 q ”为假 7.设 a
? ? ? sin xdx ,则二项式 (a x ? 1 )6 0

x

A. 160

B. 20

8.已知直线 x ? y ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB |(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 的值为( A. 2 B. 6 ) C. 2 或 ? 2 D. 6 或 ? 6

9. 在区间 [0, ? ] 内随机取两个数分别记为 a、 b , 则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? ? 有零点 的概率为( A. ) B.
2

7 8

3 4

C.

1 2

D. )

1 4

10.函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [ ?1,1] 上的最大值 M (a) 的最小值是( A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题卡相应位置 11. 在等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? 2 , 若 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 , 则 n 的值为 a1 ? 1 , .

12. 根据 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留 和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如图是对这 28800 人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图, 则属于醉酒驾车的人数约为 人.

-2-

13.按如图所示的程序框图运算,若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是______



14.当实数 x 满足约束条件 ? y ? x

? ?x ? 0

? ?2 x ? y ? k ? 0


(其中 k 为小于零的常数)时,

y ?1 的最小值为 x

2 ,则实数 k 的值是

15.在平面上有如下命题:“ O 为直线 AB 外的一点,则点 P 在直线 AB 上的充要条件是:存 在实数 x , y 满足 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 ”,我们把它称为平面中三点共线定理,请 尝试类比此命题,给出空间中四点共面定理,应描述为: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解 答过程写在答题卡的相应位置. 16. (本小题满分 13 分) 某地区有甲,乙,丙三个单位招聘工作人员,已知一大学生到这三个单位应聘的概率分 别是 0.4,0.5,0.6,且他是否去哪个单位应聘互不影响,用 ? 表示他去应聘过的单位数 (1)求 ? 的分布列及数学期望;
-3-

(2) 记“数列 a n ? n ?
2

6 ?n ? 1( n ? N * )是严格单调的数列”为事件 A , 求事件 A 发 5

生的概率. 17. (本小题满分 13 分)
2 已 知 函 数 f ( x) ? 2a sin?x co s ?x ? 2 3 co s ?x ? 3(a ? 0, ? ? 0) 的 最 大 值 为 2 ,

x1 , x 2 是集合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0} 中的任意两个元素,且| x1 ? x 2 |的最小值为
(1)求 a , ? 的值; (2)若 f (? ) ?

? . 2

5? 2 ? 4? ) 的值. ,求 sin( 3 6

18. (本小题满分 13 分) 下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD = 2 EC
(1)求证: BE //平面 PDA ; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ; (3)若

PD ? 2 ,求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小. AD

19. (本小题满分 13 分)

, 0 () 已知抛物线 y ? 4 x , 点 M1
2

关于 y 轴的对称点为 N , 直线 l 过点 M 交抛物线于 A, B

两点. (1)证明:直线 NA, NB 的斜率互为相反数; (2)求 ?ANB 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 (m, 0)(m ? 0 ,且 m ? 1) .根据(1) (2)结论试推测并回答下列 问题(不必说明理由) : ① 直线 NA, NB 的斜率是否仍互为相反数?
-4-

② ?ANB 面积的最小值是多少? 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R . (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)对于曲线上的不同两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) ,如果存在曲线上的点 Q( x0 , y 0 ) , 且 x1 ? x0 ? x2 ,使得曲线在点 Q 处的切线 l ∥P 1 P2 ,,则称 l 为弦 P 1 P2 的伴随切线. 特别地,当 x0 ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 (0 ? ? ? 1) 时,又称 l 为弦 P 1 P2 的 ? -伴随切线. ① 求证:曲线 y ? f ( x) 的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的; ② 是否存在曲线 C ,使得曲线 C 的任意一条弦均有 的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ?1 ?

1 -伴随切线?若存在,给出一条这样 2

? 2 0? ?1 ? :① 求矩阵 M 的逆矩阵 M ; ? 1?

② 求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2

36 ; 4 cos ? ? 9sin 2 ?
2

① 若以极点为原点,极轴所在的直线为 x 轴,求曲线 C 的直角坐标方程; ② 若 P( x, y ) 是曲线 C 上的一个动点,求 3x ? 4 y 的最大值 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? ( x ? c) ?
2 2 2

(a ? b ? c) 2 ( a, b, c 为实数) 3

① 求 f ( x) 的最小值 m (用 a, b, c 表示) ;② 若 a ? b ? 2c ? 3 ,求(1)中 m 的最小值.

2015 届山东省济宁市兖州第一中学高三 4 月月考 数学(理)试题参考答案
-5-

一、选择题 题号 答案 二、填空题 11.7 12.4320 13. [19,200) 14.-3 1 D 2 A 3 B 4 A 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 B

15. O 为平面 ABC 外一点,则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是:存在实数 x, y , z 满足

OP ? xOA ? yOB ? zOC 且 x ? y ? z ? 1
三、解答题 16 . (1)解:记该生到甲,乙,丙个单位应聘分别为事件 B,C,D,则 P(B)=0.4,P(C)=0.5,P(D)=0.5, ? 的可能取值是 0,1,2,3--------------2 分 P( ? =0)=0.12 P( ? =1)=0.38 P( ? =2)=0.38 P( ? =3)=0.12------6 分 所以 ? 的分布列为

?
P 所以, E? ? 1.5 ----9 分

0 0. 12

1 0. 38

2 0. 38

3 0. 12

(2) 解: 因为数列 a n ? n ?
2

6 3 3 ?n ? 1( n ? N * )是严格单调的数列, 所以数列 ? ? , 5 5 2

即? <

5 --12 分 2 5 )=P( ? =0)+P( ? =1)+ P( ? =2)=0.88--------------------------------13 分 2

P(A)=P( ? <

17.解: (I) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos2?x ,

f ( x)的周期为 ?,由

2? ? ? , 知? ? 1 --3 分 2?

由 f ( x) 最大值为 2,故 a 2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1 ------------6 分

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
(II)由 f (? ) ?

?

) 3 ……………………………………… 7 分

2 ?? 2 ?? 1 ? ? 知2 sin? 2? ? ? ? ,即sin? 2? ? ? ? 。 3 3? 3 3? 3 ? ?

-6-

? 3? ? 2? ?? 2? ? ? 5? ? ? ? sin? ? 4? ? ? sin ? ? ? 4? ? ?? ? ? cos? 4? ? ? 3 ?? 3 ? ? 6 ? ? ?2 ?

?? 7 ? ?1? ? ?1 ? 2 sin 2 ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 。………………………13 分 3? 9 ? ? 3?
18.解: (I)证明:? EC // PD, PD ? 平面PAD ,EC ? 平面PDA,

2

? EC // 平面PDA ,同理可得 BC//平面 PDA, ? EC ? 平面EBC,BC ? 平面EBC且EC ? BC ? C ? 平面EBC // 平面PDA
又? BE ? 平面EBC ,? EB // 平面PDA…………………………………………4 分 (II)如图以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示:设 该简单组合体的底面边长为 1,PD=a,

则 B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,

a 1 1 a ),N( , , )。 2 2 2 2

?1 1 ? ? EN ? ? ,? ,0 ?, PB ? ?1,1,?a ?, DB ? ?1,1,0? ?2 2 ?

1 1 1 1 ? EN ? PB ? ? 1 ? ? 1 - a ? 0 ? 0, EN ? DB ? ? 1 ? ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 2 2 2 2
? EN ? PB, EN ? DB

? PB、DB ? 面PDB,且PB? DB ? B, ? NE ? 平面PDB, ……………………8 分
, (III)连结 DN,由(II)知 EN ? 面PDB
? DN ? NE ,? PD ? 2 , DB ? 2AD, ? PD ? DB,? DN ? PB AD

1 1 2 1 1 2 设AD ? 1,则N( , , ), ? DN ? ( ,, ) ? DN为平面PBE的法向量, 2 2 2 2 2 2

-7-

? DP 为平面 ABCD 的法向量, DP ? (0,0, 2 ) ,
设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? , 则 cos ? ?

DN ? DP | DN |? | DP |

?

1 2

?

2 2

?? ? 450 ,即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 450………………………13 分
19.解: (Ⅰ )设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? (k ? 0) . 由?

? y ? k ? x ? 1? , ? ? ? y ? 4 x,
2

2 2 2 2 可得 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 .

?

?

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 .? y1 y2 ? ?4 k2

N ? ?1, 0 ?

k NA ? k NB ?

y1 y 4y 4y ? 2 ? 2 1 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 4 y2 ? 4

2 4? y1 y2 ? 4 ? y2 y12 ? 4 ? ? ? ? 4(?4 y2 ? 4 y1 ? 4 y1 ? 4 y2 ) ? 0 . ? 2 2 2 y1 ? 4 y2 ? 4 y12 ? 4 y2 ?4

? ?

? ? ? ?? ?

?

??

?

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A, B 关于 x 轴,显然 kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . 综上, kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . (Ⅱ ) S?NAB ? y1 ? y2 ? = 4 1? ---------------- 5 分
2

? y1 ? y2 ?

? 4 y1 y2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 8

1 ? 4 .当 l 垂直于 x 轴时, S?NAB ? 4 . k2
----------------10 分

∴?ANB 面积的最小值等于 4 .

(Ⅲ )推测:①k NA ? ?k NB ;②?ANB 面积的最小值为 4m m . ----- 13 分 20.解: (I) f ' ? x ? ? a ?

1 ,x ? 0 x

当 a ? 0 , f ' ?x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 在 ?0,??? 内是增函数,∴函数 f ?x ? 没有极值 当 a ? 0 时,令 f ' ?x ? ? 0 ,得 x ? ?

1 a

当 x 变化时, f ' ? x ? 与 f ?x ? 变化情况如下表 x

1? ? ? 0,? ? a? ?

?

1 a

? 1 ? ? ? ,?? ? ? a ?

-8-

f ' ?x ? f ?x ?
∴当 x ? ?

+ 单调递增

0 极大值

单调递减

1 ? 1? ? 1? 时, f ?x ? 取得最大值 f ? ? ? ? ?1 ? ln? ? ? , a ? a? ? a?

综上,当 a ? 0 时, f ?x ? 没有极值 当 a ? 0 时 f ?x ? 的极大值为 ? 1 ? ln? ?

? 1? ? ,没有值小值。 ? a?

(II) (i) 设 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上的任意两点, 要证明弦 P1P2 有伴随切线, 只需证明存在点 Q(x0,f(x0)),x1<x0<x2,使得 f `(x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) , x2 ? x1

且点 Q 不在 P1P2 上。…………………………………………………………7 分

? f `( x ) ? a ?

1 1 ax2 ? ln x2 ? ax1 ? ln x1 ,即证存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得 a ? ,即 ? x x0 x2 ? x1

ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 成立,且点 Q 不在 P1P2 上。 x1 x0
以下证明方程 ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 在(x1,x2)内有解。 x1 x

记 F(x)= ln

x2 1 x x ? ( x2 ? x1 ) ,则 F(x)= ln 2 ? 2 ? 1 ,令 g(t) = lnt - t + 1 , t>1 。 x1 x x1 x1

x 1 1? t g `(t ) ? ? 1 ? ? 0 , ? g(t) 在 ?1,??? 内是减函数, ? g(t) <g(1)=0 。取 t ? 2 ? 1 ,则 t t x1 g( x2 x x ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? g (1) ? 0 ,即 F(x1)<0…………………………………………9 分 x1 x1 x1
同理可证 F(x2)>0, ? F(x1)F(x2)<0。? 函数 F(x)= ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) 在(x1,x2)内有零点。 x1 x

即方程 ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) =0 在(x1,x2)内有解 x=x0。…………………………10 分 x1 x
x2 x x x ? 1 ,则 g ( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? g (1) ? 0 , x0 x0 x0 x0
-9-

又对于函数 g(t)= lnt - t + 1,取 t=

可知 f `(x0 ) ?

f ( x 2 ) ? f ( x0 ) ,即点 Q 在 P1P2 上。F(x)是增函数,? F(x)的零点是唯一的, x 2 ? x0

即方程 ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) =0 在(x1,x2)内有唯一解。 x1 x

综上,曲线 y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。………11 分 (ii)取曲线 C:y=h(x)=x2,则曲线 y=h(x)的任意一条弦均有 证明如下: 设 R(x3,y3),S(x4,y4)是曲线 C 上任意两点(x3 ? y4) , 则 k RS ?
2 y 4 ? y3 x 2 ? x3 ? 4 ? x3 ? x4 又 x4 ? x3 x4 ? x3

1 -伴随切线 2

h`(x ) ? 2x, ? h`(

x3 ? x4 ) ? x 3 ? x 4 ? k RS 2
1 -伴随切线。………………………14 分 2

即曲线 C:y=x2 的任意一条弦均有 21.矩阵与变换:

? 1 ? 0? ? ? 2 0? ?1 2 ? …………3 分 (1)已知矩阵 M ? ? ?1 1? ? ,? det M ? 2 ,? M ? ? 1 ? ? ? 1? ?? ? ? 2 ?
(2) M 的特征多项式 f (? ) ?

? ?2
?1

0 ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 ? ?1

?1 ? ? ?1? ? 是 ?1 的属于矩阵 M 的一个特征向量; ? ?

? 0?

?1 ? ? ?1? ? 是 ?2 的属于矩阵 M 的一个特征向量 ;………7 分
? ?
坐标系与参数方程: (1)

?1?

x2 y 2 ? ? 1 ; ………3 分 9 4

(2)设 P(3cos ? , 2sin ?) , 则 3x ? 4 y = 9cos? ? 8sin ? ? 145 sin(? ? ? ) ……6

- 10 -

? ? R,?当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3x ? 4 y 的最大值为 145 ………7 分
不等式选讲: (1) f ( x) ? 3x ? (2a ? 2b ? 2c) x ? a ? b ? c ?
2 2 2 2

(a ? b ? c) 2 3

a?b?c 2 ) ? a2 ? b2 ? c2 3 a?b?c 故当 x ? 时, m ? f ( x) min ? a 2 ? b 2 ? c 2 …3 分 3
= 3( x ? (2) (a 2 ? b 2 ? c 2 )(12 ? (?1) 2 ? 2 2 ) ? (a ? b ? 2c) 2 即 6 m ? 9 ,?m 得最小值为

3 1 1 ,当且仅当 a ? , b ? ? , c ? 1 时取等号。 2 2 2

- 11 -


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